高考数学一轮复习 64 条件概率与事件的独立性学案 理
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第六十四课时 条件概率与事件的独立 课前预习案 考纲要求 1.理解条件概率和两个事件相互独立的概念； 2.掌握n次独立重复试验及二项分布的概念； 3.掌握二项分布的含义，会从实际问题中抽象出二项分布模型． 基础知识梳理 1． 条件概率及其性质 条件概率的定义 条件概率公式 对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号“ ”表示 P(B|A)＝ ，其中P(A)>0，A∩B称为事件A与B的交(或积). 2． 事件的独立性 (1)相互独立的定义： 事件A是否发生对事件B发生的概率 ，即 ，这时，称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件． (2)概率公式： 条件 公式 A，B相互独立 P(A∩B)＝ A1，A2，…，An相互独立 P(A1∩A2∩…∩An)＝ 3． 独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验： ①定义：在 的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果 ，那么一般就称它们为n次独立重复试验． ②概率公式：在一次试验中事件A发生的概率为p，则n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)＝ (k＝0,1,2，…，n)． (2)二项分布： 在n次独立重复试验中，事件A发生的次数用X表示，事件A不发生的概率为q＝1－p，则n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝ ，其中k＝0,1,2，…，n.于是X的分布列： X 0 1 … k … n P … … 此时称离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～ . 预习自测 1． 如图所示的电路，有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是， 且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为________． 2． 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________． 3． 某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________． 4． 把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)等于 ( ) A. B. C. D. 5． 如果X～B，则使P (X＝k)取最大值的k值为 ( ) A．3 B．4 C．5 D．3或4 课堂探究案 典型例题 考点1 条件概率 【典例1】在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一 件，则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为________． 【变式1】如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将 一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则 (1)P(A)＝________； (2)P(B|A)＝________. 考点2 相互独立事件的概率 【典例2】甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2 次均未命中的概率为. (1)求乙投球的命中率p； (2)求甲投球2次，至少命中1次的概率； (3)若甲、乙两人各投球2次，求共命中2次的概率． 【变式2】红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立． (1)求红队至少两名队员获胜的概率； (2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)． 考点3 独立重复试验与二项分布 【典例3】某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后第2位) (1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率； (3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率． 【变式3】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响． (1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (2)任选3名下岗人员，记X为3人中参加过培训的人数，求X的分布列． 当堂检测 1．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于 ( ) A. B. C. D. 2． 如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( ) A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576 3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( ) A. B. C. D. 4． 已知随机变量X服从二项分布X～B(6，)，则P(X＝2)等于 ( ) A. B. C. D. 5． 明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________． 课后拓展案 A组全员必做题 1． 某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.6，使用寿命超过2年的概率为0.3，则使用寿命超过1年的元件还能继续使用的概率为 ( ) A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．1 2． 位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是( ) A.5 B．C5 C．C3 D．CC5 3． 两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 ( ) A. B. C. D. 4． 在一段线路中并联两个自动控制的常用开关，只要其中有一个开关 能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭 合的概率都是0.7，则这段时间内线路正常工作的概率为_______． 5． 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为________． 6． 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是______． B组提高选做题 1.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号) ①P(B)＝； ②P(B|A1)＝； ③事件B与事件A1相互独立； ④A1，A2，A3是两两互斥的事件； ⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关． 2．某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是. (1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率； (2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率． 3.某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定，他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张，投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，他们的投票相互没有影响，规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目的投资． (1)求该公司决定对该项目投资的概率； (2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率． 