2017高考数学一轮复习第十七章坐标系与参数方程17.1坐标系与极坐标方程对点训练理

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2017高考数学一轮复习 第十七章 坐标系与参数方程 17.1 坐标系与极坐标方程对点训练 理 1．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　) A．ρ＝，0≤θ≤ B．ρ＝，0≤θ≤ C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤ D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤ 答案　A 解析　由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，y＝1－x可得ρsinθ＝1－ρcosθ，即ρ＝， 再结合线段y＝1－x(0≤x≤1)在极坐标系中的情形，可知θ∈. 因此线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为ρ＝，0≤θ≤. 2．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为(　　) A. B．2 C. D．2 答案　D 解析　由消去t得x－y－4＝0， C：ρ＝4cosθ⇒ρ2＝4ρcosθ，∴C：x2＋y2＝4x， 即(x－2)2＋y2＝4， ∴C(2,0)，r＝2. ∴点C到直线l的距离d＝＝， ∴所求弦长＝2＝2.故选D. 3.在极坐标系中，点到直线ρ(cosθ＋sinθ)＝6的距离为________． 答案　1 解析　点的直角坐标为(1，)，直线ρ(cosθ＋sinθ)＝6的直角坐标方程为x＋y－6＝0，所以点(1，)到直线的距离d＝＝1. 4．在极坐标系中，圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝(ρ∈R)距离的最大值是________． 答案　6 解析　圆ρ＝8sinθ即ρ2＝8ρsinθ，化为直角坐标方程为x2＋(y－4)2＝16，直线θ＝，则tanθ＝，化为直角坐标方程为x－y＝0，圆心(0,4)到直线的距离为＝2，所以圆上的点到直线距离的最大值为2＋4＝6. 5．已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝4，则直线l与曲线C的交点的极坐标为________． 答案　(2，π) 解析　直线l的普通方程为y＝x＋2，曲线C的直角坐标方程为x2－y2＝4(x≤－2)，故直线l与曲线C的交点为(－2,0)，对应极坐标为(2，π)． 6．在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：(α为参数)交于A，B两点，且|AB|＝2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是________． 答案　ρ(cosθ－sinθ)＝1 解析　曲线C的普通方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，设直线l的方程为y＝x＋b，∵弦长|AB|＝2，∴圆心(2,1)到直线l的距离d＝0，∴圆心在直线l上，∴l：y＝x－1，令x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴直线l的极坐标方程为ρ(cosθ－sinθ)＝1. 7．在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsinθ＝a相交于A，B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为________． 答案　3 解析　由ρ＝4sinθ可得ρ2＝4ρsinθ，所以x2＋y2＝4y. 所以圆的直角坐标方程为x2＋y2＝4y，其圆心为C(0,2)，半径r＝2；由ρsinθ＝a，得直线的直角坐标方程为y＝a，由于△AOB是等边三角形，所以圆心C是等边三角形OAB的中心，若设AB的中点为D(如图)． 则CD＝CBsin30＝2＝1，即a－2＝1，所以a＝3. 8.在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C1，C2的极坐标方程； (2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积． 解　(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0. (2)将θ＝代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－3ρ＋4＝0， 解得ρ1＝2，ρ2＝.故ρ1－ρ2＝， 即|MN|＝. 由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为. 9．已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，求圆C的半径． 解　以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy. 圆C的极坐标方程为 ρ2＋2ρ－4＝0， 化简，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ －4＝0. 则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝6. 所以圆C的半径为. 3