高考数学大二轮复习 第二编 专题整合突破 专题八 系列4选讲 第一讲 坐标系与参数方程适考素能特训 文

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专题八 系列4选讲 第一讲 坐标系与参数方程适考素能特训 文 1．[2016合肥质检]在直角坐标系xOy中，曲线C：(α为参数)，在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρsinθ＋ρcosθ＝m. (1)若m＝0时，判断直线l与曲线C的位置关系； (2)若曲线C上存在点P到直线l的距离为，求实数m的取值范围． 解　(1)曲线C的普通方程为：(x－1)2＋(y－1)2＝2，是一个圆；当m＝0时，直线l的直角坐标方程为：x＋y＝0， 圆心C到直线l的距离为d＝＝＝r，r为圆C的半径，所以直线l与圆C相切． (2)由已知可得，圆心C到直线l的距离为d＝≤，解得－1≤m≤5. 2．[2016湖南四校联考]已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sin. (1)求圆C的直角坐标方程； (2)若P(x，y)是直线l与圆面ρ≤4sin的公共点，求x＋y的取值范围． 解　(1)因为圆C的极坐标方程为ρ＝4sin， 所以ρ2＝4ρsin＝4ρ 又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ， 所以x2＋y2＝2y－2x， 所以圆C的普通方程为x2＋y2＋2x－2y＝0. (2)设z＝x＋y， 由圆C的方程x2＋y2＋2x－2y＝0⇒(x＋1)2＋(y－)2＝4， 所以圆C的圆心是(－1，)，半径是2， 将代入z＝x＋y得z＝－t. 又直线l过C(－1，)，圆C的半径是2，所以－2≤t≤2， 所以－2≤－t≤2， 即x＋y的取值范围是[－2,2]． 3．[2016山西质检]已知曲线C1：x＋y＝和C2：(φ为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位． (1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程； (2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离． 解　(1)C1：ρsin＝，C2：ρ2＝. (2)∵M(，0)，N(0,1)，∴P， ∴OP的极坐标方程为θ＝， 把θ＝代入ρsin＝得ρ1＝1，P. 把θ＝代入ρ2＝得ρ2＝2，Q. ∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q两点间的距离为1. 4．[2016长春质量监测]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t是参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8cos. (1)求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线； (2)若曲线C1和曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值． 解　(1)对于曲线C2有ρ＝8cos，即ρ2＝4ρcosθ＋4ρsinθ，因此曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－4x－4y＝0，其表示一个圆． (2)联立曲线C1与曲线C2的方程可得：t2－2sinαt－13＝0，|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，因此|AB|的最小值为2，最大值为8. 5．[2016河南六市一联]在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数)，在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝. (1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程； (2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积． 解　(1)由曲线C的极坐标方程ρ＝，得ρ2sin2θ＝2ρcosθ，所以曲线C的直角坐标方程是y2＝2x. 由直线l的参数方程得t＝3＋y，代入x＝1＋t中，消去t得x－y－4＝0， 所以直线l的普通方程为x－y－4＝0. (2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2＝2x，得t2－8t＋7＝0， 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2， 则t1＋t2＝8，t1t2＝7， 所以|AB|＝|t1－t2|＝＝＝6， 因为原点到直线x－y－4＝0的距离d＝＝2， 所以△AOB的面积是|AB|d＝62＝12. 6．[2016贵阳监测]极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ(ρ≥0)，曲线C2的参数方程为(t为参数，0≤α<π)，射线θ＝φ，θ＝φ＋，θ＝φ－与曲线C1分别交于(不包括极点O)点A、B、C. (1)求证：|OB|＋|OC|＝|OA|； (2)当φ＝时，B、C两点在曲线C2上，求m与α的值． 解　(1)证明：依题意|OA|＝4cosφ， |OB|＝4cos，|OC|＝4cos， 则|OB|＋|OC|＝4cos＋4cos ＝2(cosφ－sinφ)＋2(cosφ＋sinφ) ＝4cosφ＝|OA|. (2)当φ＝时，B、C两点的极坐标分别为、，化为直角坐标为B(1，)、C(3，－)，所以经过点B、C的直线方程为y－＝－(x－1)，而C2是经过点(m,0)且倾斜角为α的直线，故m＝2，α＝. 7．[2016重庆测试]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin＝2. (1)求曲线C和直线l在该直角坐标系下的普通方程； (2)动点A在曲线C上，动点B在直线l上，定点P的坐标为(－2,2)，求|PB|＋|AB|的最小值． 解　(1)由曲线C的参数方程可得， (x－1)2＋y2＝cos2α＋sin2α＝1， 所以曲线C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1. 由直线l的极坐标方程：ρsin＝2，可得ρ(sinθ＋cosθ)＝4，即x＋y＝4. (2)设点P关于直线l的对称点为Q(a，b)，则解得 由(1)知，曲线C为圆，圆心坐标为C(1,0)， 故|PB|＋|AB|＝|QB|＋|AB|≥|QC|－1＝－1. 当Q，B，A，C四点共线，且A在B，C之间时，等号成立，所以|PB|＋|AB|的最小值为－1. 8．[2016全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cosθ. (1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程； (2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a. 解　(1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2.C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆． 将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0. (2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，由已知tanθ＝2，可得16cos2θ－8sinθcosθ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1. a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上． 所以a＝1.