参考答案 预习自测 1． 【答案】 【解析】理解事件之间的关系，设“a闭合”为事件A，“b闭合”为事件B，“c闭合”为事件C，则灯亮应为事件AC，且A，C，之间彼此独立，且P(A)＝P()＝P(C)＝. 所以P(AC)＝P(A)P()P(C)＝. 2．【答案】0.128 【解析】依题意可知，该选手的第二个问题必答错，第三、四个问题必答对，故该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率P＝10.20.80.8＝0.128. 3．【答案】 【解析】设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A，B，C，显然P(A)＝P(B)＝P(C)＝， ∴该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(＋＋AB)C， ∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率 P＝＝. 4． 【答案】 A 【解析】 P(B|A)＝＝＝. 5． 【答案】 D 【解析】 ∵P(X＝3)＝C312，P(X＝4)＝C411， P(X＝5)＝C510，从而易知P(X＝3)＝P(X＝4)>P(X＝5)． 典型例题 【典例1】【答案】 【解析】方法一 设A＝{第一次取到不合格品}，B＝{第二次取到不合格品}，则P(AB)＝， 所以P(B|A)＝＝＝. 方法二 第一次取到不合格品后还剩余99件产品，其中有4件不合格品， 故第二次取到不合格品的概率为. 【变式1】【答案】（1）；（2） 【解析】(1)由题意可得，事件A发生的概率 P(A)＝＝＝. (2)事件AB表示“豆子落在△EOH内”， 则P(AB)＝＝＝. 故P(B|A)＝＝＝. 【典例2】【解】 (1)方法一 设“甲投一次球命中”为事件A，“乙投一次球命中”为事件B. 由题意得[1－P(B)]2＝(1－p)2＝， 解得p＝或p＝(舍去)， 所以乙投球的命中率为. 方法二 设“甲投一次球命中”为事件A，“乙投一次球命中”为事件B. 由题意得：P()P()＝， 于是P()＝或P()＝－(舍去)． 故p＝1－P()＝. 所以乙投球的命中率为. (2)方法一 由题设知，P(A)＝，P()＝. 故甲投球2次，至少命中1次的概率为 1－P()＝. 方法二 由题设知，P(A)＝，P()＝. 故甲投球2次，至少命中1次的概率为 CP(A)P ()＋P(A)P(A)＝. (3)由题设和(1)知， P(A)＝，P()＝，P(B)＝，P()＝. 甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中2次，乙2次均不中；甲2次均不中，乙中2次． 概率分别为CP(A)P()CP(B)P()＝， P(A)P (A)P()P()＝， P()P()P(B)P(B)＝. 所以甲、乙两人各投球2次，共命中2次的概率为 ＋＋＝. 【变式2】解 (1)设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则，，分别表示甲不胜A，乙不胜B，丙不胜C的事件． 因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5， 由对立事件的概率公式知P()＝0.4，P()＝0.5， P()＝0.5. 红队至少两人获胜的事件有DE，DF，EF，DEF. 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立， 因此红队至少两人获胜的概率为 P＝P(DE)＋P(DF)＋P(EF)＋P(DEF) ＝0.60.50.5＋0.60.50.5＋0.40.50.5＋0.60.50.5＝0.55. (2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3. 又由(1)知 F，E，D 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立， 因此P(ξ＝0)＝P( )＝0.40.50.5＝0.1， P(ξ＝1)＝P( F)＋P(E)＋P(D ) ＝0.40.50.5＋0.40.50.5＋0.60.50.5 ＝0.35， P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.60.50.5＝0.15. 由对立事件的概率公式得 P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 0.1 0.35 0.4 0.15 因此E(ξ)＝00.1＋10.35＋20.4＋30.15＝1.6. 【典例3】解 令X表示5次预报中预报准确的次数，则X～B，故其分布列为P(X＝k)＝Ck5－k(k＝0,1,2,3,4,5)． (1)“5次预报中恰有2次准确”的概率为P(X＝2)＝C23＝10≈0.05. (2)“5次预报中至少有2次准确”的概率为P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－C05－C4＝1－0.000 32－0.006 4≈0.99. (3)“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为C3≈0.02. 【变式3】解 (1)任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题设知，事件A与B相互独立，且P(A)＝0.6，P(B)＝0.75. 所以，该下岗人员没有参加过培训的概率是 P( )＝P()P()＝(1－0.6)(1－0.75)＝0.1. ∴该人参加过培训的概率为1－0.1＝0.9. (2)因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数X服从二项分布X～B(3,0.9)， P(X＝k)＝C0.9k0.13－k，k＝0,1,2,3， ∴X的分布列是 X 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729 当堂检测 1．【答案】B 【解析】P(A)＝＝，P(AB)＝＝， P(B|A)＝＝. 2． 【答案】B 【解析】 方法一 由题意知K，A1，A2正常工作的概率分别为P(K)＝0.9，P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.8， ∵K，A1，A2相互独立， ∴A1，A2至少有一个正常工作的概率为P(A2)＋P(A12)＋P(A1A2)＝(1－0.8)0.8＋0.8(1－0.8)＋0.80.8＝0.96. ∴系统正常工作的概率为P(K)[P(A2)＋P(A12)＋P(A1A2)]＝0.90.96＝0.864. 方法二 A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－P(1 2)＝1－(1－0.8)(1－0.8)＝0.96，∴系统正常工作的概率为P(K)[1－P(1 2)]＝0.90.96＝0.864. 3【答案】D 【解析】甲队若要获得冠军，有两种情况，可以直接胜一局，获得冠军，概率为，也可以乙队先胜一局，甲队再胜一局，概率为＝，故甲队获得冠军的概率为＋＝. 4．【答案】 D 【解析】 P(X＝2)＝C(24＝. 5．【答案】 0.98 【解析】 1－(1-0.80)(1-0.90)＝1－0.02＝0.98. A组全员必做题 1． 【答案】 B 【解析】 设事件A为“该元件的使用寿命超过1年”，B为“该元件的使用寿命超过2年”，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.3. 因为B⊆A，所以P(AB)＝P(B)＝0.3，于是P(B|A)＝＝＝0.5. 2．【答案】 B 3．【答案】B 【解析】设事件A：甲实习生加工的零件为一等品； 事件B：乙实习生加工的零件为一等品， 则P(A)＝，P(B)＝， 所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为 P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B) ＝＋＝. 4． 【答案】 0.91 【解析】线路不能正常工作的概率为P( )＝P()P()＝(1－0.7)(1－0.7)＝0.09. ∴能够正常工作的概率为1－0.09＝0.91. 5．【答案】 【解析】 设该队员每次罚球的命中率为p(其中0
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