九年级数学上学期期中试卷（含解析） 新人教版6 (6)

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2016-2017学年山东省泰安市新泰市青云中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题 1．如图，在矩形、锐角三角形、正五边形、直角三角形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边与原图形的对应边平行，则外框与原图一定相似的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（　　） A．bcosB=c B．csinA=a C．atanA=b D． 3．利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45”，应先假设（　　） A．直角三角形的每个锐角都小于45 B．直角三角形有一个锐角大于45 C．直角三角形的每个锐角都大于45 D．直角三角形有一个锐角小于45 4．若关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣k=0的一个根为1，则另一个根为（　　） A．2 B．﹣1 C． D． 5．如图，▱ABCD中，E是AD延长线上一点，BE交AC于点F，交DC于点G，则下列结论中错误的是（　　） A．△ABE∽△DGE B．△CGB∽△DGE C．△BCF∽△EAF D．△ACD∽△GCF 6．用配方法解一元二次方程2x2﹣x﹣l=0时，配方正确的是（　　） A．（x﹣）2= B．（x+）2= C．（x﹣）2= D．（x+）2= 7．⊙O过点B，C，圆心O在等腰直角△ABC内部，∠BAC=90，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（　　） A． B．2 C． D．3 8．如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（　　） A．5米 B．6米 C．8米 D．（3+）米 9．如图，⊙O△ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是（　　） A．点O是△ABC的内心 B．点O是△ABC的外心 C．△ABC是正三角形 D．△ABC是等腰三角形 10．关于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α等于（　　） A．15 B．30 C．45 D．60 11．如图，四边形BDCE内接于以BC为直径的⊙A，已知：BC=10，cos∠BCD=，∠BCE=30，则线段DE的长是（　　） A． B．7 C．4+3 D．3+4 12．如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（　　） A．﹣2a B．2a﹣2 C．3﹣2a D．2a﹣3 13．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，OP交⊙O于点C，连接BC．若∠P=20，则∠B的度数是（　　） A．20 B．25 C．30 D．35 14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90，AC=8，BC=4，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（　　） A．10π﹣8 B．10π﹣16 C．10π D．5π 15．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于G，E为AD的中点，连接BE交AC于F，连接FD，若∠BFA=90，则下列四对三角形：①△BEA与△ACD；②△FED与△DEB；③△CFD与△ABG；④△ADF与△EFD，其中相似的为（　　） A．①④ B．①② C．②③④ D．①②③④ 17．股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（　　） A．（1+x）2= B．（1+x）2= C．1+2x= D．1+2x= 18．将一副三角板如下图摆放在一起，连接AD，则∠ADB的正切值为（　　） A． B． C． D． 19．彼此相似的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3，…，按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…，和点C1，C2，C3，…，分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1、B2的坐标分别为（1，2），（3，4），则Bn的坐标是（　　） A．（2n﹣1，2n） B．（2n﹣，2n） C．（2n﹣1﹣，2n﹣1） D．（2n﹣1﹣1，2n﹣1） 20．图1是用钢丝制作的一个几何探究工具，其中△ABC内接于⊙G，AB是⊙G的直径，AB=6，AC=2．现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图2），然后点A在射线OX上由点O开始向右滑动，点B在射线OY上也随之向点O滑动（如图3），当点B滑动至与点O重合时运动结束． 在整个运动过程中，点C运动的路程是（　　） A．4 B．6 C．4﹣2 D．10﹣4 　 二、填空题 21．sin260+cos260﹣tan45=　　． 