高考数学二轮复习 第3部分 几何证明选讲考点整合 选修4-1 文

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选修4－1　几何证明选讲 考点整合 1．(1)相似三角形的判定定理 判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． (2)相似三角形的性质 ①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； ②相似三角形周长的比等于相似比； ③相似三角形面积的比等于相似比的平方． (3)直角三角形的射影定理：直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项；斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项． 2．(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数． 3．(1)圆内接四边形的性质定理： ①圆的内接四边形的对角互补； ②圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． (2)圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆． 4．(1)圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． (2)圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． (4)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． (5)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 类型一　三角形相似及应用 [例1]　(2016高考全国甲卷)如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上(不与端点重合)，且DE＝DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F. (1)证明：B，C，G，F四点共圆； (2)若AB＝1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积． 解：(1)证明：因为DF⊥CE，所以△DEF∽△CDF，则有∠GDF＝∠DEF＝∠FCB， ＝＝， 所以△DGF∽△CBF， 由此可得∠DGF＝∠CBF， 因此∠CGF＋∠CBF＝180，所以B，C，G，F四点共圆． (2)由B，C，G，F四点共圆，CG⊥CB知FG⊥FB.如图，连接GB.由G为Rt△DFC斜边CD的中点，知GF＝GC，故Rt△BCG≌Rt△BFG，因此，四边形BCGF的面积S是△GCB面积S△GCB的2倍， 即S＝2S△GCB＝21＝. [解后反思]　本题在证明四点共圆之后，不要试图在已知图形中画出圆，而要通过想象圆的位置，利用圆的性质进行解题，否则可能会由于图形过于复杂而影响解题思路． 1．如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA＝10，PB＝5，∠BAC的平分线与BC和圆O分别交于D和E两点． (1)求证：＝； (2)求ADAE的值． 解：(1)证明：∵PA为圆O的切线， ∴∠PAB＝∠ACP，又∵∠P为公共角， ∴△PAB∽△PCA， ∴＝. (2)∵PA为圆O的切线，PC是过点O的割线， ∴PA2＝PBPC，即102＝5PC， ∴PC＝20，∴BC＝15. 又∵∠CAB＝90，∴AC2＋AB2＝BC2＝225. 又由(1)知＝＝，∴AC＝6，AB＝3， 如图， 连接EC，则∠AEC＝∠ABC， 又∵∠CAE＝∠EAB，∴△ACE∽△ADB， ∴＝，∴ADAE＝ABAC＝36＝90. 类型二　圆的有关性质 [例2]　(2016高考全国乙卷)如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB＝120.以O为圆心，OA为半径作圆． (1)证明：直线AB与⊙O相切； (2)点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD. 证明：(1)如图，设E是AB的中点，连接OE. 因为OA＝OB，∠AOB＝120， 所以OE⊥AB，∠AOE＝60. 在Rt△AOE中，OE＝AO，即O到直线AB的距离等于⊙O的半径，所以直线AB与⊙O相切． (2)连接OD，因为OA＝2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设O′是A，B，C，D四点所在圆的圆心，作直线OO′. 由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O′在线段AB的垂直平分线上，所以OO′⊥AB. 同理可证OO′⊥CD 所以AB∥CD. [解后反思]　解此类题的关键：一是熟记直线与圆相关的性质，解题才有路；二是注意数形结合思想的转化． 2．(2016高考全国丙卷)如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点． (1)若∠PFB＝2∠PCD，求∠PCD的大小； (2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD. 解：如图，连接PB，BC，则∠BFD＝∠PBA＋∠BPD，∠PCD＝∠PCB＋∠BCD. 因为，所以∠PBA＝∠PCB.又∠BPD＝∠BCD， 所以∠BFD＝∠PCD. 又∠PFB＋∠BFD＝180，∠PFB＝2∠PCD， 所以3∠PCD＝180，因此∠PCD＝60. (2)证明：因为∠PCD＝∠BFD，所以∠EFD＋∠PCD＝180，由此知C，D，F，E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过C，D，F，E四点的圆的圆心，所以G在CD的垂直平分线上．又O也在CD的垂直平分线上，因此OG⊥CD.