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三、压轴题专练
(一)
1.如图，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为，点C在x轴上，BC⊥BF，B，C，F三点确定的圆M恰好与直线x＋y＋3＝0相切．
(1)求椭圆的方程；
(2)过F作一条与两坐标轴都不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点，在x轴上是否存在点N，使得NF恰好为△PNQ的内角平分线，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
解 (1)由题意可知F(－c,0)，
∵e＝，∴b＝c，即B(0，c)，
∵kBF＝＝，又∵BC⊥BF，
∴kBC＝－，∴C(3c,0)，
圆M的圆心坐标为(c,0)，半径为2c，
由直线x＋y＋3＝0与圆M相切可得＝2c，∴c＝1.∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)假设存在满足条件的点N(x0,0)
由题意可设直线l的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
∵NF为△PNQ的内角平分线，
∴kNP＝－kNQ，即＝－，
∴＝⇒(x1＋1)(x2－x0)＝－(x2＋1)(x1－x0)．∴x0＝.
又∴3x2＋4k2(x＋1)2＝12.
∴(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.
∴x1＋x2＝－，x1x2＝.
∴x0＝＝－4，
∴存在满足条件的点N，点N的坐标为(－4,0)．
2.设函数f(x)＝x2－mln x，g(x)＝x2－(m＋1)x.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当m≥0时，讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数．
解 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，
当m≤0时，f′(x)>0，所以函数f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间．
当m>0时，f′(x)＝，
当0
时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
综上：当m≤0时，函数f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间；当m>0时，函数f(x)的单调递增区间是(，＋∞)，单调递减区间是(0，)．
(2)令F(x)＝f(x)－g(x)＝－x2＋(m＋1)x－mln x，x>0，问题等价于求函数F(x)的零点个数，
当m＝0时，F(x)＝－x2＋x，x>0，有唯一零点；
当m≠0时，F′(x)＝－，
当m＝1时，F′(x)≤0，函数F(x)为减函数，注意到F(1)＝>0，F(4)＝－ln 4<0，所以F(x)有唯一零点．
当m>1时，0m时，F′(x)<0；10，所以函数F(x)在(0,1)和(m，＋∞)上单调递减，在(1，m)上单调递增，注意到F(1)＝m＋>0，
F(2m＋2)＝－mln (2m＋2)<0，所以F(x)有唯一零点．
当01时，F′(x)<0；m0，
所以函数F(x)在(0，m)和(1，＋∞)上单调递减，在(m,1)上单调递增，易得ln m<0，
所以F(m)＝(m＋2－2ln m)>0，而F(2m＋2)＝－mln (2m＋2)<0，所以F(x)有唯一零点．
综上，函数F(x)有唯一零点，即两函数图象有一个交点．
3．选做题
(1)选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝.
①直接写出直线l的普通方程、曲线C的直角坐标方程；
②设曲线C上的点到直线l的距离为d，求d的取值范围．
(2)选修4－5：不等式选讲
设函数f(x)＝|2x－a|＋2a.
①若不等式f(x)≤6的解集为{x|－6≤x≤4}，求实数a的值．
②在①的条件下，若不等式f(x)≤(k2－1)x－5的解集非空，求实数k的取值范围．
解 (1)①直线l的普通方程为x－y＋3＝0.
曲线C的直角坐标方程为3x2＋y2＝3.
②∵曲线C的直角坐标方程为3x2＋y2＝3，
即x2＋＝1，
∴曲线C上的点的坐标可表示为(cosα，sinα)．
∵2sin＋3≥1>0，
∴d＝＝
＝.
∴d的最小值为＝，d的最大值为＝.
∴≤d≤，即d的取值范围为.
(2)①∵|2x－a|＋2a≤6，∴|2x－a|≤6－2a，
∴2a－6≤2x－a≤6－2a，
∴a－3≤x≤3－，
∵不等式f(x)≤6的解集为{x|－6≤x≤4}，
∴解得a＝－2.
②由①得f(x)＝|2x＋2|－4.
∴|2x＋2|－4≤(k2－1)x－5，
化简整理得|2x＋2|＋1≤(k2－1)x，
令g(x)＝|2x＋2|＋1＝
y＝g(x)的图象如图所示，
要使不等式f(x)≤(k2－1)x－5的解集非空，需k2－1>2或k2－1≤－1，
∴k的取值范围是{k|k>或k<－或k＝0}．
(二)
1.[2016西安质检] 如图所示，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点P(2，)，Q(2，－)在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．
解 (1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线y＝－2上，
∴－b＝－2，解得b＝2.
又＝，a2＝b2＋c2，
∴a＝4，c＝2.