22．一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=x﹣1的解是　　． 23．如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=56，则α的度数是　　． 24．设△ABC的面积为1，如图①，将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；…，依此类推，则Sn可表示为　　．（用含n的代数式表示，其中n为正整数） 　 三、解答题（25题8分，26-29每小题8分，共48分） 25．如图，已知：AP2=AQ•AB，且∠ABP=∠C，试说明△QPB∽△PBC． 26． 2015年4月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级地震，震源深度20千米．中国救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象．在废墟一侧某面上选两探测点A、B，AB相距2米，探测线与该面的夹角分别是30和45（如图）．试确定生命所在点C与探测面的距离．（参考数据≈1.41，≈1.73） 27．为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元． 28．如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E． （1）求证：直线EF是⊙O的切线； （2）求cos∠E的值． 29．在Rt△ABC中，∠BAC=90，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE． （1）如图①，当∠ABC=45时，求证：AD=DE； （2）如图②，当∠ABC=30时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由； （3）当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示） 　  2016-2017学年山东省泰安市新泰市青云中学九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题 1．如图，在矩形、锐角三角形、正五边形、直角三角形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边与原图形的对应边平行，则外框与原图一定相似的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】相似图形． 【专题】几何图形问题． 【分析】根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案． 【解答】解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件； 锐角三角形、直角三角形的原图与外框相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件； 正五边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件． 故选C． 【点评】边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形． 　 2．△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（　　） A．bcosB=c B．csinA=a C．atanA=b D． 【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理的逆定理． 【分析】由于a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，且∠C=90，再根据锐角三角函数的定义即可得到正确选项． 【解答】解：∵a2+b2=c2， ∴△ABC是直角三角形，且∠C=90， ∴sinA=， 即csinA=a， ∴B选项正确． 故选B． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理的逆定理． 　 3．利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45”，应先假设（　　） A．直角三角形的每个锐角都小于45 B．直角三角形有一个锐角大于45 C．直角三角形的每个锐角都大于45 D．直角三角形有一个锐角小于45 【考点】反证法． 【分析】熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可． 【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于45”时，应先假设直角三角形的每个锐角都小于45． 故选：A． 【点评】此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立． 　 4．若关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣k=0的一个根为1，则另一个根为（　　） A．2 B．﹣1 C． D． 【考点】解一元二次方程-公式法；一元二次方程的解． 【分析】首先把x=1代入方程，即可求得k的值，代入k的值，解方程即可求得． 