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第1讲 六招求解选择题
[题型分析高考展望] 选择题是高考试题的三大题型之一，其特点是：难度中低，小巧灵活，知识覆盖面广，解题只要结果不看过程．解选择题的基本策略是：充分利用题干和选项信息，先定性后定量，先特殊再一般，先排除后求解，避免“小题大做”．
解答选择题主要有直接法和间接法两大类．直接法是最基本、最常用的方法，但为了提高解题的速度，我们还要研究解答选择题的间接法和解题技巧．
高考必会题型
方法一 直接法
直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．
例1 设双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，线段BF与双曲线的一条渐近线交于点A，若＝2，则双曲线的离心率为( )
A．6 B．4 C．3 D．2
答案 D
解析 设点F(c,0)，B(0，b)，
由＝2，得－＝2(－)，
即＝(＋2)，所以点A(，)，
因为点A在渐近线y＝x上，
则＝，即e＝2.
点评 直接法是解答选择题最常用的基本方法，直接法适用的范围很广，一般来说，涉及概念、性质的辨析或运算比较简单的题多采用直接法，只要运算正确必能得出正确的答案．提高用直接法解选择题的能力，准确地把握题目的特点．用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，在稳的前提下求快，一味求快则会快中出错．
变式训练1 函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )
A．2，－ B．2，－
C．4，－ D．4，
答案 A
解析 由图可知，＝－，
即T＝π，所以由T＝可得，ω＝2，
所以函数f(x)＝2sin(2x＋φ)，
又因为函数图象过点(，2)，
所以2＝2sin(2＋φ)，
即2＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
又因为－<φ<，所以φ＝－.
方法二 特例法
特例法是从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊数列等．
例2 (1)已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，∠A＝60，＋＝2m，则m的值为( )
A. B. C．1 D.
(2)已知函数f(x)＝若a，b，c均不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是( )
A．(1,10) B．(5,6) C．(10,12) D．(20,24)
答案 (1)A (2)C
解析 (1)如图，当△ABC为正三角形时，A＝B＝C＝60，取D为BC的中点，＝，
则有＋＝2m，
∴(＋)＝2m，
∴2＝m，
∴m＝，故选A.
(2)不妨设0
0，n＝1,2,3，…，且a5a2n－5＝22n(n≥3)，当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1等于( )
A．n(2n－1) B．(n＋1)2
C．n2 D．(n－1)2
(2)如图，在棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P、Q满足A1P＝BQ，过P、Q、C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )
A．3∶1 B．2∶1
C．4∶1 D.∶1
答案 (1)C (2)B
解析 (1)因为a5a2n－5＝22n(n≥3)，
所以令n＝3，代入得a5a1＝26，
再令数列为常数列，得每一项为8，
则log2a1＋log2a3＋log2a5＝9＝32.
结合选项可知只有C符合要求．
(2)将P、Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此时仍满足条件A1P＝BQ(＝0)，则有故过P，Q，C三点的截面把棱柱分成的两部分的体积之比为2∶1.
方法三 排除法
排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提条件是答案唯一，具体的做法是采用简捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确答案．
例3 (1)函数f(x)＝2|x|－x2的图象为( )
(2)函数f(x)＝ (0≤x≤2π)的值域是( )
A. B．[－1,0]
C．[－，－1] D.
答案 (1)D (2)B
解析 (1)由f(－x)＝f(x)知函数f(x)是偶函数，
其图象关于y轴对称，排除选项A、C；
当x＝0时，f(x)＝1，排除选项B，故选D.
(2)令sin x＝0，cos x＝1，
则f(x)＝＝－1，排除A，D；
令sin x＝1，cos x＝0，则f(x)＝＝0，排除C，故选B.
点评 排除法适用于定性型或不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案．
变式训练3 (1)设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为( )
A．[－1,2] B．[－1,0]
C．[1,2] D．[0,2]
(2)(2015浙江)函数f(x)＝cos x(－π≤x≤π且x≠0)的图象可能为( )
答案 (1)D (2)D
解析 (1)若a＝－1，则f(x)＝
易知f(－1)是f(x)的最小值，排除A，B；
若a＝0，则f(x)＝易知f(0)是f(x)的最小值，故排除C.故D正确．
(2)∵f(x)＝(x－)cos x，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，排除A，B；当x＝π时，f(x)＜0，排除C.故选D.
方法四 数形结合法
根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，习惯上也叫数形结合法，有些选择题可通过命题条件中的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质等，综合图象的特征，得出结论．
例4 (1)已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为( )
A．60 B．90
C．120 D．150
(2)定义在R上的奇函数f(x)和定义在{x|x≠0}上的偶函数g(x)分别满足f(x)＝g(x)＝log2x(x>0)，若存在实数a，使得f(a)＝g(b)成立，则实数b的取值范围是( )
A．[－2,2]
B．[－，0)∪(0，]
C．[－2，－]∪[，2]
D．(－∞，－2]∪[－2，＋∞)
答案 (1)B (2)C
解析 (1)如图，
因为〈a，b〉＝120，|b|＝2|a|，a＋b＋c＝0，所以在△OBC中，BC与CO的夹角为90，即a与c的夹角为90.
