高中数学 第二章 平面向量 2.6 平面向量数量积的坐标表示学案 北师大版必修

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6　平面向量数量积的坐标表示 1．掌握数量积的坐标表达式．(重点) 2．能用坐标表示两个向量的夹角，判断两个平面向量的垂直关系．(重点) 3．了解直线的方向向量的概念．(难点) [基础初探] 教材整理　平面向量数量积的坐标表示 阅读教材P98～P99，完成下列问题． 1．平面向量数量积的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． (1)ab＝x1x2＋y1y2； (2)a2＝x＋y，即|a|＝； (3)设向量a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝； (4)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 2．直线的方向向量 给定斜率为k的直线l，则向量m＝(1，k)与直线l共线，我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量． 判断(正确的打“√”，错误的打“”) (1)若两非零向量的夹角θ满足cos θ＜0，则两向量的夹角θ一定是钝角．(　　) (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.(　　) (3)两向量a与b的夹角公式cos θ＝的使用范围是a≠0且b≠0.(　　) 【解析】　(1)错误．如a＝(－1，－1)，b＝(2,2)，显然cos θ＝＜0，但a与b的夹角是180，而并非钝角． (2)正确.＝(x2－x1，y2－y1)，所以||＝. (3)正确．两向量a与b的夹角公式cos＝有意义需x＋x≠0且y＋y≠0，即a≠0，且b≠0.此说法是正确的． 【答案】　(1)　(2)√　(3)√ [质疑手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ [小组合作型] 平面向量数量积的坐标运算 　已知向量a与b同向，b＝(1,2)，ab＝10. (1)求向量a的坐标； (2)若c＝(2，－1)，求(a＋c)b. 【精彩点拨】　根据a与b共线设出a的坐标，再利用数量坐标运算公式构建方程求得a的坐标，进而求(a＋c)b. 【自主解答】　(1)∵a与b同向，且b＝(1,2)， ∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)． 又∵ab＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)． (2)法一：a＋c＝(4,3)，∴(a＋c)b＝4＋6＝10. 法二：(a＋c)b＝ab＋cb＝10＋0＝10. 进行向量的数量积的坐标运算关键是把握向量数量积的坐标表示，运算时常有两条途径： (1)根据向量数量积的坐标表示直接运算； (2)先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算． [再练一题] 1．已知向量a＝(4，－2)，b＝(6，－3)，求： (1)(2a－3b)(a＋2b)； (2)(a＋b)2. 【解】　法一：(1)∵2a－3b＝(8，－4)－(18，－9)＝ (－10,5)， a＋2b＝(4，－2)＋(12，－6)＝(16，－8)， ∴(2a－3b)(a＋2b)＝－160－40＝－200. (2)∵a＋b＝(10，－5)， ∴(a＋b)2＝(10，－5)(10，－5)＝100＋25＝125. 法二：由已知可得：a2＝20，b2＝45，ab＝30. (1)(2a－3b)(a＋2b) ＝2a2＋ab－6b2 ＝220＋30－645＝－200. (2)(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝20＋60＋45＝125. 向量的夹角及垂直 　已知a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝. (1)求|a＋2b|； (2)若(a＋b)c＝，求向量a与c的夹角． 【精彩点拨】　(1)利用|a|＝求解． (2)利用cos θ＝求解． 【自主解答】　(1)a＋2b＝(1,2)＋2(－2，－4)＝(－3，－6)， ∴|a＋2b|＝＝3. (2)∵b＝(－2，－4)＝－2(1,2)＝－2a， ∴a＋b＝－a， ∴(a＋b)c＝－ac＝. 设a与c的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝－. ∵0≤θ≤π，∴θ＝π， 即a与c的夹角为π. 1．已知向量的坐标和向量的模(长度)时，可直接运用公式|a|＝进行计算． 2．求向量的夹角时通常利用数量积求解，一般步骤为： (1)先利用平面向量数量积的坐标表示求出两向量的数量积； (2)再求出两向量的模； (3)由公式cos θ＝，计算cos θ的值； (4)在[0，π]内，由cos θ的值确定角θ. [再练一题] 2．