高考数学一轮复习 46 空间向量在立体几何中的应用（一）学案 理

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第四十六课时 空间向量在立体几何中的应用 (一) 课前预习案 考纲要求 1.理解直线的方向向量与平面的法向量。 2.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系。 3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理。 4.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 基础知识梳理 1.用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行 ①设直线和的方向向量分别为和，则或与重合_____________. ②已知两个不共线向量，与平面共面，直线的一个方向向量为，则或在内__________________________________. ③已知两个不共线的向量，与平面共面，则或与重合__________________________________. 2.用向量运算证明两条直线垂直 设直线和的方向向量分别为和，则_____________. 3.用向量运算求两条直线所成的角 设直线和的方向向量分别为和，直线和所成的角为，则与的关系是_____________，即_____________.两条异面直线所成角的范围是_______. 4.用平面的法向量证明两个平面平行或垂直 设分别是平面的法向量，则或与重合_________________；__________________________. 5.直线与平面的夹角 (1)_________________________________________叫做斜线和平面所成的角,斜线和平面所成的角是斜线和这个平面内所有直线所成角中_____________． (2)直线与平面所成角的范围是________________. (3)若斜线与它在平面内射影的夹角为,此射影与平面内直线的夹角为,斜线与平面内该直线的夹角为,则之间的关系是_____________． 6.利用平面的法向量求直线和平面所成的角 直线的方向向量，平面α的法向量为，与α所成的角为，则sin=． 预习自测 1、以点为顶点的三角形是( ) A、等腰直角三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、无法判断 2、已知，则向量与的夹角是（ ） A、 B、 C、 D、 3、正方体中，与平面所成角的余弦值为( ) A、 B、 C、 D、 4、在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是 ( ) A． B． C． D． . 5、设，则与平行的单位向量的坐标为 . 6、已知，求平面的一个法向量. 课堂探究案 典型例题 考点1：利用向量证明平行与垂直问题 【典例1】如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=，CE=EF=1. （1）求证：AF∥平面BDE； （2）求证：CF⊥平面BDE。 考点2 利用向量求两条异面直线所成的角 【典例2】【2012上海】如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点，已知，，， 求：（1）三角形的面积； （2）异面直线与所成的角的大小。 考点3：利用向量求直线与平面所成的角 【典例3】如图,三棱柱中,，,. (1)证明：； (2)若平面⊥平面,,求直线与平面所成角的正弦值. 【变式1】 如图，在正三棱柱中，AB=4, ,点D是BC的中点，点E在AC上，且 （1）证明：平面平面; （2）求直线AD和平面所成角的正弦值。 当堂检测 1、已知正四棱柱中，=，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为( ) （A） (B) (C) (D) 2、如图,在直棱柱, ,. (1)证明:；(2)求直线与平面所成角的正弦值. 课后拓展案 A组全员必做题 1、正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 2、已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（ ） (A) (B) (C) (D) 3、如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. B组 4、如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点。 （1）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值； （2）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F//平面A1BE？证明你的结论。 A D B C A1 D1 B1 C1 E B组提高选做题 在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点． (1)求证：EF⊥CD； (2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论． 参考答案 预习自测 1.A 2.A 3.D 4.C 5.或 6.解：设为平面的一个法向量， 则即∴令， 得，即平面的一个法向量为． 典型例题 【典例1】证明：（1）设、交点为，连接， ∵正方形边长为， ∴，， 又， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又∵平面，平面， ∴平面． （2）∵平面⊥平面，平面平面，平面，⊥， ∴⊥平面， ∴⊥，⊥， 以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，． ∴，，． ∵，， ∴⊥，⊥， 又， ∴⊥平面． 【典例2】解：（1）∵为矩形，∴⊥． ∵⊥底面，平面， ∴⊥． 又∵， ∴⊥平面，∴ ∴． （2）， ∴． ，， ∴， ∴，即异面直线与所成的角大小为． 【典例3】 （1）证明：取中点，连接、、． ∵，∴⊥， ∵，∴， 又∵∠， ∴， ∴， ∴∠， ∴⊥． 又∵， ∴⊥平面， ∴⊥． （2）解：∵平面⊥平面， ∴⊥平面， ∴，，两两垂直． 以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ∴，，． 设为平面的一个法向量，则即∴ 令，则，设直线与平面所成角为， ∴． 【变式1】（1）证明：∵该棱柱为正三棱柱， ∴⊥平面， ∵平面， ∴， 又， ∴⊥平面， ∵平面， ∴平面⊥平面． （2）解：取中点，中点,连接,． 以为原点，，,所在直线为轴，轴,轴建立空间直角坐标系（图略）， 则，，，．　 , ∴，，. 设为平面的一个法向量，则∴ ∴令，则， ∴. 设直线与平面所成角为， ∴ ， 故直线与平面所成角的正弦值为. 当堂检测 １．C ２．（1）证明：∵该棱柱为直棱柱， ∴平面， ∵平面， ∴， 又，， ∴平面， ∵平面， ∴. （2） 分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设=，则，，，， ∴，， ∴，∴， ∴，，，， 则，，． 设为平面的一个法向量， 则∴∴令，则． 设直线与平面所成的角为， ∴． A组全员必做题 1.D 2.A 3.A 4.解：分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（图略）， 设棱长为2，则，，平面的一个法向量，∴． （1）设直线与平面所成角为， 则． （2），， ∴，． 设为平面的一个法向量，则 即整理得令，得． 设，则，∴，解得， 即是棱中点时，平面． B组提高选做题 (1)证明　如图，以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴 建立空间直角坐标系， 设AD＝a，则D(0,0,0)、 A(a,0,0)、B(a，a,0)、 C(0，a,0)、E、 P(0,0，a)、F. ＝，＝(0，a,0)． ∵＝0，∴⊥，即EF⊥CD. (2)解　设G(x,0，z)，则＝， 若使GF⊥平面PCB，则 由＝(a,0,0) ＝a＝0，得x＝； 由＝(0，－a，a) ＝＋a＝0，得z＝0. ∴G点坐标为，即G点为AD的中点． - 152 -