(2)分别画出函数f(x)和g(x)的图象，
存在实数a，使得f(a)＝g(b)成立，
则实数b一定在函数g(x)使得两个函数的函数值重合的区间内，
故实数b的取值范围是[－2，－]∪[，2]．
点评 图解法是依靠图形的直观性进行分析的，用这种方法解题比直接计算求解更能抓住问题的实质，并能迅速地得到结果．不过运用图解法解题一定要对有关的函数图象、几何图形较熟悉，否则错误的图象反而会导致错误的选择．
变式训练4 (1)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C2，C1上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5－4 B.－1
C．6－2 D.
(2)已知函数f(x)＝与g(x)＝x3＋t，若f(x)与g(x)的交点在直线y＝x的两侧，则实数t的取值范围是( )
A．(－6,0] B．(－6,6)
C．(4，＋∞) D．(－4,4)
答案 (1)A (2)B
解析 (1)作圆C1关于x轴的对称圆C1′：(x－2)2＋(y＋3)2＝1，
则|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PN′|，
由图可知当点C2、M、P、N′、C1′在同一直线上时，
|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PN′|取得最小值，
即为|C1′C2|－1－3＝5－4.
(2)根据题意可得函数图象，g(x)在点A(2,2)处的取值大于2，在点B(－2，－2)处的取值小于－2，可得g(2)＝23＋t＝8＋t>2，g(－2)＝(－2)3＋t＝－8＋t<－2，解得t∈(－6,6)，故选B.
方法五 正难则反法
在解选择题时，有时从正面求解比较困难，可以转化为其反面的问题来解决，即将问题转化为其对立事件来解决，实际上就是补集思想的应用．
例5 (1)设集合A＝{x|a－14}
C．{a|a≤0或a≥6}
D．{a|2≤a≤4}
(2)已知二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，若在[－1,1]上存在x使得f(x)>0，则实数p的取值范围是( )
A．[－，－]∪[1,3]
B．[1,3]
C．[－，3]
D．(－3，)
答案 (1)A (2)D
解析 (1)当A∩B＝∅时，
由图可知a＋1≤1或a－1≥5，
所以a≤0或a≥6，
故当A∩B≠∅时，00，
即当x∈[－1,1]时，f(x)≤0恒成立，
则 即
解得
即p∈(－∞，－3]∪[，＋∞)，
其补集是(－3，)．
点评 应用正难则反法解题的关键在于准确转化，适合于正面求解非常复杂或者无法判断的问题．
变式训练5 若函数y＝ex＋mx有极值，则实数m的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(1，＋∞) D．(－∞，1)
答案 B
解析 y′＝(ex＋mx)′＝ex＋m，
函数y＝ex＋mx没有极值的充要条件是函数在R上为单调函数，
即y′＝ex＋m≥0(或≤0)恒成立，
而ex≥0，故当m≥0时，
函数y＝ex＋mx在R上为单调递增函数，
不存在极值，所以函数存在极值的条件是m<0.
方法六 估算法
由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程．因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义．估算法往往可以减少运算量，但是提升了思维的层次．
例6 (1)已知x1是方程x＋lg x＝3的根，x2是方程x＋10x＝3的根，则x1＋x2等于( )
A．6 B．3
C．2 D．1
(2)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝，EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为( )
A. B．5
C．6 D.
答案 (1)B (2)D
解析 (1)因为x1是方程x＋lg x＝3的根，所以2a＝log23>1，b＝2>2，c＝3－<1，所以c1.
所以D正确．
高考题型精练
1．已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q ＝{x|1＜x≤2}，则(∁RP)∩Q等于( )
A．[0,1) B．(0,2]
C．(1,2) D．[1,2]
答案 C
解析 ∵P＝{x|x≥2或x≤0}，∁RP＝{x|0＜x＜2}，
∴(∁RP)∩Q＝{x|1＜x＜2}，故选C.
2．(2015四川)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin 2x＋cos 2x D．y＝sin x＋cos x
答案 B
解析 A项，y＝sin＝cos 2x，最小正周期为π，且为偶函数，不符合题意；
B项，y＝cos＝－sin 2x，最小正周期为π，且为奇函数，符合题意；
C项，y＝sin 2x＋cos 2x＝sin，最小正周期为π，为非奇非偶函数，不符合题意；
D项，y＝sin x＋cos x＝sin，最小正周期为2π，为非奇非偶函数，不符合题意．
3．已知双曲线的一个焦点与抛物线x2＝24y的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30，则该双曲线的标准方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
答案 B
解析 由题意知，抛物线的焦点坐标为(0,6)，
所以双曲线的焦点坐标为(0,6)和(0，－6)，
所以双曲线中c＝6，
又因为双曲线的一条渐近线的倾斜角为30，
所以＝，所以＝，
又a2＋b2＝36，得a2＝9，b2＝27.
