高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理（二） 习题 苏教版选修2-2

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2.1.1　合情推理(二) 明目标、知重点　1.通过具体实例理解类比推理的意义.2.会用类比推理对具体问题作出判断． 1．类比推理 (1)类比推理的定义 根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法． (2)类比推理的思维过程 →→ 2．合情推理 合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理． [情境导学] 春秋时代鲁班受到路边的齿形草能割破行人的腿的启发，发明了锯子，他的思维过程为：齿形草能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的，因此，它们形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．这就是类比推理． 探究点一　类比推理 阅读下面的推理，回答后面提出的思考： 1．科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征： (1)火星也是绕太阳运行、绕轴自转的行星； (2)有大气层，在一年中也有季节变更； (3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等． 由此科学家猜想：火星上也可能有生命存在． 2．对比圆和球，有类似特征： (1)完美对称； (2)都是到定点距离等于定长的点的集合； (3)形状相近． 根据“圆的圆心到其切线的距离等于半径”，我们猜想“球的球心到其切面的距离等于半径”． 思考1　这两个推理实例在思维方式上有什么共同特点？ 答　两个实例均是根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． 思考2　猜想正确吗？ 答　不一定正确． 思考3　类比圆的特征，填写下表中球的有关特征 圆的概念和性质 球的类似概念和性质 圆的周长 球的表面积 圆的面积 球的体积 圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦 球心与截面圆(不经过球心的截面圆)圆心的连线垂直于截面圆 与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长 与球心距离相等的两个截面圆面积相等；与球心距离不等的两个截面圆面积不等，距球心较近的截面圆面积较大 以点P(x0，y0)为圆心，r为半径的圆的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2 以点P(x0，y0，z0)为球心，r为半径的球的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＋(z－z0)2＝r2 小结　在进行类比推理时要注意对应关系：平面图形中的“线”对应空间图形中的“面”；平面图形中的“面”对应空间图形中的“体”；平面图形中的“边长”对应空间图形中的“面积”；平面图形中的“面积”对应空间图形中的“体积”． 探究点二　平面图形与立体图形间的类比 例1　在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC2”．拓展到空间(如图)，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的结论是_________________________． 答案　设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则S＋S＋S＝S 解析　类比条件： 两边AB、AC互相垂直侧面ABC、ACD、ADB互相垂直． 结论：AB2＋AC2＝BC2S＋S＋S＝S. 反思与感悟　类比推理的一般步骤：①找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)；②用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个明确的命题(猜想)． 跟踪训练 1　(1)如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝bcos C＋ccos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想． (2)已知在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，有＝＋成立．那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确并给出理由． 解　(1)如图所示，在四面体P－ABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PB C，面PCA与底面ABC所成二面角的大小． 我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为：S＝S1cos α＋S2cos β＋S3cos γ. (2) 类比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD.则＝＋＋.猜想正确． 如图所示，连结BE，并延长交CD于F，连结AF. ∵AB⊥AC，AB⊥AD， ∴AB⊥平面ACD. 而AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF. 在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴＝＋. 在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴＝＋. ∴＝＋＋，故猜想正确． 探究点三　定义、定理或性质中的类比 例2　在等差数列{an}中，若a10＝0，证明等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立，并类比上述性质相应的在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式__________成立． 答案　b1 b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*) 解析　在等差数列{an}中，由a10＝0， 得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0， ∴a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0， 即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1， 又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1， ∴a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n. 若a9＝0，同理可得a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a17－n. 相应地，类比此性质在等比数列{bn}中， 可得b1b2…bn＝b1b2…b17－n，(n≤17，n∈N*)． 反思与感悟　(1)运用类比思想找出项与项的联系，应用等差、等比数列的性质解题是解决该题的关键． (2)等差数列和等比数列有非常类似的运算和性质，一般情况下等差数列中的和(或差)对应着等比数列中的积(或商)． 跟踪训练2　设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________， 成等比数列． 答案　　 1．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是________．(填序号) ①如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交； ②如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直； ③如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行； ④如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行． 