高中数学 学业分层测评24 苏教版必修2
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学业分层测评(二十四) (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、填空题 1．已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且PA＝PB，则点P的坐标为________． 【解析】 设P(0,0，c)， 由题意得＝ ， 解得c＝3，∴点P的坐标为(0,0,3)． 【答案】 (0,0,3) 2．已知平行四边形ABCD，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3，7，－5)，则顶点D的坐标为__________． 【解析】 由平行四边形对角线互相平分的性质知，AC的中点即为BD的中点，AC的中点M.设D(x，y，z)，则＝，4＝，－1＝，∴x＝5，y＝13，z＝－3， ∴D(5,13，－3)． 【答案】 (5,13，－3) 3．△ABC在空间直角坐标系中的位置及坐标如图2313所示，则BC边上的中线的长是________． 图2313 【解析】 BC的中点坐标为(1,1,0)． 又A(0,0,1)， ∴AM＝＝. 【答案】 4．点B是点A(2，－3,5)关于xOy平面的对称点，则AB＝________. 【解析】 点B的坐标为B(2，－3，－5)， ∴AB＝＝10. 【答案】 10 5．在空间直角坐标系中，一定点P到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是________． 【解析】 设P(x，y，z)，由题意可知 ∴x2＋y2＋z2＝， ∴＝. 【答案】 6. 图2314 在如图2314所示的空间直角坐标系中，长方体的顶点C′的坐标为(4,4,2)，E，F分别为BC，A′B′的中点，则EF的长为________． 【解析】 由C′(4,4,2)知，B(4,0,0)，C(4,4,0)，A′(0,0,2)，B′(4,0,2)．由中点坐标公式得，E(4,2,0)，F(2,0,2)， ∴EF＝＝2. 【答案】 2 7．在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使点M到点N(6,5,1)的距离最小，则M点坐标为________. 【导学号：60420095】 【解析】 设M点坐标为(x,1－x,0)， 则MN＝ ＝≥(当x＝1时，取“＝”)， ∴M(1,0,0)． 【答案】 (1,0,0) 8．已知正方体不在同一表面上的两顶点A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，则正方体的体积是__________． 【解析】 设正方体的棱长为a， 则a＝AB＝＝4， 所以a＝4，V＝43＝64. 【答案】 64 二、解答题 图2315 9．如图2315，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，DE⊥AC，垂足为E，求B1E的长． 【解】 如图，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系． 则D(0,0,0)，B1(2,4,2)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，设点E的坐标为(x，y,0)， 在坐标平面xOy内，直线AC的方程为＋＝1， 即2x＋y－4＝0，DE⊥AC， 直线DE的方程为x－2y＝0. 由得 ∴E. ∴B1E＝＝， 即B1E的长为. 10．如图2316(1)，已知矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4.将矩形ABCD沿对角线BD折起，使得面BCD⊥面ABD.现以D为坐标原点，射线DB为y轴的正方向，建立如图2316(2)所示空间直角坐标系，此时点A恰好在xDy平面内，试求A，C两点的坐标． 图2316 【解】 由题意知，在直角坐标系Dxyz中，B在y轴的正半轴上，A，C分别在xDy平面、yDz平面内． 在xDy平面内过点A作AE垂直y轴于点E，则点E为点A在y轴上的射影． 在Rt△ABD中，由AD＝3，AB＝4，得AE＝，从而ED＝＝. ∴A， 同理，在yDz平面内过点C作CF垂直y轴于点F，则点F为点C在y轴上的射影，CF＝，DF＝， ∴C. [能力提升] 图2317 1．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点．建立如图2317所示的空间直角坐标系． (1)点D，N，M的坐标为________，________，________. (2)MD＝________，MN＝________. 【解析】 (1)因为D是原点，则D(0,0,0)． 由AB＝BC＝2，D1D＝3， 得A(2,0,0)，B(2,2,0)，B1(2,2,3)，C1(0,2,3)． ∵N是AB的中点，∴N(2,1,0)． 同理可得M(1,2,3)． (2)由两点间距离公式，得 MD＝＝， MN＝＝. 【答案】 (1)(0,0,0) (2,1,0) (1,2,3) (2) 2．已知△ABC的三个顶点坐标是A(3,1,1)，B(－5,2,1)，C(－4,2,3)，则它在yOz平面上的射影所组成的△A′B′C′的面积是________． 【解析】 A，B，C三点在yOz平面上的射影为A′(0,1,1)，B′(0,2,1)，C′(0,2,3)，△A′B′C′是以B′为直角的Rt△， ∴S△A′B′C′＝12＝1. 【答案】 1 3．三棱锥各顶点的坐标分别为(0,0,0)，(1,0,0)，(0,2,0)，(0,0,3)，则三棱锥的体积为________． 【解析】 V＝Sh＝123＝1. 【答案】 1 图2318 4．在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝2，CB＝CC1＝4，E，F，M，N分别是A1B1，AB，C1B1，CB的中点，如图2318建立空间直角坐标系． (1)在平面ABB1A1中找一点P，使△ABP为正三角形； (2)能否在MN上求得一点Q，使△AQB为直角三角形？若能，请求出点Q的坐标，若不能，请予以证明． 【解】 (1)因为EF是AB边的中垂线，在平面AB1内只有EF上的点与A，B两点的距离相等，则P必在EF上， 设P(1,2，z)，则由|PA|＝|AB|，得 ＝， 即＝， ∴z2＝15. ∵z∈[0,4]， ∴z＝. 故平面ABB1A1中的点P(1,2，)， 使△ABP为正三角形． (2)设MN上的点Q(0,2，z)， 由△AQB为直角三角形，其斜边的中线长必等于斜边长的一半， ∴|QF|＝|AB|，即＝， ∴z＝2(0
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