可得椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵∠APQ＝∠BPQ，则PA，PB的斜率互为相反数，
可设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为－k，
直线PA的方程为：y－＝k(x－2)，
联立
化为(1＋4k2)x2＋8k(－2k)x＋4(－2k)2－16＝0，
∴x1＋2＝.
同理可得：x2＋2＝＝，
∴x1＋x2＝，x1－x2＝，
kAB＝＝＝.
∴直线AB的斜率为定值.
2．[2016河南六市一联]已知函数f(x)＝aln x－x，g(x)＝x2－(1－a)x－(2－a)ln x，其中a∈R.
(1)若g(x)在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；
(2)若函数F(x)＝f(x)－g(x)的图象交x轴于A，B两点，AB中点的横坐标为x0，问：函数F(x)的图象在点(x0，F(x0))处的切线能否平行于x轴？
解 (1)g′(x)＝2x－(1－a)－
＝，
∵g(x)的定义域为{x|x>0}，且g(x)在其定义域内为增函数，
∴g′(x)≥0在x>0时恒成立，
则2x2－(1－a)x－(2－a)≥0在x>0时恒成立，
∴a≥5－在x>0时恒成立．
而当x>0时，2(x＋1)＋>3，
∴a∈[2，＋∞)．
(2)设F(x)的图象在(x0，F(x0))处的切线平行于x轴，F(x)＝2ln x－x2－ax，F′(x)＝－2x－a，不妨设A(m,0)，B(n,0)，00(t∈(0,1))，
∴函数h(t)＝ln t－在(0,1)上单调递增，因此h(t)1时，不等式化为x2－x<－x＋，所以x∈∅.
综上所述，不等式的解集为.
②证明：由已知任意x1，x2∈[0,1]且x1≠x2，则不妨设x2>x1，
则当x2－x1≤时，|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|≤，
当x2－x1>时，则x1<，且1－x2<，
那么|f(x1)－f(x2)|＝|f(x1)－f(0)＋f(1)－f(x2)|≤|f(x1)－f(0)|＋|f(1)－f(x2)|0)．
(1)若a＝1，证明：y＝f(x)在R上单调递减；
(2)当a>1时，讨论f(x)零点的个数．
解 (1)证明：当x≥1时，f′(x)＝－1≤0，f(x)在[1，＋∞)上单调递减，f(x)≤f(1)＝0；
当x<1时，f′(x)＝ex－1－1<0，f(x)在(－∞，1)上单调递减，且此时f(x)>0.
所以y＝f(x)在R上单调递减．
(2)若x≥a，则f′(x)＝－a≤－a<0(a>1)，
所以此时f(x)单调递减，令g(a)＝f(a)＝ln a－a2＋1，
则g′(a)＝－2a<0，所以f(a)＝g(a)2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
又f(0)＝e－1>0，f<0，所以此时f(x)在上有一个零点．
②当a＝2时，f(x)＝ex－1，此时f(x)在(－∞，2)上没有零点．
③当10，
所以此时f(x)没有零点．
综上，当12时，f(x)有一个零点．
3．选做题
(1)选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin，直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P.
①求曲线C的直角坐标方程；
②求＋的值．
(2)选修4－5：不等式选讲
已知实数m，n满足：关于x的不等式|x2＋mx＋n|≤|3x2－6x－9|的解集为R.
①求m，n的值；
②若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝m－n，求证：＋＋≤.
解 (1)①利用极坐标公式，把曲线C的极坐标方程
ρ＝2sin化为ρ2＝2ρsinθ＋2ρcosθ，
∴普通方程是x2＋y2＝2y＋2x，
即(x－1)2＋(y－1)2＝2.
②∵直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P，
把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程 (x－1)2＋(y－1)2＝2中，得t2－t－1＝0，
∴
∴＋＝＋
＝＝
＝＝.
(2)①由于解集为R，那么x＝3，x＝－1都满足不等式，即有
即解得m＝－2，n＝－3，
经验证当m＝－2，n＝－3时，不等式的解集是R.
②证明：a＋b＋c＝1，a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2，
∴(＋＋)2＝a＋b＋c＋2＋2＋2≤3(a＋b＋c)＝3，
故＋＋≤(当且仅当a＝b＝c＝时取等号)．
(四)
1.[2016石家庄模拟]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点M(m,2)，其焦点为F，且|MF|＝2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设E为y轴上异于原点的任意一点，过点E作不经过原点的两条直线分别与抛物线C和圆F：(x－1)2＋y2＝1相切，切点分别为A，B，求证：直线AB过定点．
解 (1)抛物线C的准线方程为x＝－，
∴|MF|＝m＋＝2，又4＝2pm，即4＝2p，
∴p2－4p＋4＝0，∴p＝2，
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)证明：设点E(0，t)(t≠0)，由已知切线不为y轴，设EA：y＝kx＋t，联立消去y，可得k2x2＋(2kt－4)x＋t2＝0，①
∵直线EA与抛物线C相切，∴Δ＝(2kt－4)2－4k2t2＝0，即kt＝1，代入 ①可得x2－2x＋t2＝0，∴x＝t2，即A(t2,2t)．
设切点B(x0，y0)，则由几何性质可以判断点O，B关于直线EF：y＝－tx＋t对称，则
解得
即B.