答案　② 解析　推广到空间以后，对于①③④均有可能异面． 2．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________． 答案　1∶8 解析　∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是相似的几何体，体积之比为相似比的立方，∴它们的体积比为1∶8. 3．若数列{cn}是等差数列，则当dn＝时，数列{dn}也是等差数列，类比上述性质，若数列{an}是各项均为正数的等比数列，则当bn＝________时，数列{bn}也是等比数列． 答案　 4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的________． 答案　中心 [呈重点、现规律] 1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向． 2．合情推理的过程概括为 ―→―→―→ 一、基础过关 1．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式：S＝，可推知扇形面积公式S扇＝________. 答案　lr 2．下列推理正确的是________．(填序号) ①把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay； ②把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin y； ③把a(b＋c)与ax＋y类比，则有ax＋y＝ax＋ay； ④把a(b＋c)与a(b＋c)类比，则有a(b＋c)＝ab＋ac. 答案　④ 3．下面几种推理是合情推理的是________．(填序号) ①由圆的性质类比出球的有关性质； ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180，归纳出所有三角形的内角和都是180； ③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分； ④三角形内角和是180，四边形内角和是360，五边形内角和是540，由此得凸多边形内角和是(n－2)180. 答案　①②④ 解析　①是类比推理；②是归纳推理；④是归纳推理．所以①、②、④是合情推理． 4．把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径r＝(其中a，b为直角三角形两直角边长)．类比此方法可得三条侧棱长分别为a，b，c且两两垂直的三棱锥的外接球半径R＝________. 答案　 解析　由平面类比到空间，把矩形类比为长方体，从而得出外接球半径. 5．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝，类比这个结论可知：四面体S—ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S—ABC的体积为V，则R＝________. 答案　 解析　设四面体的内切球的球心为O， 则球心O到四个面的距离都是R， 所以四面体的体积等于以O为顶点， 分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和． 则四面体的体积为V四面体S—ABC＝(S1＋S2＋S3＋S4)R， ∴R＝. 6．在等差数列{an}中，若an>0，公差d>0，则有a4a6>a3a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn>0，q>1，则下列有关b4，b5，b7，b8的不等关系正确的是________． ①b4＋b8>b5＋b7； ②b5＋b7>b4＋b8； ③b4＋b7>b5＋b8； ④b4＋b5>b7＋b8. 答案　① 7．在△ABC中，若∠C＝90，则cos2A＋cos2B＝1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想． 解　由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥P－ABC中，三个侧面PAB，PBC，PCA两两垂直，且与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1”． 证明：设P在平面ABC的射影为O，延长CO交AB于M，记PO＝h， 由PC⊥PA，PC⊥PB，得PC⊥面PAB，从而PC⊥PM，又∠PMC＝α， cos α＝sin∠PCO＝，cos β＝，cos γ＝. ∵VP－ABC＝PAPBPC＝(PAPBcos α＋ PBPCcos β＋PCPA cos γ)h， ∴(＋＋)h＝1，即cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1. 二、能力提升 8．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质中，你认为比较恰当的是________．(填序号) ①各棱长相等，同一顶点上的两条棱的夹角都相等； ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等． 答案　①②③ 解析　因为正三角形的边和角可以与正四面体的面(或棱)和相邻的两面所成的二面角(或共顶点的两棱夹角)类比，所以①②③都恰当． 9．类比平面直角坐标系中△ABC的重心G(，)的坐标公式(其中A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3))，猜想以A(x1，y1，z1)、B(x2，y2，z2)、C(x3，y3，z3)、D(x4，y4，z4)为顶点的四面体A—BCD的重心G(，，)的公式为________________． 答案　 10．公差为d(d≠0)的等差数列{an}中，Sn是{an}的前n项和，则数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列，且公差为100d，类比上述结论，相应地在公比为q(q≠1)的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有__________________________． 答案　，，也成等比数列，且公比为q100 11．如图(1)，在平面内有面积关系＝，写出图(2)中类似的体积关系，并证明你的结论． 解　类比＝， 有＝ 证明：如图：设C′，C到平面PAB的距离分别为h′，h. 则＝，故＝ ＝＝. 12. 如图，在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α、β，则cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想． 解　在长方形ABCD中，cos2α＋cos2β＝()2＋()2＝＝＝1. 于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ，如图． 则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1. 证明如下：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝()2＋()2＋()2＝＝＝1. 三、探究与拓展 13.椭圆C：＋＝1(a>b>0)与x轴交于A、B两点，点P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证：为定值b2－a2. (2)类比(1)可得如下真命题：双曲线－＝1(a>0，b>0)与x轴交于A、B两点，点P是双曲线C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证：为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)． (1)证明　设点P(x0，y0)，(x0≠a)． 依题意，得A(－a,0)，B(a,0)， 所以直线PA的方程为y＝(x＋a)， 令x＝0，得yM＝.同理得yN＝－. 所以yMyN＝. 又点P(x0，y0)在椭圆上，所以＋＝1， 因此y＝(a2－x)． 所以yMyN＝＝b2. 因为＝{a，yN}，＝(－a，yM)， 所以＝－a2＋yMyN＝b2－a2. (2)解　定值为－(a2＋b2)．