高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入章末高效整合 新人教A版选修1-2

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第三章 复 数 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：　z1－z2＝5－7i. 答案：　D 2．若复数(1＋bi)(2＋i)是纯虚数(i是虚数单位)，b是实数，则b等于(　　) A．2 B. C．－ D．－2 解析：　∵(1＋bi)(2＋i)＝(2－b)＋(2b＋1)i是纯虚数， ∴2－b＝0，且2b＋1≠0，∴b＝2. 答案：　A 3．复数(i为虚数单位)的模是(　　) A. B．2 C．5 D．8 解析：　＝＝＝1＋2i， 所以＝|1＋2i|＝. 答案：　A 4．已知i为虚数单位，复数z＝，则复数z的虚部是(　　) A．－i B．－ C.i D． 解析：　＝＝＝－i，所以复数z的虚部是－. 答案：　B 5．若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则(　　) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝－1，b＝－1 D．a＝1，b＝－1 解析：　∵(a＋i)i＝－1＋ai＝b＋i，∴b＝－1，a＝1.故选D. 答案：　D 6．若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是(　　) A．(2,4) B．(2，－4) C．(4，－2) D．(4,2) 解析：　先求出z，再根据复数的几何意义求出对应点的坐标． 方法一：因为iz＝2＋4i，所以z＝＝＝4－2i.在复平面内，复数z对应的点的坐标为(4，－2)，选C. 方法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)，由iz＝2＋4i，得i(a＋bi)＝2＋4i，即－b＋ai＝2＋4i，故即z＝4－2i，故复数z对应的点的坐标为(4，－2)，选C. 方法三：因为iz＝2＋4i，所以(－i)iz＝(－i)(2＋4i)＝4－2i， 即z＝4－2i，故复数z对应的点的坐标为(4，－2)，选C. 答案：　C 7．已知复数z＝，则z对应的点所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：　z＝＝＝＝－3＋i，所以复数z对应的点所在的象限是第二象限． 答案：　B 8．若复数(a＋i)2在复平面内对应的点在y轴负半轴上，则实数a的值是(　　) A．1 B．－1 C. D．－ 解析：　因为复数(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，所以其在复平面内对应的点的坐标是(a2－1,2a)，又因为该点在y轴负半轴上，所以有解得a＝－1，选B. 答案：　B 9．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z＝(　　) A. B. C．1 D．2 解析：　z＝＝ ＝＝， ＝， 所以，z＝＝，故选A. 答案：　A 10．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：　依题意3－4i＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)＝μ－λ＋(2λ－μ)i， ∴∴∴λ＋μ＝1. 答案：　A 11．已知f(n)＝in－i－n(i2＝－1，n∈N)，集合{f(n)}的元素个数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．无数个 解析：　f(0)＝i0－i0＝0， f(1)＝i－i－1＝i－＝2i，f(2)＝i2－i－2＝0， f(3)＝i3－i－3＝－2i. ∴{f(n)}＝{0，－2i,2i}． 答案：　B 12．若z＝，则z100＋z50＋1的值是(　　) A．1 B．－1 C．－i D．i 解析：　z＝＝， z100＋z50＋1＝100＋50＋1 ＝50＋25＋1＝i50＋i25＋1 ＝i2＋i＋1＝i. 答案：　D 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确的答案填在题中的横线上) 13．若复数z＝(m－1)＋(m＋2)i对应的点在直线y＝2x上，则实数m的值是________． 解析：　由已知得2(m－1)－(m＋2)＝0，∴m＝4. 答案：　4 14．若z＝(1－2i)(a－i)(i为虚数单位)为纯虚数，则实数a的值为________． 解析：　因为z＝(1－2i)(a－i)＝a－2－(1＋2a)i为纯虚数，所以a－2＝0，－(1＋2a)≠0，解得a＝2. 答案：　2 15．在复平面内，复数1＋i与－1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则||＝________. 解析：　∵＝(－1＋3i)－(1＋i)＝－2＋2i， ∴||＝2. 答案：　2 16．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若zi＋2＝2z，则z＝________. 解析：　设出复数的代数形式，结合复数的运算法则，利用复数相等的条件求解． 设z＝a＋bi(a，b∈R)，由zi＋2＝2z，得(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，即(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，由复数相等的条件得解得 ∴z＝1＋i. 答案：　1＋i 三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知复数z1满足(z1－2)i＝1＋i，复数z2的虚部为2，且z1z2为实数，求z2. 解析：　由(z1－2)i＝1＋i，得 z1－2＝＝(1＋i)(－i)＝1－i， ∴z1＝3－i. 设z2＝x＋2i(x∈R)， 则z1z2＝(3－i)(x＋2i) ＝3x＋2＋(6－x)i为实数， ∴x＝6，∴z2＝6＋2i. 18．(本小题满分12分)已知复数z＝(2＋i)m2－－2(1－i)．求实数m取什么值时，复数z是 ①零；②虚数；③纯虚数． 解析：　由于m∈R，复数z可以表示为 z＝(2＋i)m2－3m(1＋i)－2(1－i) ＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i. ①当即m＝2时，z为零． ②当m2－3m＋2≠0， 即m≠2且m≠1时，z为虚数． ③当 即m＝－时，z为纯虚数． 19．(本小题满分12分)设z＝，若z2＋az＋b＝1＋i，求实数a，b的值． 解析：　z＝＝＝1－i， 将z＝1－i代入z2＋az＋b＝1＋i得： (1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i， 即(a＋b)－(a＋2)i＝1＋i. 所以解得 20．(本小题满分12分)已知复数z＝3＋bi(b∈R)，且(1＋3i)z为纯虚数． (1)求复数z； (2)若ω＝，求复数ω的模|ω|. 解析：　(1)(1＋3i)(3＋bi)＝(3－3b)＋(9＋b)i ∵(1＋3i)z是纯虚数， ∴3－3b＝0，且9＋b≠0， ∴b＝1，∴z＝3＋i. (2)ω＝＝ ＝＝－i， ∴|ω|＝＝. 21．(本小题满分13分)已知复数z满足方程z2＋2iz＋3＝0，求z. 解析：　设z＝x＋yi(x，y∈R)，由z满足方程z2＋2iz＋3＝0，得(x＋yi)2＋2i(x＋yi)＋3＝0. 整理，得(x2－y2－2y＋3)＋2(xy＋x)i＝0. 由复数相等的充要条件，得 由②，得x＝0或y＝－1. 当x＝0时，由①，得y2＋2y－3＝0，则y＝1或y＝－3； 当y＝－1时，由①，得x2＋4＝0，无解． ∴或∴z＝i或z＝－3i. 22．(本小题满分13分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2，z所对应的点A在第一象限． (1)求z； (2)若z，z2，z－z2在复平面上对应的点分别为A，B，C，求cos∠ABC. 解析：　(1)令z＝x＋yi(x，y∈R)． ∵|z|＝， ∴x2＋y2＝2. ① 又∵z2＝(x＋yi)2＝x2－y2＋2xyi， ∴2xy＝2， ∴xy＝1. ② 由①，②可解得或 ∴z＝1＋i，或z＝－1－i. 又∵x>0，y>0，∴z＝1＋i. (2)z2＝(1＋i)2＝2i， z－z2＝1＋i－2i＝1－i. 如图所示， ∴A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)， ∴＝(1，－1)，＝(1，－3)， ∴cos∠ABC＝＝ ＝＝.