解法一：直线AB的斜率为kAB＝(t≠1)，
直线AB的方程为y＝(x－t2)＋2t，
整理得y＝(x－1)，
∴直线AB恒过定点F(1,0)，
当t＝1时，A(1，2)，B(1，1)，此时直线AB为x＝1，过点F(1,0)．
综上，直线AB恒过定点F(1,0)．
解法二：直线AF的斜率为kAF＝(t≠1)，
直线BF的斜率为kBF＝＝(t≠1)，
∴kAF＝kBF，即A，B，F三点共线．
当t＝1时，A(1，2)，B(1，1)，此时A，B，F三点共线．
∴直线AB过定点F(1,0)．
2．[2016贵州测试]设n∈N*，函数f(x)＝，函数g(x)＝(x>0)．
(1)当n＝1时，求函数y＝f(x)的零点个数；
(2)若函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象分别位于直线y＝1的两侧，求n的取值集合A；
(3)对于∀n∈A，∀x1，x2∈(0，＋∞)，求|f(x1)－g(x2)|的最小值．
解 (1)当n＝1时，f(x)＝，f′(x)＝(x>0)．
由f′(x)>0得0e.
所以函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
因为f(e)＝>0，f＝－e<0，所以函数f(x)在(0，e)上存在一个零点；
当x∈(e，＋∞)时，f(x)＝>0恒成立，
所以函数f(x)在(e，＋∞)上不存在零点．
综上得函数f(x)在(0，＋∞)上存在唯一一个零点．
(2)对函数f(x)＝求导，得f′(x)＝(x>0)，
由f′(x)>0，得0e；.
所以函数f(x)在(0，e；)上单调递增，在(e；，＋∞)上单调递减，
则当x＝e；时，函数f(x)有最大值f(x)max＝f(e；)＝.
对函数g(x)＝(x>0)求导，得g′(x)＝(x>0)，
由g′(x)>0，得x>n；由g′(x)<0，得00)在直线y＝1的上方，
所以g(x)min＝g(n)＝n>1，解得n0，
所以|f(x1)－g(x2)|的最小值为－＝.
3．选做题
(1)选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
(α为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝4ρsinθ－3.
①求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
②求曲线C1上的点与曲线C2上的点的距离的最小值．
(2)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|x－a|＋|x－2a|.
①当a＝1时，求不等式f(x)>2的解集；
②若对任意x∈R，不等式f(x)≥a2－3a－3恒成立，求a的取值范围．
解 (1)①x2＝2＝(sinα＋cosα)2＝sin2α＋1＝y，
所以C1的普通方程为y＝x2.
将ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y代入C2的方程得x2＋y2＝4y－3，
所以C2的直角坐标方程为x2＋y2－4y＋3＝0.
②将x2＋y2－4y＋3＝0变形为x2＋(y－2)2＝1，它的圆心为C(0,2)．
设P(x0，y0)为C1上任意一点，则y0＝x，从而|PC|2＝(x0－0)2＋(y0－2)2＝x＋(x－2)2＝x－3x＋4＝2＋，
所以当x＝时，|PC|min＝，
故曲线C1上的点与曲线C2上的点的距离的最小值为－1.
(2)①当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋|x－2|.
当x≤1时，f(x)＝1－x＋2－x＝3－2x，此时由f(x)>2得x<；
当12无解；
当x>2时，f(x)＝x－1＋x－2＝2x－3，此时由f(x)>2得x>.
综上可得不等式f(x)>2的解集为
∪.
②因为f(x)＝|x－a|＋|x－2a|≥|(x－a)－(x－2a)|＝|a|，故f(x)取得最小值|a|，因此原不等式等价于|a|≥a2－3a－3.
当a≥0时，有a≥a2－3a－3，即a2－4a－3≤0，
解得2－≤a≤2＋，此时有0≤a≤2＋.
当a<0时，有－a≥a2－3a－3，即a2－2a－3≤0，
解得－1≤a≤3，此时有－1≤a<0.
综上可知a的取值范围是[－1,2＋]．
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