中考数学二模试卷（含解析）141

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2016年山东省济宁市泗水县中考数学二模试卷 一、选择题（每小题3分，共30分．每小题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．﹣的倒数是（　　） A． B．3 C．﹣3 D．﹣ 2．据统计，2015年我国高新技术产品出口总额达40570亿元，将数据40570亿用科学记数法表示为（　　） A．4.0570109 B．0.405701010 C．40.5701011 D．4.05701012 3．下列运算正确的是（　　） A．a2•a3=a6 B．（a2）3=a6 C．（a+b）2=a2+b2 D． += 4．方程=0的解是（　　） A．1或﹣1 B．﹣1 C．0 D．1 5．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（　　） A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定 6．如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m．按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（　　） A．2m B．3m C．6m D．9m 7．如图，某厂生产横截面直径为7cm的圆柱形罐头盒，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面．为了获得较佳视觉效果，字样在罐头盒侧面所形成的弧的度数为90，则“蘑菇罐头”字样的长度为（　　） A． cm B． cm C． cm D．7πcm 8．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF=，BD=4，则菱形ABCD的周长为（　　） A．4 B．4 C．4 D．28 9．在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8cm， ==，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 10．函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论： ①b2﹣4c＞0； ②b+c+1=0； ③3b+c+6=0； ④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0． 其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 　 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．从分别标有数﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的七张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上数的绝对值小于2的概率是　　． 12．不等式组的所有整数解的积为　　． 13．以图1（以O为圆心，半径1 的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换能得到图2的序号是　　（多填或错填得0分，少填酌情给分） ①只要向右平移1个单位； ②先以直线AB为对称轴进行对称变换，再向右平移1个单位； ③先绕着O旋转180，再向右平移1个单位； ④只要绕着某点旋转180． 14．如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C13．若P（m，2）在第13段抛物线C13上，则m的值为　　． 15．如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＞60，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为　　个． 　 三、解答题（共7小题，满分55分） 16．先化简，再求值：，其中． 17．八年级（1）班学生在完成课题学习“体质健康测试中的数据分析”后，利用课外活动时间积极参加体育锻炼，每位同学从篮球、跳绳、立定跳远、长跑、铅球中选一项进行训练，训练后都进行了测试．现将项目选择情况及训练后篮球定时定点投篮测试成绩整理后作出如下统计图． 请你根据上面提供的信息回答下列问题： （1）扇形图中跳绳部分的扇形圆心角为　　度，该班共有学生　　人，训练后篮球定时定点投篮平均每个人的进球数是　　． （2）老师决定从选择铅球训练的3名男生和1名女生中任选两名学生先进行测试，请用列表或画树形图的方法求恰好选中两名男生的概率． 18．如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积． 19．某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元． （1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？ （2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？ 20．如图，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且AC=CG，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F． （1）求证：CD是⊙O的切线． （2）若，求∠E的度数． （3）连接AD，在（2）的条件下，若CD=，求AD的长． 21．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC=a，AC=b，AB=c． 特例探索 （1）如图1，当∠ABE=45，c=2时，a=　　，b=　　． 如图2，当∠ABE=30，c=4时，a=　　，b=　　． 归纳证明 （2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． 拓展应用 （3）如图4，在▱ABCD中，点E、F、G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD=2，AB=3，求AF的长． 22．