【解答】解：根据题意得：21﹣31﹣k=0 ∴k=﹣1 ∴方程为：2x2﹣3x+1=0 解得：x1=1，x2=． 故选C． 【点评】此题考查了方程解的定义．还应注意根与系数的关系的应用，解题时会更简单． 　 5．（易错题）如图，▱ABCD中，E是AD延长线上一点，BE交AC于点F，交DC于点G，则下列结论中错误的是（　　） A．△ABE∽△DGE B．△CGB∽△DGE C．△BCF∽△EAF D．△ACD∽△GCF 【考点】相似三角形的判定；平行四边形的性质． 【专题】常规题型． 【分析】本题中可利用平行四边形ABCD中两对边平行的特殊条件来进行求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD ∴∠EDG=∠EAB ∵∠E=∠E ∴△ABE∽△DGE（第一个正确） ∵AE∥BC ∴∠EDC=∠BCG，∠E=∠CBG ∴△CGB∽△DGE（第二个正确） ∵AE∥BC ∴∠E=∠FBC，∠EAF=∠BCF ∴△BCF∽△EAF（第三个正确） 第四个无法证得，故选D 【点评】考查相似三角形的判定定理： （1）两角对应相等的两个三角形相似； （2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似； （3）三边对应成比例的两个三角形相似； （4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 　 6．用配方法解一元二次方程2x2﹣x﹣l=0时，配方正确的是（　　） A．（x﹣）2= B．（x+）2= C．（x﹣）2= D．（x+）2= 【考点】解一元二次方程-配方法． 【分析】在本题中，化二次项系数为1后，把常数项﹣移项，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣的一半的平方． 【解答】解：由原方程，得 x2﹣x=， x2﹣x+=+， （x﹣）2=， 故选：A． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 　 7．⊙O过点B，C，圆心O在等腰直角△ABC内部，∠BAC=90，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（　　） A． B．2 C． D．3 【考点】垂径定理；勾股定理；等腰直角三角形． 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质知：若过A作BC的垂线，设垂足为D，则AD必垂直平分BC；由垂径定理可知，AD必过圆心O；根据等腰直角三角形的性质，易求出BD、AD的长，进而可求出OD的值；连接OB根据勾股定理即可求出⊙O的半径． 【解答】解：过A作AD⊥BC，由题意可知AD必过点O，连接OB； ∵△BAC是等腰直角三角形，AD⊥BC， ∴BD=CD=AD=3； ∴OD=AD﹣OA=2； Rt△OBD中，根据勾股定理，得： OB==． 故选C． 【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 　 8．如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（　　） A．5米 B．6米 C．8米 D．（3+）米 【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 【分析】设CD=x，则AD=2x，根据勾股定理求出AC的长，从而求出CD、AC的长，然后根据勾股定理求出BD的长，即可求出BC的长． 【解答】解：设CD=x，则AD=2x， 由勾股定理可得，AC==x， ∵AC=3米， ∴x=3， ∴x=3米， ∴CD=3米， ∴AD=23=6米， 在Rt△ABD中，BD==8米， ∴BC=8﹣3=5米． 故选A． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣坡度坡角问题，找到合适的直角三角形，熟练运用勾股定理是解题的关键． 　 9．如图，⊙O△ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是（　　） A．点O是△ABC的内心 B．点O是△ABC的外心 C．△ABC是正三角形 D．△ABC是等腰三角形 【考点】三角形的内切圆与内心． 【分析】过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，连接OK、OD、OF，根据垂径定理和已知求出DM=KQ=FN，根据勾股定理求出OM=ON=OQ，根据三角形内心的定义求出即可． 【解答】解： 过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，连接OK、OD、OF， 由垂径定理得：DM=DE，KQ=KH，FN=FG， ∵DE=FG=HK， ∴DM=KQ=FN， ∵OD=OK=OF， ∴由勾股定理得：OM=ON=OQ， 即O到三角形ABC三边的距离相等， ∴O是△ABC的内心， 故选A． 【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的内心的应用，注意：三角形的内心到三角形三边的距离相等． 　 10．关于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α等于（　　） A．15 B．30 C．45 D．60 【考点】根的判别式；特殊角的三角函数值． 【分析】由方程有两个相等的实数根，结合根的判别式可得出sinα=，再由α为锐角，即可得出结论． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有两个相等的实数根， ∴△=﹣4sinα=2﹣4sinα=0， 解得：sinα=， ∵α为锐角， ∴α=30． 故选B． 【点评】本题考查了根的判别式以及特殊角的三角形函数值，解题的关键是求出sinα=．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键． 　 11．如图，四边形BDCE内接于以BC为直径的⊙A，已知：BC=10，cos∠BCD=，∠BCE=30，则线段DE的长是（　　） A． B．7 C．4+3 D．3+4 【考点】解直角三角形；圆周角定理． 【分析】在Rt△CDB和Rt△CBE中，通过解直角三角形易求得BD、BE的长． 过B作BF⊥DE于F，由圆周角定理知∠BCE=∠BDE，∠BED=∠BCD． 根据这些角的三角函数值以及BD、BE的长，即可求得DF、EF的值，从而得到DE的长． 【解答】解：过B作BF⊥DE于F． 在Rt△CBD中，BC=10，cos∠BCD=， ∴BD=8． 在Rt△BCE中，BC=10，∠BCE=30， ∴BE=5． 在Rt△BDF中，∠BDF=∠BCE=30，BD=8， ∴DF=BD•cos30=4． 在Rt△BEF中，∠BEF=∠BCD，即cos∠BEF=cos∠BCD=，BE=5， ∴EF=BE•cos∠BEF=3． ∴DE=DF+EF=3+4， 故选D． 【点评】此题主要考查的是圆周角定理和解直角三角形的综合应用，难度适中． 　 12．如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（　　） A．﹣2a B．2a﹣2 C．3﹣2a D．2a﹣3 【考点】位似变换；坐标与图形性质． 【分析】设点B′的横坐标为x，然后表示出BC、B′C的横坐标的距离，再根据位似比列式计算即可得解． 【解答】解：设点B′的横坐标为x， 则B、C间的横坐标的长度为a﹣1，B′、C间的横坐标的长度为﹣x+1， ∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C， ∴2（a﹣1）=﹣x+1， 解得：x=﹣2a+3， 故选：C． 【点评】本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键． 　 13．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，OP交⊙O于点C，连接BC．若∠P=20，则∠B的度数是（　　） A．20 B．25 C．30 D．35 【考点】切线的性质；圆周角定理． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】根据切线性质得AB⊥AP，再根据圆周角定理即可求出． 【解答】解：连接AC， 根据切线的性质定理得AB⊥AP， ∴∠AOP=70， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA=55； ∵AB是直径， ∴∠ACB=90， ∴∠B=35． 故选D． 【点评】熟练运用切线的性质定理和圆周角定理的推论． 　 14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90，AC=8，BC=4，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（　　） A．10π﹣8 B．10π﹣16 C．10π D．5π 【考点】扇形面积的计算． 【分析】观察图形发现：阴影部分的面积=两个半圆的面积﹣直角三角形的面积． 【解答】解：设各个部分的面积为：S1、S2、S3、S4、S5， 如图所示： ∵两个半圆的面积和是：S1+S5+S4+S2+S3+S4，△ABC的面积是S3+S4+S5，阴影部分的面积是：S1+S2+S4， ∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积． 即阴影部分的面积=π16+π4﹣84=10π﹣16． 故选：B． 【点评】本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是看出图中阴影部分的面积为两个半圆的面积﹣三角形的面积． 　 15．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【考点】切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征． 【专题】压轴题． 【分析】根据直线的解析式求得OB=4，进而求得OA=12，根据切线的性质求得PM⊥AB，根据∠OAB=30，求得PM=PA，然后根据“整圆”的定义，即可求得使得⊙P成为整圆的点P的坐标，从而求得点P个数． 【解答】解：∵直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B， ∴B（0，4）， ∴OB=4， 在RT△AOB中，∠OAB=30， ∴OA=OB==12， ∵⊙P与l相切，设切点为M，连接PM，则PM⊥AB， ∴PM=PA， 设P（x，0）， ∴PA=12﹣x， ∴⊙P的半径PM=PA=6﹣x， ∵x为整数，PM为整数， ∴x可以取0，2，4，6，8，10，6个数， ∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6． 故选：A． 【点评】本题考查了切线的性质，含30角的直角三角形的性质等，熟练掌握性质定理是解题的关键． 　 