高考数学大二轮复习 第二编 专题整合突破 专题四 数列 第二讲 数列求和及综合应用适考素能特训 文

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专题四 数列 第二讲 数列求和及综合应用适考素能特训 文 一、选择题 1．[2016重庆测试]在数列{an}中，若a1＝2，且对任意正整数m，k，总有am＋k＝am＋ak，则{an}的前n项和Sn＝(　　) A．n(3n－1) B. C．n(n＋1) D. 答案　C 解析　依题意得an＋1＝an＋a1，即有an＋1－an＝a1＝2，所以数列{an}是以2为首项、2为公差的等差数列，an＝2＋2(n－1)＝2n，Sn＝＝n(n＋1)，选C. 2．[2016郑州质检]正项等比数列{an}中的a1、a4031是函数f(x)＝x3－4x2＋6x－3的极值点，则log a2016＝(　　) A．1 B．2 C. D．－1 答案　A 解析　因为f′(x)＝x2－8x＋6，且a1、a4031是方程x2－8x＋6＝0的两根，所以a1a4031＝a＝6，即a2016＝，所以log a2016＝1，故选A. 3．[2016太原一模]已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(2n－1)cos＋1(n∈N*)，其前n项和为Sn，则S60＝(　　) A．－30 B．－60 C．90 D．120 答案　D 解析　由题意可得，当n＝4k－3(k∈N*)时，an＝a4k－3＝1；当n＝4k－2(k∈N*)时，an＝a4k－2＝6－8k；当n＝4k－1(k∈N*)时，an＝a4k－1＝1；当n＝4k(k∈N*)时，an＝a4k＝8k.∴a4k－3＋a4k－2＋a4k－1＋a4k＝8，∴S60＝815＝120.故选D. 4．某年“十一”期间，北京十家重点公园举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来……按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是(　　) A．211－47 B．212－57 C．213－68 D．214－80 答案　B 解析　由题意，可知从早晨6时30分开始，接下来的每个30分钟内进入的人数构成以4为首项，2为公比的等比数列，出来的人数构成以1为首项，1为公差的等差数列，记第n个30分钟内进入公园的人数为an，第n个30分钟内出来的人数为bn则an＝42n－1，bn＝n，则上午11时30分公园内的人数为S＝2＋－＝212－57. 5．已知曲线C：y＝(x>0)及两点A1(x1,0)和A2(x2,0)，其中x2>x1>0.过A1，A2分别作x轴的垂线，交曲线C于B1，B2两点，直线B1B2与x轴交于点A3(x3,0)，那么(　　) A．x1，，x2成等差数列 B．x1，，x2成等比数列 C．x1，x3，x2成等差数列 D．x1，x3，x2成等比数列 答案　A 解析　由题意，得B1，B2两点的坐标分别为，. 所以直线B1B2的方程为y＝－(x－x1)＋， 令y＝0，得x＝x1＋x2， 所以x3＝x1＋x2， 因此，x1，，x2成等差数列． 6．[2016江西南昌模拟]设无穷数列{an}，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存在正整数N，使得n>N时，恒有|an－A|<ε成立，就称数列{an}的极限为A.则四个无穷数列：①{(－1)n2}； ②； ③； ④{12＋222＋323＋…＋n2n}，其中极限为2的共有(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 答案　D 解析　对于①，|an－2|＝|(－1)n2－2|＝2|(－1)n－1|，当n是偶数时，|an－2|＝0；当n是奇数时，|an－2|＝4，所以数列{(－1)n2}没有极限，所以2不是数列{(－1)n2}的极限． 对于②，|an－2| ＝ ＝ ＝＋>1，所以对于正数ε0＝1，不存在正整数N，使得n>N时，恒有|an－2|<ε0成立，即2不是数列 的极限． 对于③，|an－2|＝＝＝，令<ε，得n>1－log2ε，所以对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存在正整数N，使得n>N时，恒有|an－2|<ε成立，所以2是数列 的极限． 对于④，当n≥2时，|an－2|＝|12＋222＋323＋…＋n2n－2|＝222＋323＋…＋n2n>1，所以对于正数ε0＝1，不存在正整数N，使得n>N时，恒有|an－2|<ε0成立，即2不是数列{12＋222＋323＋…＋n2n}的极限． 综上所述，极限为2的数列共有1个． 二、填空题 7．[2016陕西质检二]已知正项数列{an}满足a－6a＝an＋1an，若a1＝2，则数列{an}的前n项和为________． 答案　3n－1 解析　∵a－6a＝an＋1an，∴(an＋1－3an)(an＋1＋2an)＝0，∵an>0，∴an＋1＝3an，∴{an}为等比数列，且公比为3，∴Sn＝3n－1. 8．[2016唐山统考]Sn为等比数列{an}的前n项和，若2S4＝S2＋2，则S6的最小值为________． 