如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线BC交于点D（3，﹣4）． （1）求直线BD和抛物线的解析式； （2）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP是平行四边形时，试求动点P的坐标． 　  2016年山东省济宁市泗水县中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题（每小题3分，共30分．每小题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．﹣的倒数是（　　） A． B．3 C．﹣3 D．﹣ 【考点】倒数． 【分析】一个数的倒数就是把这个数的分子、分母颠倒位置即可得到． 【解答】解：﹣的倒数是﹣=﹣3． 故选C． 　 2．据统计，2015年我国高新技术产品出口总额达40570亿元，将数据40570亿用科学记数法表示为（　　） A．4.0570109 B．0.405701010 C．40.5701011 D．4.05701012 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：40570亿=4.05701012． 故选D． 　 3．下列运算正确的是（　　） A．a2•a3=a6 B．（a2）3=a6 C．（a+b）2=a2+b2 D． += 【考点】完全平方公式；实数的运算；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 【分析】A、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断； B、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断； C、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断； D、原式不能合并，错误． 【解答】解：A、原式=a5，错误； B、原式=a6，正确； C、原式=a2+b2+2ab，错误； D、原式不能合并，错误， 故选：B 　 4．方程=0的解是（　　） A．1或﹣1 B．﹣1 C．0 D．1 【考点】解分式方程． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得：x2﹣1=0，即x2=1， 解得：x=1或x=﹣1， 经检验x=﹣1是增根，分式方程的解为x=1． 故选D． 　 5．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（　　） A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定 【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴． 【分析】先从实数a在数轴上的位置，得出a的取值范围，然后求出（a﹣4）和（a﹣11）的取值范围，再开方化简． 【解答】解：从实数a在数轴上的位置可得， 5＜a＜10， 所以a﹣4＞0， a﹣11＜0， 则， =a﹣4+11﹣a， =7． 故选A． 　 6．如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m．按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（　　） A．2m B．3m C．6m D．9m 【考点】三角形的内切圆与内心；勾股定理． 【分析】根据：△ABC的面积=△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积即可求解． 【解答】解：在直角△ABC中，BC=8m，AC=6m． 则AB===10． ∵中心O到三条支路的距离相等，设距离是r． △ABC的面积=△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积 即： AC•BC=AB•r+BC•r+AC•r 即：68=10r+8r+6r ∴r==2． 故O到三条支路的管道总长是23=6m． 故选：C． 　 7．如图，某厂生产横截面直径为7cm的圆柱形罐头盒，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面．为了获得较佳视觉效果，字样在罐头盒侧面所形成的弧的度数为90，则“蘑菇罐头”字样的长度为（　　） A． cm B． cm C． cm D．7πcm 【考点】弧长的计算． 【分析】根据题意得出圆的半径，及弧所对的圆心角，代入公式计算即可． 【解答】解：∵字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90， ∴此弧所对的圆心角为90， 由题意可得，R=cm， 则“蘑菇罐头”字样的长==π（cm）． 故选B． 　 8．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF=，BD=4，则菱形ABCD的周长为（　　） A．4 B．4 C．4 D．28 【考点】菱形的性质；三角形中位线定理． 【分析】首先利用三角形的中位线定理得出AC，进一步利用菱形的性质和勾股定理求得边长，得出周长即可． 【解答】解：∵E，F分别是AB，BC边上的中点，EF=， ∴AC=2EF=2， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA=AC=，OB=BD=2， ∴AB==， ∴菱形ABCD的周长为4． 故选：C． 　 9．在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8cm， ==，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 【考点】轴对称-最短路线问题． 【分析】作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，根据轴对称确定最短路线问题，点M为CM+DM的最小值时的位置，根据垂径定理可得=，然后求出C′D为直径，从而得解． 【解答】解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M， 此时，点M为CM+DM的最小值时的位置， 由垂径定理， =， ∴=， ∵==，AB为直径， ∴C′D为直径， ∴CM+DM的最小值是8cm． 故选B． 　 10．