16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于G，E为AD的中点，连接BE交AC于F，连接FD，若∠BFA=90，则下列四对三角形：①△BEA与△ACD；②△FED与△DEB；③△CFD与△ABG；④△ADF与△EFD，其中相似的为（　　） A．①④ B．①② C．②③④ D．①②③④ 【考点】相似三角形的判定． 【分析】根据判定三角形相似的条件对选项逐一进行判断． 【解答】解：①根据题意得：∠BAE=∠ADC=∠AFE=90 ∴∠AEF+∠EAF=90，∠DAC+∠ACD=90 ∴∠AEF=∠ACD ∴①中两三角形相似； ②∵∠AEB=∠FEA，∠AFE=∠EAB=90， ∴△AFE∽△BAE， ∴=， 又∵AE=ED， ∴= 而∠BED=∠BED， ∴△FED∽△DEB． 故②正确； ③∵AB∥CD， ∴∠BAC=∠GCD， ∵∠ABE=∠DAF，∠EBD=∠EDF，且∠ABG=∠ABE+∠EBD， ∴∠ABG=∠DAF+∠EDF=∠DFC； ∵∠ABG=∠DFC，∠BAG=∠DCF， ∴△CFD∽△ABG，故③正确； ④∵△FED∽△DEB， ∴∠EFD=∠EDB， ∵AG=DG， ∴∠DAF=∠ADG， ∴∠DAF=∠EFD， ∴△ADF∽△EFD； 所以相似的有①②③④． 故选：D． 【点评】此题考查了相似三角形的判定： ①有两个对应角相等的三角形相似； ②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似； ③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 　 17．股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（　　） A．（1+x）2= B．（1+x）2= C．1+2x= D．1+2x= 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】增长率问题． 【分析】股票一次跌停就跌到原来价格的90%，再从90%的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能≤10%，所以至少要经过两天的上涨才可以．设平均每天涨x，每天相对于前一天就上涨到1+x． 【解答】解：设平均每天涨x． 则90%（1+x）2=1， 即（1+x）2=， 故选B． 【点评】此题考查增长率的定义及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，这道题的关键在于理解：价格上涨x%后是原来价格的（1+x）倍． 　 18．将一副三角板如下图摆放在一起，连接AD，则∠ADB的正切值为（　　） A． B． C． D． 【考点】解直角三角形． 【专题】数形结合． 【分析】过点A构造∠ADB所在的直角三角形，设AE为1，得到DE的值，相除即可． 【解答】解：作AE⊥BD，交DB的延长线于点E． 由题意可得：∠ABE=∠CBD=45， 设AE=1，则AB= ∴BC=， ∵Rt△BCD是等腰直角三角形， ∴BD=， ∴DE=1+， ∴tan∠ADB=1（+1）=． 故选D． 【点评】考查解直角三角形的知识；构造出所求角所在的直角三角形是解决本题的难点． 　 19．彼此相似的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3，…，按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…，和点C1，C2，C3，…，分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1、B2的坐标分别为（1，2），（3，4），则Bn的坐标是（　　） A．（2n﹣1，2n） B．（2n﹣，2n） C．（2n﹣1﹣，2n﹣1） D．（2n﹣1﹣1，2n﹣1） 【考点】相似多边形的性质；一次函数图象上点的坐标特征． 【专题】规律型． 【分析】根据矩形的性质求出点A1、A2的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出k、b，从而得到一次函数解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征求出A3的坐标，然后求出B3的坐标，…，最后根据点的坐标特征的变化规律写出Bn的坐标即可． 【解答】解：∵B1（1，2）， ∴相似矩形的长是宽的2倍， ∵点B1、B2的坐标分别为（1，2），（3，4）， ∴A1（0，2），A2（1，4）， ∵点A1，A2在直线y=kx+b上， ∴， 解得， ∴y=2x+2， ∵点A3在直线y=2x+2上， ∴y=23+2=8， ∴点A3的坐标为（3，8）， ∴点B3的横坐标为3+8=7， ∴点B3（7，8）， …， Bn的坐标为（2n﹣1，2n）． 故选A． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，根据点A的系列坐标判断出相应矩形的长，再求出宽，然后得到点B的系列坐标的变化规律是解题的关键． 　 20．图1是用钢丝制作的一个几何探究工具，其中△ABC内接于⊙G，AB是⊙G的直径，AB=6，AC=2．现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图2），然后点A在射线OX上由点O开始向右滑动，点B在射线OY上也随之向点O滑动（如图3），当点B滑动至与点O重合时运动结束． 