答案　 解析　由题意得2(a1＋a1q＋a1q2＋a1q3)＝a1＋a1q＋2，整理，得(a1＋a1q)(1＋2q2)＝2，即S2(1＋2q2)＝2.因为1＋2q2>0，所以S2>0.又由2S4＝S2＋2，得S4＝S2＋1.由等比数列的性质，得S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，所以(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，所以S6＝＋S4＝＋S2＋1＝S2＋≥2＝，当且仅当S2＝，即S2＝时等号成立，所以S6的最小值为. 9．[2016武昌调研]设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋＝(－1)nan(n∈N*)，则数列{Sn}的前9项和为________． 答案　－ 解析　因为Sn＋＝(－1)nan，所以Sn－1＋＝(－1)n－1an－1(n≥2)，两式相减得Sn－Sn－1＋－＝(－1)nan－(－1)n－1an－1， 即an－＝(－1)nan＋(－1)nan－1(n≥2)， 当n为偶数时，an－＝an＋an－1，即an－1＝－， 此时n－1为奇数，所以若n为奇数，则an＝－； 当n为奇数时，an－＝－an－an－1，即2an－＝－an－1，所以an－1＝，此时n－1为偶数，所以若n为偶数，则an＝. 所以数列{an}的通项公式为an＝ 所以数列{Sn}的前9项和为S1＋S2＋S3＋…＋S9＝9a1＋8a2＋7a3＋6a4＋…＋3a7＋2a8＋a9＝(9a1＋8a2)＋(7a3＋6a4)＋…＋(3a7＋2a8)＋a9＝－－－－－＝－＝－. 三、解答题 10．[2016合肥质检]在数列{an}中，a1＝，an＋1＝an，n∈N*. (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列{an}的前n项和Sn. 解　(1)证明：由an＋1＝an知＝， ∴是以为首项，为公比的等比数列． (2)由(1)知是首项为，公比为的等比数列， ∴＝n，∴an＝， ∴Sn＝＋＋…＋，① 则Sn＝＋＋…＋，② ①－②得Sn＝＋＋＋…＋－＝1－， ∴Sn＝2－. 11．[2015安徽高考]设n∈N*，xn是曲线y＝x2n＋2＋1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标． (1)求数列{xn}的通项公式； (2)记Tn＝xx…x，证明：Tn≥. 解　(1)y′＝(x2n＋2＋1)′＝(2n＋2)x2n＋1，曲线y＝x2n＋2＋1在点(1,2)处的切线斜率为2n＋2， 从而切线方程为y－2＝(2n＋2)(x－1)． 令y＝0，解得切线与x轴交点的横坐标xn＝1－＝. (2)证明：由题设和(1)中的计算结果知 Tn＝xx…x＝22…2. 当n＝1时，T1＝. 当n≥2时，因为x＝2＝>＝＝， 所以Tn>2…＝. 综上可得对任意的n∈N*，均有Tn≥. 12．[2016河南开封质检]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝1－，其中n∈N*. (1)设bn＝，求证：数列{bn}是等差数列，并求出{an}的通项公式； (2)设cn＝，数列{cncn＋2}的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得Tn<对于n∈N*恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由． 解　(1)∵bn＋1－bn＝－ ＝－ ＝－＝2(常数)， ∴数列{bn}是等差数列． ∵a1＝1，∴b1＝2， 因此bn＝2＋(n－1)2＝2n， 由bn＝得an＝. (2)由cn＝，an＝得cn＝， ∴cncn＋2＝＝2， ∴Tn＝2＝2<3， 依题意要使Tn<对于n∈N*恒成立，只需≥3，即≥3， 解得m≥3或m≤－4，又m为正整数，所以m的最小值为3. 典题例证 [2016山东高考]已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)令cn＝.求数列{cn}的前n项和Tn. 审题过程 　依据an与Sn的关系可求an，进而求出bn的通项． 　先化简数列cn，然后依据其结构特征采取错位相减求和. 　(1)由题意知当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝6n＋5， 当n＝1时，a1＝S1＝11， 所以an＝6n＋5. 设数列{bn}的公差为d， 由 得 可解得b1＝4，d＝3. 所以bn＝3n＋1. (2)由(1)知cn＝＝3(n＋1)2n＋1. 又Tn＝c1＋c2＋…＋cn， 所以Tn＝3[222＋323＋…＋(n＋1)2n＋1]， 2Tn＝3[223＋324＋…＋(n＋1)2n＋2]， 两式作差，得－Tn＝3[222＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)2n＋2]＝3＝－3n2n＋2，所以Tn＝3n2n＋2. 模型归纳 求数列的通项公式及前n项和的模型示意图如下：