函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论： ①b2﹣4c＞0； ②b+c+1=0； ③3b+c+6=0； ④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0． 其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【分析】由函数y=x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x=1时，y=1+b+c=1；当x=3时，y=9+3b+c=3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案． 【解答】解：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点， ∴b2﹣4ac＜0； 故①错误； 当x=1时，y=1+b+c=1， 故②错误； ∵当x=3时，y=9+3b+c=3， ∴3b+c+6=0； ③正确； ∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值， ∴x2+bx+c＜x， ∴x2+（b﹣1）x+c＜0． 故④正确． 故选B 　 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．从分别标有数﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的七张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上数的绝对值小于2的概率是　　． 【考点】概率公式． 【分析】根据写有数字﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、的七张一样的卡片中，数字的绝对值小于2的有﹣1、0、1，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：∵写有数字﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、的七张一样的卡片中，数字的绝对值小于2的有﹣1、0、1、， ∴任意抽取一张卡片，所抽卡片上数字的绝对值小于2的概率是：． 故答案为：． 　 12．不等式组的所有整数解的积为　0　． 【考点】一元一次不等式组的整数解． 【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x的所有整数解相乘即可求解． 【解答】解：， 解不等式①得：x， 解不等式②得：x≤50， ∴不等式组的整数解为﹣1，0，1…50， 所以所有整数解的积为0， 故答案为：0． 　 13．以图1（以O为圆心，半径1 的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换能得到图2的序号是　②③④　（多填或错填得0分，少填酌情给分） ①只要向右平移1个单位； ②先以直线AB为对称轴进行对称变换，再向右平移1个单位； ③先绕着O旋转180，再向右平移1个单位； ④只要绕着某点旋转180． 【考点】旋转的性质；轴对称的性质；平移的性质． 【分析】观察两个半圆的位置关系，确定能否通过图象变换得到，以及旋转、平移的方法． 【解答】解：①只要向右平移1个单位，半圆仍然在直径AB的下边，此变换错误； ②先以直线AB为对称轴进行对称变换，得到直径AB的上半圆，再向右平移1个单位，得到图2，此变换正确； ③先绕着O旋转180，得到直径AB的上半圆，再向右平移1个单位，得到图2，此变换正确； ④只要绕着线段OB的中点旋转180，得到图2，此变换正确． 故答案为：②③④． 　 14．如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C13．若P（m，2）在第13段抛物线C13上，则m的值为　37或38　． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换． 【分析】求出抛物线C1与x轴的交点坐标，观察图形可知第奇数号抛物线都在x轴上方，然后求出到抛物线C13平移的距离，再根据向右平移横坐标加表示出抛物线C13的解析式，然后把点P的坐标代入计算即可得解． 【解答】解：令y=0，则﹣x（x﹣3）=0， 解得x1=0，x2=3， ∴A1（3，0）， 由图可知，抛物线C13在x轴上方， 相当于抛物线C1向右平移66=36个单位得到， ∴抛物线C13的解析式为y=﹣（x﹣36）（x﹣36﹣3）=﹣（x﹣36）（x﹣39）， ∵P（m，2）在第13段抛物线C13上， ∴﹣（m﹣36）（m﹣39）=2， 解得m=37或38． 故答案为：37或38． 　 15．如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＞60，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为　3　个． 【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质． 【分析】连接BG，根据折叠的性质得到∠1=∠2，EB=EH，BH⊥EG，则∠EBG=∠EHB，又点E是AB的中点，得EH=EB=EA，于是判断△AHB为直角三角形，且∠3=∠4，根据等角的余交相等得到∠1=∠3，因此有∠1=∠2=∠3=∠4． 【解答】解：连接BH，如图， ∵沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处， ∴∠1=∠2，EB=EH，BH⊥EG， 而∠1＞60， ∴∠1≠∠AEH， ∵EB=EH， ∴∠EBH=∠EHB， 又∵点E是AB的中点， ∴EH=EB=EA， ∴EH=AB， ∴△AHB为直角三角形，∠AHB=90，∠3=∠4， ∴∠1+∠EBH=90，∠EBH+∠4=90， ∴∠1=∠4， ∴∠1=∠3， ∴∠1=∠2=∠3=∠4． 则与∠BEG相等的角有3个． 故答案为：3． 　 三、解答题（共7小题，满分55分） 16．先化简，再求值：，其中． 【考点】二次根式的化简求值；分式的化简求值． 【分析】这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先把代数式去括号，把除法转换为乘法化简，然后再代入求值．本题注意x﹣2看作一个整体． 【解答】解：原式= = = =﹣（x+4）， 当时， 原式===． 　 