在整个运动过程中，点C运动的路程是（　　） A．4 B．6 C．4﹣2 D．10﹣4 【考点】三角形的外接圆与外心；勾股定理；圆周角定理；弧长的计算． 【专题】压轴题；动点型． 【分析】由于在运动过程中，原点O始终在⊙G上，则弧AC的长保持不变，弧AC所对应的圆周角∠AOC保持不变，等于∠XOC，故点C在与x轴夹角为∠ABC的射线上运动．顶点C的运动轨迹应是一条线段，且点C移动到图中C2位置最远，然后又慢慢移动到C3结束，点C经过的路程应是线段C1C2+C2C3． 【解答】解：如图3，连接OG． ∵∠AOB是直角，G为AB中点， ∴GO=AB=半径， ∴原点O始终在⊙G上． ∵∠ACB=90，AB=6，AC=2，∴BC=4． 连接OC．则∠AOC=∠ABC，∴tan∠AOC==， ∴点C在与x轴夹角为∠AOC的射线上运动． 如图4，C1C2=OC2﹣OC1=6﹣2=4； 如图5，C2C3=OC2﹣OC3=6﹣4； ∴总路径为：C1C2+C2C3=4+6﹣4=10﹣4． 故选：D． 【点评】主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解． 　 二、填空题 21．sin260+cos260﹣tan45=　0　． 【考点】特殊角的三角函数值． 【分析】将特殊角的三角函数值代入求解． 【解答】解：原式=（）2+（）2﹣1 =0． 故答案为：0． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 　 22．一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=x﹣1的解是　x1=1，x2=3　． 【考点】解一元二次方程-因式分解法． 【专题】计算题． 【分析】先移项得到（x﹣1）（x﹣2）﹣（x﹣1）=0，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：（x﹣1）（x﹣2）﹣（x﹣1）=0， （x﹣1）（x﹣2﹣1）=0， x﹣1=0或x﹣2﹣1=0， 所以x1=1，x2=3． 故答案为x1=1，x2=3． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程． 　 23．如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=56，则α的度数是　52　． 【考点】圆心角、弧、弦的关系；三角形内角和定理． 【分析】要求α的度数，只需求出∠AOB的度数，根据已知条件，易证∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，所以可以求出α的度数． 【解答】解：连接OC、OD， ∵∠BAO=∠CBO=α， ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE， ∵∠AOE=56， ∴∠AOB==76， ∴α==52． 故答案为：52． 【点评】本题考查了与圆有关的性质，在圆中，半径处处相等，由半径和弦组成的三角形是等腰三角形，证明题目时要注意应用． 　 24．设△ABC的面积为1，如图①，将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；…，依此类推，则Sn可表示为　　．（用含n的代数式表示，其中n为正整数） 【考点】相似三角形的判定与性质． 【专题】压轴题；规律型． 【分析】连接D1E1，设AD1、BE1交于点M，先求出S△ABE1=，再根据==得出S△ABM：S△ABE1=（n+1）：（2n+1），最后根据S△ABM： =（n+1）：（2n+1），即可求出Sn． 【解答】解：如图，连接D1E1，设AD1、BE1交于点M， ∵AE1：AC=1：（n+1）， ∴S△ABE1：S△ABC=1：（n+1）， ∴S△ABE1=， ∵==， ∴=， ∴S△ABM：S△ABE1=（n+1）：（2n+1）， ∴S△ABM： =（n+1）：（2n+1）， ∴Sn=． 故答案为：． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、三角形的面积，关键是根据题意作出辅助线，得出相似三角形． 　 三、解答题（25题8分，26-29每小题8分，共48分） 25．如图，已知：AP2=AQ•AB，且∠ABP=∠C，试说明△QPB∽△PBC． 【考点】相似三角形的判定． 【专题】证明题． 【分析】首先利用相似三角形的判定得出△APQ∽△ABP，进而得出∠APB=∠AQP，利用两角相等得出△QPB∽△PBC． 【解答】证明：∵AP2=AQ•AB， ∴=， ∵∠A=∠A， ∴△APQ∽△ABP， ∴∠APB=∠AQP， 又∵∠ABP=∠C， ∴△QPB∽△PBC． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用已知得出△APQ∽△ABP得出∠APB=∠AQP是解题关键． 　 26． 2015年4月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级地震，震源深度20千米．中国救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象．在废墟一侧某面上选两探测点A、B，AB相距2米，探测线与该面的夹角分别是30和45（如图）．试确定生命所在点C与探测面的距离．（参考数据≈1.41，≈1.73） 【考点】解直角三角形的应用． 