高中数学 第一章 统计案例 第2节 独立性检验（第1课时）学案 北师大版选修1-21

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2.1　条件概率与独立事件 1．了解条件概率的概念，会用条件概率公式求解简单的实际问题． 2．理解相互独立事件的意义，理解相互独立事件同时发生的概率乘法公式． 1．条件概率 (1)已知B发生的条件下，A发生的概率，称为_________________，记为____________． (2)当P(B)＞0时，有__________． (1)其中，A∩B也可以写成AB，即A，B同时发生，上式为P(A|B)＝； (2)当P(A)＞0时，A发生时B发生的概率为P(B|A)＝. 【做一做1－1】 已知P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)等于(　　)． A. B. C. D. 【做一做1－2】 把一枚硬币任意掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，事件B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)等于(　　)． A. B. C. D. 2．相互独立事件 (1)对于两个事件A，B，如果__________，则称A，B相互独立． 注意区别事件间的“互斥”与“相互独立”的概念，两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，可能同时发生． (2)如果A，B相互独立，则A与________，与____，与________也相互独立． 如果A，B相互独立，则有 P(A)＝P(A)P()＝P(A)[1－P(B)]， P(B)＝P()P(B)＝[1－P(A)]P(B)， P(　)＝P()P()＝[1－P(A)][1－P(B)]． (3)如果A1，A2，…，An相互独立，则有P(A1A2…An)＝__________. 【做一做2】 已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A)＝________，P(　)＝__________. 答案：1．(1)B发生时A发生的条件概率　P(A|B)　(2)P(A|B)＝ 【做一做1－1】 B 【做一做1－2】 B　由题意，知P(A)＝，P(AB)＝＝， ∴P(B|A)＝＝＝. 2．(1)P(AB)＝P(A)P(B)　(2)　B　 (3)P(A1)P(A2)…P(An) 【做一做2】 　　∵P(A)＝， ∴P()＝1－＝. ∵P(B)＝，∴P()＝1－＝. ∴P(A　)＝P(A)P()＝＝， P(　)＝P()P()＝＝. 对条件概率的理解 剖析：在解答概率问题时，首先要分清楚题目是条件概率，还是无条件概率，条件概率是指所求事件的发生是有前提条件的，是指在已知事件A必然发生的前提下，只需局限在A发生的范围内考虑问题即可，在事件A发生的前提下事件B发生，等价于事件A和事件B同时发生，即AB发生，由古典概型知其条件概率为P(B|A)＝＝＝，其中n(Ω)为一次试验中可能出现的结果数，n(A)为事件A所包含的结果数，n(AB)为A与B同时发生时的结果数．特别地，如果A为必然事件，即P(A)＝1，则事件B发生的概率可认为是无条件概率． 题型一 区分条件概率与非条件概率 【例题1】 在由12道选择题和4道填空题组成的16道考题中，如果不放回地依次抽取2道题． 求：(1)第一次抽到填空题的概率； (2)第一次和第二次都抽到填空题的概率； (3)在第一次抽到填空题的前提下，第二次抽到填空题的概率． 分析：(1)为无条件古典概型，(2)为相互独立事件同时发生的概率，(3)为条件概率，可由(1)(2)求出． 反思：本题中(1)(2)为无条件概率，(3)为条件概率，通过本题体会两者之间的区别与联系． 题型二 计算条件概率的方法 【例题2】 设有大小相同的6个白色球和4个红色球放在一个袋子里．现从中不放回地依次取出两球，在已知第一次取出的是白球的情况下，求第二次取出的是红球的概率． 分析：本题为条件概率，根据计算公式，需要分清楚两个事件中哪个事件是前提条件，再由公式计算． 反思：在求条件概率时，要明确条件事件A和在事件A发生的条件下，事件B是什么，再由公式求出． 题型三 相互独立事件至少有一个发生的概率 【例题3】 甲射击击中目标的概率是，乙射击击中目标的概率是，丙射击击中目标的概率是，现在三人同时射击目标，求目标被击中的概率． 分析：甲、乙、丙分别射中目标是相互独立的，利用独立事件来求概率，目标被击中是指甲、乙、丙三人至少有一人射中目标．常从反面解答，即求出目标未被击中的概率． 反思：已知事件A、事件B、事件C为相互独立事件，则，，也为相互独立事件，即P(　　)＝P()P()P()＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]． 对于相互独立事件至少有一个发生，常转化为对立面都不发生来求解． 答案：【例题1】 解：设第一次抽到填空题为事件A，第二次抽到填空题为事件B，则第一次和第二次都抽到填空题为事件AB. (1)P(A)＝＝. (2)P(AB)＝＝. (3)P(B|A)＝＝＝. 【例题2】 解：设第一次取出白球为事件A，第二次取出红球为事件B， 则P(A)＝＝， 而P(AB)＝＝， ∴P(B|A)＝＝＝， 即在第一次取出白球的情况下，第二次取出红球的概率为. 【例题3】 解：设甲击中目标为事件A，乙击中目标为事件B，丙击中目标为事件C，目标未被击中为事件，事件A，B，C相互独立， 则目标被击中的概率P＝1－P()＝1－P()P()P()＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－＝，即目标被击中的概率为. 1(2010江西高考)有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p(0＜p＜1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为(　　)． A．(1－p)n B．1－pn C．pn D．1－(1－p)n 答案：D　(间接法)每位同学不能通过测试的概率为1－p， 所以n位同学全通不过测试的概率为(1－p)n， 故至少有一位同学能通过测试的概率为1－(1－p)n. 2设有两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，目标被击中的概率是(　　)． A．0.56 B．0.92 C．0.94 D．0.96 答案：C 3甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是，，，现3人各投篮1次，则3人中恰有2人投进的概率为____________． 答案：　甲、乙、丙投篮投进分别记作事件A，B，C，它们相互独立，则3人中恰有2人投进的概率为 P＝P(AB＋AC＋BC) ＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC) ＝P(A)P(B)P()＋P(A)P()P(C)＋P()P(B)P(C) . 4某市派出甲、乙两支球队分别参加全省青年组、少年组足球赛，甲、乙两队夺冠的概率分别为和，则该市夺取冠军的概率是____________． 答案：　设甲支球队夺冠为事件A，乙支球队夺冠为事件B，则A，B两个事件相互独立，该市夺冠为事件A＋B＋AB，概率为P(A＋B＋AB)＝P(A)P()＋P()P(B)＋P(A)P(B)，或1－P()＝1－P()P()＝. 5甲、乙同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5. (1)求甲、乙都未击中敌机的概率； (2)求敌机被击中的概率． 分析：本题中甲、乙击中敌机的事件是相互独立事件，未被击中的事件也是相互独立事件． 解：设“甲击中敌机”为事件A，“乙击中敌机”为事件B，“甲、乙都未击中敌机”为事件C，“敌机被击中”为事件D.由题意可知A，B相互独立，则与也相互独立． (1)P(C)＝P()＝P()P()＝(1－0.6)(1－0.5)＝0.2. (2)P(D)＝1－P()＝1－0.2＝0.8.