17．八年级（1）班学生在完成课题学习“体质健康测试中的数据分析”后，利用课外活动时间积极参加体育锻炼，每位同学从篮球、跳绳、立定跳远、长跑、铅球中选一项进行训练，训练后都进行了测试．现将项目选择情况及训练后篮球定时定点投篮测试成绩整理后作出如下统计图． 请你根据上面提供的信息回答下列问题： （1）扇形图中跳绳部分的扇形圆心角为　36　度，该班共有学生　40　人，训练后篮球定时定点投篮平均每个人的进球数是　5　． （2）老师决定从选择铅球训练的3名男生和1名女生中任选两名学生先进行测试，请用列表或画树形图的方法求恰好选中两名男生的概率． 【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图． 【分析】（1）跳绳部分的圆心角的度数用周角乘以跳绳部分所占的百分比即可；总人数用用篮球的总人数除以其所占的百分比即可求得总人数； （2）列树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可． 【解答】解：（1）扇形图中跳绳部分的扇形圆心角为360（1﹣50%﹣20%﹣10%﹣10%）=36度； 该班共有学生（2+5+7+4+1+1）50%=40人； 训练后篮球定时定点投篮平均每个人的进球数是=5， 故答案为：36，40，5． （2）三名男生分别用A1，A2，A3表示，一名女生用B表示．根据题意，可画树形图如下： 由上图可知，共有12种等可能的结果，选中两名学生恰好是两名男生（记为事件M）的结果有6种， ∴P（M）==． 　 18．如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称-最短路线问题． 【分析】（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+4，即可得出a，再把点A坐标代入反比例函数y=，即可得出k，两个函数解析式联立求得点B坐标； （2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，求出直线AD的解析式，令y=0，即可得出点P坐标． 【解答】解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+4， 得a=﹣1+4， 解得a=3， ∴A（1，3）， 点A（1，3）代入反比例函数y=， 得k=3， ∴反比例函数的表达式y=， 两个函数解析式联立列方程组得， 解得x1=1，x2=3， ∴点B坐标（3，1）； （2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小， ∴D（3，﹣1）， 设直线AD的解析式为y=mx+n， 把A，D两点代入得，， 解得m=﹣2，n=5， ∴直线AD的解析式为y=﹣2x+5， 令y=0，得x=， ∴点P坐标（，0）， S△PAB=S△ABD﹣S△PBD=22﹣2=2﹣=． 　 19．某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元． （1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？ （2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？ 【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用． 【分析】（1）可设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，根据第二批这种衬衫单价贵了10元，列出方程求解即可； （2）设每件衬衫的标价y元，求出利润表达式，然后列不等式解答． 【解答】解：（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，依题意有 +10=， 解得x=120， 经检验，x=120是原方程的解，且符合题意． 答：该商家购进的第一批衬衫是120件． （2）3x=3120=360， 设每件衬衫的标价y元，依题意有 y+500.8y≥（1+25%）， 解得y≥150． 答：每件衬衫的标价至少是150元． 　 20．如图，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且AC=CG，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F． （1）求证：CD是⊙O的切线． （2）若，求∠E的度数． （3）连接AD，在（2）的条件下，若CD=，求AD的长． 【考点】圆的综合题． 【分析】（1）如图1，连接OC，AC，CG，由圆周角定理得到∠ABC=∠CBG，根据同圆的半径相等得到OC=OB，于是得到∠OCB=∠OBC，等量代换得到∠OCB=∠CBG，根据平行线的判定得到OC∥BG，即可得到结论； （2）由OC∥BD，得到△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，得到，，根据直角三角形的性质即可得到结论； （3）如图2，过A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到BD=3，DE=3，BE=6，在Rt△DAH中，AD===． 【解答】（1）证明：如图1，连接OC，AC，CG， ∵AC=CG， ∴， ∴∠ABC=∠CBG， ∵OC=OB， ∴∠OCB=∠OBC， ∴∠OCB=∠CBG， ∴OC∥BG， ∵CD⊥BG， ∴OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵OC∥BD， ∴△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD， ∴， ∴， ∵OA=OB， ∴AE=OA=OB， ∴OC=OE， ∵∠ECO=90， ∴∠E=30； （3）解：如图2，过A作AH⊥DE于H， ∵∠E=30 ∴∠EBD=60， ∴∠CBD=EBD=30， ∵CD=， ∴BD=3，DE=3，BE=6， ∴AE=BE=2， ∴AH=1， ∴EH=， ∴DH=2， 在Rt△DAH中，AD===． 　 21．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC=a，AC=b，AB=c． 特例探索 （1）如图1，当∠ABE=45，c=2时，a=　2　，b=　2　． 如图2，当∠ABE=30，c=4时，a=　2　，b=　2　． 