【分析】首先过C作CD⊥AB，设CD=x米，则DB=CD=x米，AD=CD=x米，再根据AB相距2米可得方程x﹣x=2，再解即可． 【解答】解：过C作CD⊥AB， 设CD=x米， ∵∠ABE=45， ∴∠CBD=45， ∴DB=CD=x米， ∵∠CAD=30， ∴AD=CD=x米， ∵AB相距2米， ∴x﹣x=2， 解得：x=+1≈2.73，． 答：命所在点C与探测面的距离2.73米． 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是正确分析出CD、AD、BD的关系． 　 27．为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元． 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】销售问题． 【分析】设每个粽子的定价为x元，由于每天的利润为800元，根据利润=（定价﹣进价）销售量，列出方程求解即可． 【解答】解：设每个粽子的定价为x元时，每天的利润为800元． 根据题意，得（x﹣3）（500﹣10）=800， 解得x1=7，x2=5． ∵售价不能超过进价的200%， ∴x≤3200%．即x≤6． ∴x=5． 答：每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元． 【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 　 28．如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E． （1）求证：直线EF是⊙O的切线； （2）求cos∠E的值． 【考点】切线的判定；勾股定理． 【专题】证明题． 【分析】（1）求证直线EF是⊙O的切线，只要连接OD证明OD⊥EF即可； （2）根据∠E=∠CBG，可以把求cos∠E的值得问题转化为求cos∠CBG，进而转化为求Rt△BCG中，两边的比的问题． 【解答】（1）证明：如图， 方法1：连接OD、CD． ∵BC是直径， ∴CD⊥AB． ∵AC=BC． ∴D是AB的中点． ∵O为CB的中点， ∴OD∥AC． ∵DF⊥AC， ∴OD⊥EF． ∴EF是O的切线． 方法2：∵AC=BC， ∴∠A=∠ABC， ∵OB=OD， ∴∠DBO=∠BDO， ∵∠A+∠ADF=90 ∴∠EDB+∠BDO=∠A+∠ADF=90． 即∠EDO=90， ∴OD⊥ED ∴EF是O的切线． （2）解：连BG． ∵BC是直径， ∴∠BDC=90． ∴CD==8． ∵AB•CD=2S△ABC=AC•BG， ∴BG===． ∴CG==． ∵BG⊥AC，DF⊥AC， ∴BG∥EF． ∴∠E=∠CBG， ∴cos∠E=cos∠CBG==． 【点评】本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可． 　 29．在Rt△ABC中，∠BAC=90，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE． （1）如图①，当∠ABC=45时，求证：AD=DE； （2）如图②，当∠ABC=30时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由； （3）当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示） 【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质． 【专题】压轴题． 【分析】（1）首先过点D作DF⊥BC，交AB于点F，得出∠BDE=∠ADF，以及∠EBD=∠AFD，再得出△BDE≌△FDA（ASA），求出即可； （2）首先过点D作DG⊥BC，交AB于点G，进而得出∠EBD=∠AGD，证出△BDE∽△GDA即可得出答案； （3）首先过点D作DG⊥BC，交AB于点G，进而得出∠EBD=∠AGD，证出△BDE∽△GDA即可得出答案． 【解答】（1）证明：如图1，过点D作DF⊥BC，交AB于点F， 则∠BDE+∠FDE=90， ∵DE⊥AD， ∴∠FDE+∠ADF=90， ∴∠BDE=∠ADF， ∵∠BAC=90，∠ABC=45， ∴∠C=45， ∵MN∥AC， ∴∠EBD=180﹣∠C=135， ∵∠BFD=45，DF⊥BC， ∴∠BFD=45，BD=DF， ∴∠AFD=135， ∴∠EBD=∠AFD， 在△BDE和△FDA中 ， ∴△BDE≌△FDA（ASA）， ∴AD=DE； （2）解：DE=AD， 理由：如图2，过点D作DG⊥BC，交AB于点G， 则∠BDE+∠GDE=90， ∵DE⊥AD， ∴∠GDE+∠ADG=90， ∴∠BDE=∠ADG， ∵∠BAC=90，∠ABC=30， ∴∠C=60， ∵MN∥AC， ∴∠EBD=180﹣∠C=120， ∵∠ABC=30，DG⊥BC， ∴∠BGD=60， ∴∠AGD=120， ∴∠EBD=∠AGD， ∴△BDE∽△GDA， ∴=， 在Rt△BDG中， =tan30=， ∴DE=AD； （3）AD=DE•tanα； 理由：如图2，∠BDE+∠GDE=90， ∵DE⊥AD， ∴∠GDE+∠ADG=90， ∴∠BDE=∠ADG， ∵∠EBD=90+α，∠AGD=90+α， ∴∠EBD=∠AGD， ∴△EBD∽△AGD， ∴=， 在Rt△BDG中， =tanα，则=tanα， ∴AD=DE•tanα． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，得出△EBD∽△AGD是解题关键．