高中数学 第三章 推理与证明 第1节 归纳与类比（第2课时）学案 北师大版选修1-21

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1.2　类比推理 1．理解类比推理的概念，能利用类比推理进行简单的推理，掌握类比推理解决问题的思维过程． 2．理解合情推理的含义，体会并认识合情推理在数学发展中的作用． 1．两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为__________． 类比推理是数学命题来源的另一条途径，也是知识推广的思维过程．学习立体几何常常通过类比平面几何，发现和得到一些立体几何的结论． 2．类比推理是两类事物______之间的推理，根据解决问题的需要，可对______、______、______进行类比． 两类事物有一定的相似之处，可以是实数与向量、实数与复数、圆与球、平面几何与立体几何，也可以是不同的圆锥曲线． 数学的许多分支都有相通之处，也有可类比之处，这有助于我们研究一些陌生的问题，但利用类比推理得出的结论不一定正确，还需要严格的推理证明．这一点与归纳推理类似． 【做一做】 类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体有下列性质： ①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等． 其中正确的是(　　)． A．① B．①② C．①②③ D．③ 3．归纳推理和类比推理是最常见的________．________是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式． 归纳推理与类比推理都是合情推理．归纳推理是从特殊过渡到一般的思想方法，类比推理是由此及彼和由彼及此的联想方法，归纳和类比离不开观察、分析、对比、联想，许多数学知识都是通过归纳与类比发掘出来的．学习数学时要注意培养自己的观察能力、分析能力、联想能力和创新能力．合情推理只是一种猜测，结论不一定正确． 答案：1．类比推理 2．特征　概念　结论　方法 【做一做】 C 3．合情推理　合情推理 1．类比推理的使用范围 剖析：类比推理是根据两类不同对象在某些方面的相似之处，推测出这两类对象在其他方面也可能有相似之处．两类事物的相似性或共同性是类比推理的前提，一般来说，类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，得出的结论可靠性越大． 2．合情推理的过程 剖析：合情推理是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想，要合乎情理地进行推理，充分挖掘已有的事实，寻找规律或类比．其过程为→→→. 3．对合情推理是科学发现和创造的基础这一问题的理解 剖析：数学真理知识的发现、发掘和推陈出新是在前面知识的基础上，通过对特殊实例的观察、分析、归纳、抽象概括和运用探索性推理得到的．合情推理通常是靠猜想与联想等心智活动串联起来．这种心智活动形式能导致人们作出新的判断和预见，能帮助发现数学真理，包括发现新的数学关系结论、新的数学方法及数学命题等，但它毕竟是一种非逻辑的思维形式，属于“发散思维”范畴，当然并不能用以精确地建立数学命题和理论，要证明命题或定理，还需运用严格的逻辑分析加以证明． 题型一 等差数列与等比数列之间的类比 【例题1】 已知一个等差数列{an}，其中a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(1≤n＜19，n∈N＋)．一个等比数列{bn}，其中b15＝1，类比等差数列{an}有何结论？ 分析：在等差数列{an}中，a10＝0，则以a10为等差中项的项和为0，如a9＋a11＝a8＋a12＝…＝a2＋a18＝a1＋a19＝0，而在等比数列{bn}中，b15＝1，类似地有b1b29＝b2b28＝…＝b14b16＝1，从而类似的总结规律应为各项之积． 反思：本题考查了等差中项、等比中项和等差数列、等比数列的性质及观察判断、猜想类比的能力．对于等差数列、等比数列有许多类似的性质，可结合定义进行类比． 题型二 平面几何与立体几何之间的类比 【例题2】 六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体，在▱ABCD中，有AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)，那么在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AC＋BD＋CA＋DB等于(　　)． A．2(AB2＋AD2＋AA) B．3(AB2＋AD2＋AA) C．4(AB2＋AD2＋AA) D．4(AB2＋AD2) 反思：由平面几何发展到空间立体几何，往往有许多相似之处，有许多结论可以进行类比得到，只不过是由二维变成三维而已． 题型三 不等式结论的类比 【例题3】 若a1，a2∈R＋，则有不等式≥2成立，此不等式能推广吗？如果能，请你至少写出两个不同类型的推广． 分析：注意观察不等式两边的结构，两个数的平方，若三个数、四个数、n个数怎样变化呢？若次数为三次、四次、n次又怎样变化呢？注意思维要发散． 反思：像这样的类比推广问题，可采用纵、横推广法，如本例中，第一种类型是从个数上进行推广——横向推广；第二种类型是从指数上进行推广——纵向推广；第三种类型则是纵、横综合推广． 题型四 圆锥曲线中的类比 【例题4】 有对称中心的曲线叫作有心曲线，显然，椭圆、双曲线都是有心曲线．过有心圆锥曲线中心的弦叫作有心圆锥曲线的直径． 