归纳证明 （2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． 拓展应用 （3）如图4，在▱ABCD中，点E、F、G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD=2，AB=3，求AF的长． 【考点】相似形综合题． 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得到AP=BP=AB=2，根据三角形中位线的性质，得到EF∥AB，EF=AB=，再由勾股定理得到结果； （2）连接EF，设∠ABP=α，类比着（1）即可证得结论． （3）连接AC交EF于H，设BE与AF的交点为P，由点E、G分别是AD，CD的中点，得到EG是△ACD的中位线于是证出BE⊥AC，由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，AD=BC=2，∠EAH=∠FCH根据E，F分别是AD，BC的中点，得到AE=BF=CF=AD=，证出四边形ABFE是平行四边形，证得EH=FH，推出EH，AH分别是△AFE的中线，由（2）的结论得即可得到结果． 【解答】解：（1）∵AF⊥BE，∠ABE=45， ∴AP=BP=AB=2， ∵AF，BE是△ABC的中线， ∴EF∥AB，EF=AB=， ∴∠PFE=∠PEF=45， ∴PE=PF=1， 在Rt△FPB和Rt△PEA中， AE=BF==， ∴AC=BC=2， ∴a=b=2， 如图2，连接EF， 同理可得：EF=4=2， ∵EF∥AB， ∴△PEF～△ABP， ∴， 在Rt△ABP中， AB=4，∠ABP=30， ∴AP=2，PB=2， ∴PF=1，PE=， 在Rt△APE和Rt△BPF中， AE=，BF=， ∴a=2，b=2， 故答案为：2，2，2，2； （2）猜想：a2+b2=5c2， 如图3，连接EF， 设∠ABP=α， ∴AP=csinα，PB=ccosα， 由（1）同理可得，PF=PA=，PE==， AE2=AP2+PE2=c2sin2α+，BF2=PB2+PF2=+c2cos2α， ∴=c2sin2α+， =+c2cos2α， ∴+=+c2cos2α+c2sin2α+， ∴a2+b2=5c2； （3）如图4，连接AC，EF交于H，AC与BE交于点Q，设BE与AF的交点为P， ∵点E、G分别是AD，CD的中点， ∴EG∥AC， ∵BE⊥EG， ∴BE⊥AC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC=2， ∴∠EAH=∠FCH， ∵E，F分别是AD，BC的中点， ∴AE=AD，BF=BC， ∴AE=BF=CF=AD=， ∵AE∥BF， ∴四边形ABFE是平行四边形， ∴EF=AB=3，AP=PF， 在△AEH和△CFH中， ， ∴△AEH≌△CFH， ∴EH=FH， ∴EQ，AH分别是△AFE的中线， 由（2）的结论得：AF2+EF2=5AE2， ∴AF2=5﹣EF2=16， ∴AF=4． 　 22．如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线BC交于点D（3，﹣4）． （1）求直线BD和抛物线的解析式； （2）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP是平行四边形时，试求动点P的坐标． 【考点】二次函数综合题；一次函数的应用；平行四边形的性质；相似三角形的性质． 【分析】方法一： （1）由直线y=2x+2可以求出A，B的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式和直线BD的解析式； （2）如图1，2，由（1）的解析式设M（a，﹣a2+a+2），当△BOC∽△MON或△BOC∽△ONM时，由相似三角形的性质就可以求出结论； （3）设P（b，﹣b2+b+2），H（b，﹣2b+2）．由平行四边形的性质建立方程求出b的值就可以求出结论． 方法二： （1）利用一次函数求出B点坐标，利用抛物线求出D点坐标，进而求出BD． （2）因为以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似，所以∠OMN=∠OBA或∠OMN=∠OAB，分类讨论MN∥OB或OM⊥BC两种情况，并进行求解． （3）求出PH的参数长度，当PH=BO=2时，求出P点坐标． 【解答】方法一： 解：（1）∵y=2x+2， ∴当x=0时，y=2， ∴B（0，2）． 当y=0时，x=﹣1， ∴A（﹣1，0）． ∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（0，2），D（3，﹣4）， ∴ 解得：， ∴y=﹣x2+x+2； 设直线BD的解析式为y=kx+b，由题意，得 ， 解得：， ∴直线BD的解析式为：y=﹣2x+2； （2）存在． 如图1，设M（a，﹣a2+a+2）． ∵MN垂直于x轴， ∴MN=﹣a2+a+2，ON=a． ∵y=﹣2x+2， ∴y=0时，x=1， ∴C（1，0）， ∴OC=1． ∵B（0，2）， ∴OB=2． 当△BOC∽△MNO时， ∴， ∴， 解得：a1=1，a2=﹣2（舍去） ∴M（1，2）； 如图2，当△BOC∽△ONM时， ， ∴， ∴a=或（舍去）， ∴M（，）． ∴符合条件的点M的坐标为（1，2），（，）； （3）设P（b，﹣b2+b+2），H（b，﹣2b+2）． 如图3，∵四边形BOHP是平行四边形， ∴BO=PH=2． ∵PH=﹣b2+b+2+2b﹣2=﹣b2+3b． ∴2=﹣b2+3b ∴b1=1，b2=2． 当b=1时，P（1，2）， 当b=2时，P（2，0） ∴P点的坐标为（1，2）或（2，0）． 方法二： （1）略． （2）设M（a，﹣a2+a+2）， ∵MN⊥x轴， ∴∠OMN=∠OBA或∠OMN=∠OAB， ①当∠OMN=∠OBA时， ∵△BOC∽△MON， ∴， ∴， ∴a1=1，a2=﹣2（舍）， ∴M1（1，2）， ②当∠OMN=∠OAB时， ∵△BOC∽△MON， ∴OM⊥BC， ∴KOMKBC=﹣1， ∴=﹣1， ∴2a2﹣a﹣4=0， ∴a1=，a2=（舍）， ∴M2（，）． （3）设P（b，﹣b2+b+2），H（b，﹣2b+2）， ∵四边形BOHP是平行四边形， ∴BO=PH=2， ∵PH=﹣b2+b+2+2b﹣2=﹣b2+3b． ∴2=﹣b2+3b， ∴b1=1，b2=2， 当b=1时，P（1，2）， 当b=2时，P（2，0）， ∴P点的坐标为（1，2）或（2，0）．