高中数学 第1章 解三角形 3 距离问题课时训练 苏教版必修5

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课时训练3　距离问题 1. 如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧河岸选定一点C,测出A,C的距离为50 m,∠ACB=45,∠CAB=105,则A,B两点间的距离为(　　) A.50 m B.50 m C.25 m D. m 答案:B 解析:∵∠ACB=45,∠CAB=105, ∴∠ABC=30,根据正弦定理可知,,即,解得:AB=50 m,故选B. 2.在某船上开始看见灯塔在南偏东30方向,后来船沿南偏东60方向航行45海里后,看见灯塔在正西方向,则此时船与灯塔相距(　　) A.15海里 B.15海里 C.15海里 D.30海里 答案:C 解析: 如图,B为灯塔,船由A航行45海里到达C,则∠BAC=30,∠ABC=120.由正弦定理,得.所以BC==15(海里),故选C. 3.一货轮航行到M处时,测得灯塔S在货轮的北偏东15方向,与灯塔S相距20 n mile,随后货轮按北偏西30方向航行3 h后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为(　　) A.)n mile/h B.)n mile/h C.)n mile/h D.)n mile/h 答案:B 解析: 如图,设货轮航行到了点A,可利用正弦定理解△AMS.设货轮速度为x n mile/h,则AM=3x n mile.在△AMS中,由正弦定理,得,即,解得:x=). 4.测定河的宽度,在一岸边选定两点A,B,使AB=120 m,从A,B望对岸标记物C,测得∠CAB=30,∠CBA=75,则河宽为　　　　　m. 答案:60 解析:∵∠CAB=30,∠CBA=75, ∴∠ACB=180-∠CAB-∠CBA=180-30-75=75, ∴AC=AB=120 m. ∴河宽CD=AC=60 m. 5.一船向正北方向匀速行驶,看见正西方两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上,继续航行半小时后,看见其中一座灯塔在南偏西60方向上,另一座灯塔在南偏西75方向上,则该船的速度是　　　　　海里/时. 答案:10 解析:如图所示,船从点A出发沿正北方向匀速行驶到D,B和C是两座灯塔, 则BC=10海里,∠BDA=60,∠CDA=75, 则∠CDB=15, 所以C=15,∠CBD=150. 所以BD=BC=10海里. 所以AD=BDcos 60=5海里. 所以船的速度是=10(海里/时). 6.CD是京九铁路线上的一条穿山隧道,开凿前,在CD所在水平面上的山体外取点A,B,并测得四边形ABCD中,∠ABC=,∠BAD=,AB=BC=400米,AD=250米,则应开凿的隧道CD的长为　　　. 答案:350米 解析:在△ABC中,AB=BC=400米,∠ABC=, ∴AC=AB=400米,∠BAC=. ∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=. ∴在△CAD中,由余弦定理,得 CD2=AC2+AD2-2ACADcos∠CAD=4002+2502-2400250cos=122 500, ∴CD=350米. 7.如图,某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75,距离为12 n mile,在A处看灯塔C在货轮的北偏西30,距离为8 n mile,货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在北偏东120.求: (1)A处与D处的距离; (2)灯塔C与D处的距离. 解:(1)在△ABD中,∠ADB=60,B=45, 由正弦定理得AD= ==24(n mile). (2)在△ADC中,由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2ADACcos 30, 解得:CD=8(n mile). 即A处与D处的距离为24 n mile,灯塔C与D处的距离为8 n mile. 8.如图,为测量河对岸A,B两点的距离,在河的这边测出CD的长为 km,∠ADB=∠CDB=30,∠ACD=60,∠ACB=45,求A,B两点间的距离. 解:在△BCD中,∠CBD=180-30-105=45, 由正弦定理得, 则BC=(km). 在△ACD中,∠CAD=180-60-60=60, ∴△ACD为正三角形. ∴AC=CD=(km). 在△ABC中,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 45=-2,∴AB=(km). ∴河对岸A,B两点间距离为 km. 9.某观测站C在A城的南偏西20的方向,由A城出发有一条公路,公路走向是南偏东40,在公路上测得距离C 31 km的B处,有一人正沿公路向A城走去,走了20 km后到达D处,此时C,D之间相距21 km,问此人还要走多远才能到达A城?(导学号51830084) 解:如图,∠CAB=60,BD=20 km,CB=31 km,CD=21 km. 在△BCD中,由余弦定理,得 cos∠BDC==-,则sin∠BDC=. 在△ACD中,∠ACD=∠BDC-∠CAD=∠BDC-60. 由正弦定理,可得AD=. ∵sin∠ACD=sin(∠BDC-60) =sin∠BDCcos 60-cos∠BDCsin 60=, ∴AD==15(km). ∴此人还要走15 km才能到达A城. - 3 -