定理：过圆x2＋y2＝r2(r＞0)上异于直径两端点的任意一点与这条直径的两个端点连线，则两条连线所在直线的斜率之积为定值－1. (1)写出定理在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中的推广； (2)写出定理在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)中的推广，你能从上述结论中得到有心圆锥曲线(包括圆、椭圆、双曲线)的一般性结论吗？请写出你的结论． 分析：本题引进了新概念．在理解新概念的基础上，利用类比推理和归纳推理得出一般性的结论． 反思：在类比时，要注意相同之处，并抓住差异进行合理的类比．圆中的斜率之积为－1，但椭圆、双曲线中，x2，y2项的系数不同，所以斜率之积不再是－1，而是－，.从而归纳出Ax2＋By2＝1的一般性结论只与x2，y2项的系数有关． 答案：【例题1】 解：∵在等差数列{an}中，a10＝0， ∴a1＋a19＝a2＋a18＝…＝a8＋a12＝a9＋a11＝0， 即1≤n＜19时，a19－n＋an＋1＝0， a18－n＋an＋2＝0， a17－n＋an＋3＝0， …… ∴a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋a19－n. 在等比数列{bn}中，∵b15＝1， ∴b1b29＝b2b28＝…＝b14b16＝1， 即b29－nbn＋1＝b28－nbn＋2＝…＝b14b16＝1. ∴b1b2…bn＝b1b2…b29－n(1≤n＜29，n∈N＋)． 【例题2】 C　如图所示，四边形AA1C1C和BB1D1D也都是平行四边形，从而有AC＋CA＝2(AC2＋AA)，BD＋DB＝2(BD2＋BB)， 所以AC＋CA＋BD＋DB＝2(AC2＋BD2)＋4AA＝4(AB2＋AD2＋AA)． 【例题3】 解：第一种类型：≥2， ≥2， …… ≥2. 第二种类型：≥3， ≥4， …… ≥n. 第三种类型：≥3， ≥4 …… ≥n. 【例题4】 解：(1)在椭圆中的推广：过椭圆＋＝1(a＞b＞0)上异于直径两端点的任意一点与这条直径的两个端点连线，则两条连线所在直线的斜率之积为定值－. (2)在双曲线中的推广：过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上异于直径两端点的任意一点与这条直径的两个端点连线，则两条连线所在直线的斜率之积为定值. 在有心圆锥曲线中的推广：过有心圆锥曲线Ax2＋By2＝1(AB≠0)上异于直径两端点的任意一点与这条直径的两个端点连线，则两条连线所在直线的斜率之积为定值－. 1平面内平行于同一条直线的两条直线平行，由类比思想，我们可以得到(　　)． A．空间中平行于同一条直线的两条直线平行 B．空间中平行于同一个平面的两条直线平行 C．空间中平行于同一条直线的两个平面平行 D．空间中平行于同一个平面的两个平面平行 答案：D　一般来说平面几何中的线要类比到空间中的平面，所以虽然选项A中结果正确，却不能算作类比结果． 2等比数列{an}满足：m，n，p，q∈N＋，若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq.由类比推理可得{an}为等差数列，若m＋n＝p＋q，则(　　)． A．aman＝apaq B．am＋an＝ap＋aq C. D．am－an＝ap－aq 答案：B 3下面类比推理所得结论正确的是______． ①由(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2类比得(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2； ②由|a|＝|b|⇒a＝b(a，b∈R)类比得|a|＝|b|⇒a＝b； ③由ax＋y＝axay(a∈R)类比得sin(α＋β)＝sinαsinβ； ④由(ab)c＝a(bc)(a，b，c∈R)类比得(ab)c＝a(bc)． 答案：①　逐一进行判断．①正确，向量的数量积运算就按多项式乘法法则运算．②不正确，向量既有大小，又有方向，大小相等不能说明方向相同或相反．③由两角和的三角函数公式可知不正确．④向量的数量积不满足结合律．这是因为ab∈R，bc∈R，但a与c不一定共线，(ab)c∥c，a(bc)∥a，所以不一定成立． 4若数列{an}(n∈N＋)是等差数列，则通项公式为(n∈N＋)的数列{bn}也是等差数列． 类比上述性质，相应地： 若数列{cn}(n∈N＋)是等比数列，且cn＞0，则通项公式为dn＝______(n∈N＋)的数列{dn}也是等比数列． 答案：　等差数列中由a1＋an＝a2＋an－1＝…，得 ，仍为等差数列． 而等比数列中，由c1cn＝c2cn－1＝…，得＝＝，仍为等比数列． 5类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质． 答案：解：(1)两个实数相加后，结果是一个实数，两个向量相加后，结果仍是一个向量． (2)从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律，即： a＋b＝b＋a，a＋b＝b＋a； (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)， (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． (3)从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算． (4)在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a＋0＝a.在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，也不改变该向量的方向，即a＋0＝a.