已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得： (1)a与b的夹角为直角； (2)a与b的夹角为钝角； (3)a与b的夹角为锐角． 【解】　ab＝(1,2)(1，λ)＝1＋2λ. (1)因为a与b的夹角为直角，所以cos θ＝0， 所以ab＝0，即1＋2λ＝0，所以λ＝－. (2)因为a与b的夹角为钝角， 所以cos θ＜0，且cos θ≠－1， 所以ab＜0，且a与b不反向． 由ab＜0，得1＋2λ＜0，故λ＜－， 由a与b共线得λ＝2，故a与b不可能反向． 所以λ的取值范围为. (3)因为a与b的夹角为锐角， 所以cos θ＞0，且cos θ≠1， 所以ab＞0且a，b不同向． 由ab＞0，得λ＞－，由a与b同向得λ＝2. 所以λ的取值范围为∪(2，＋∞)． [探究共研型] 向量的模 探究1　由向量长度的坐标表示，你能否得出平面内两点间的距离公式？ 【提示】　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，由向量长度的坐标表示可得|AB|＝||＝. 探究2　向量的模的坐标表达式是什么？ 【提示】　向量a＝(x1，y1)的模是|a|＝. 探究3　求向量的坐标一般采用什么方法？ 【提示】　一般采用设坐标、列方程的方法求解． 　设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)． (1)求a－2b的坐标和模的大小； (2)若c＝a－(ab)b，求|c|. 【精彩点拨】　(1)将已知向量的坐标代入运算即可．(2)利用ab＝x1x2＋y1y2求得c的坐标表示，然后求模． 【自主解答】　(1)a＝(3,5)，b＝(－2,1)， 所以a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)， |a－2b|＝＝. (2)ab＝x1x2＋y1y2＝－6＋5＝－1， 所以c＝a＋b＝(1,6)，所以|c|＝＝. 求向量的模的两种基本策略 1．字母表示F的运算 利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． 2．坐标表示F的运算 若a＝(x，y)，则ab＝a2＝|a|2＝x2＋y2， 于是有|a|＝. [再练一题] 3．(1)已知a＝(1,2)，b＝(－2，m)，若a∥b，则|2a＋3b|＝________. (2)已知|a|＝10，b＝(1,2)，且a∥b，求a的坐标． 【解析】　(1)因为a＝(1,2)，b＝(－2，m)，a∥b，所以1m－2(－2)＝0， 所以m＝－4，所以2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)， 所以|2a＋3b|＝＝4. 【答案】　4 (2)设a的坐标为(x，y)，由题意得 解得或 所以a＝(2，4)或a＝(－2，－4)． [构建体系] 1．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,2)，则ab＝(　　) A．1　　　　　 B．2 C．3 D．4 【解析】　ab＝(1,1)(－1,2)＝1(－1)＋12＝1. 【答案】　A 2．已知a＝(－，－1)，b＝(1，)，那么ab的夹角θ＝(　　) 【导学号：66470057】 A．120 B．30 C．150 D．60 【解析】　因为ab＝(－，－1)(1，)＝－2， |a|＝＝2，|b|＝＝2. 所以cos θ＝＝＝－. 又因为0≤θ≤180，所以θ＝150. 【答案】　C 3．已知a＝(2,3)，b＝(－2,4)，则(a＋b)(a－b)＝________. 【解析】　法一：a＋b＝(0,7)，a－b＝(4，－1)， 所以(a＋b)(a－b)＝04＋7(－1)＝－7. 法二：(a＋b)(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝13－20＝－7. 【答案】　－7 4．已知a＝(1，x)，b＝(－3,1)，若a⊥b，则x＝________. 【解析】　∵a⊥b， ∴－3＋x＝0， ∴x＝3. 【答案】　3 5．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)． (1)设c＝4a＋b，求(bc)a； (2)若a＋λb与a垂直，求λ的值； (3)求向量a在b方向上的射影． 【解】　(1)∵c＝4(1,2)＋(2，－2)＝(6,6)， ∴bc＝(2，－2)(6,6) ＝26－26＝0， ∴(bc)a＝0a＝0. (2)∵a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2) ＝(1＋2λ，2－2λ)， ∵(a＋λb)⊥a， ∴(1＋2λ)＋2(2－2λ)＝0， 得λ＝. (3)法一：设a与b的夹角为θ， 则cos θ＝ ＝＝－. ∴向量a在b方向上的投影为 |a|cos θ＝＝－. 法二：∵ab＝(1,2)(2，－2) ＝－2，|b|＝2. ∴向量a与b方向上的投影为 |a|cos θ＝＝＝－. 我还有这些不足： (1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________