故选B.
4.图中阴影部分的面积S是h的函数(0≤h≤H)，则该函数的大致图象是( )
答案 B
解析 由题图知，随着h的增大，阴影部分的面积S逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B.
5．已知实数x，y满足约束条件则z＝的取值范围是( )
A．[－1，] B．[－，]
C．[－，＋∞) D．[－，1)
答案 B
解析 如图，
z＝表示可行域内的动点P(x，y)与定点A(－1,1)连线的斜率．
6．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)等于( )
A．ex＋1 B．ex－1
C．e－x＋1 D．e－x－1
答案 D
解析 依题意，f(x)向右平移一个单位长度之后得到的函数是y＝e－x，于是f(x)相当于y＝e－x向左平移一个单位的结果，所以f(x)＝e－x－1.
7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( )
A．1 B.
C. D.
答案 C
解析 由俯视图知正方体的底面水平放置，其正视图为矩形，以正方体的高为一边长，另一边长最小为1，最大为，面积范围应为[1，]，不可能等于.
8．给出下面的程序框图，若输入的x的值为－5，则输出的y值是( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
答案 C
解析 由程序框图得：若输入的x的值为－5，
()－5＝25＝32>2，
程序继续运行x＝－3，()－3＝23＝8>2，
程序继续运行x＝－1，()－1＝2，
不满足()x>2，
∴执行y＝log2x2＝log21＝0，
故选C.
9．(2015山东)设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是( )
A. B．[0,1]
C. D．[1, ＋∞)
答案 C
解析 由f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1.
当a<1时，有3a－1≥1，∴a≥，∴≤a<1.
当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.
综上，a≥，故选C.
10．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＜0，且S2 015＝0，则当Sn取得最小值时，n的取值为( )
A．1 009
B．1 008
C．1 007或1 008
D．1 008或1 009
答案 C
解析 等差数列中，Sn的表达式为n的二次函数，且常数项为0，故函数Sn的图象过原点，又a1＜0，且存在n＝2 015使得Sn＝0，可知公差d＞0，Sn图象开口向上，对称轴n＝，于是当n＝1 007或n＝1 008时，Sn取得最小值，选C.
11．已知四面体PABC的四个顶点都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC＝1，PB＝AB＝2，则球O的表面积为( )
A．7π B．8π
C．9π D．10π
答案 C
解析 依题意，记题中的球的半径是R，可将题中的四面体补形成一个长方体，且该长方体的长、宽、高分别是2,1,2，于是有(2R)2＝12＋22＋22＝9,4πR2＝9π，所以球O的表面积为9π.
12．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a1＋a200，且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则S200等于( )
A．100 B．101
C．200 D．201
答案 A
解析 因为A，B，C三点共线，所以a1＋a200＝1，
S200＝200＝100.
13．若动点P，Q在椭圆9x2＋16y2＝144上，O为原点，且满足OP⊥OQ，则O到弦PQ的距离|OH|必等于( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 选一个特殊位置(如图)，令OP、OQ分别在长、短正半轴上，由a2＝16，b2＝9得，|OP|＝4，|OQ|＝3，则|OH|＝.根据“在一般情况下成立，则在特殊情况下也成立”可知，选项C正确．故选C.
14．在抛物线y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是( )
A．(－2,1) B．(1,2)
C．(2,1) D．(－1,2)
答案 B
解析 如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1⊥l，由抛物线的定义知，|PF|＝|PN|，
∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，
当且仅当A、P、N三点共线时取等号．
∴P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1，
则可排除A、C、D，故选B.
15．已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若f(a)＝g(b)，则b的取值范围为( )
A．[2－，2＋]
B．(2－，2＋)
C．[1,3]
D．(1,3)
答案 B
解析 ∵f(a)>－1，∴g(b)>－1，
∴－b2＋4b－3>－1，
∴b2－4b＋2<0，
∴2－1，
解得x<－1或x>1，
即不等式f(x2)<＋的解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
18．已知函数f(x)＝若函数F(x)＝f2(x)－bf(x)＋1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是( )
A．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
B．(2,8)
C．(2，]
D．(0,8)
答案 C
解析 函数f(x)的图象如图所示：
要使方程f2(x)－bf(x)＋1＝0有8个不同实数根，
令f(x)＝t，
意味着00(或g()<0)，
0<<4(或t1＋t2＝b∈(0,8))，
因为g(0)＝1>0
(不论t如何变化都有图象恒过定点(0,1))，
所以只需g(4)≥0，求得b≤，
综上可得b∈(2，]．
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