2018-2019学年高中数学 第二章 推理与证明 2.3 复数的几何意义课件 新人教A版选修2-2.ppt

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第二章,推理与证明,2．2直接证明与间接证明,2．3数学归纳法,自主预习学案,,,数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．②(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明______________________．,当n＝k＋1时命题也成立,1．用数学归纳法证明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是()A．1B．1＋3C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4[解析]当n＝1时，2n＋1＝21＋1＝3，所以左边为1＋2＋3．故应选C．,C,B,B,互动探究学案,命题方向1⇨数学归纳法的基本原理及用数学归纳法证明恒等式,典例1,『规律总结』用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形．,C,B,命题方向2⇨用数学归纳法证明不等式,典例2,『规律总结』用数学归纳法证明不等式和证明恒等式注意事项大致相同，需要注意的是：(1)在应用归纳假设证明过程中，方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法、比较法等其他方法证明．(2)在推证“n＝k＋1时不等式也成立”的过程中，常常要将表达式作适当放缩变形，以便于应用归纳假设，变换出要证明的结论．,命题方向3⇨用数学归纳法证明整除问题,求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*，a∈R．[思路分析]证明整除性问题的关键是“凑项”，即采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得以解决．[证明](1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)21－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝aak＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1．由归纳假设知，上式能被a2＋a＋1整除，故当n＝k＋1时命题也成立．由(1)、(2)知，对一切n∈N*，命题都成立．,典例3,『规律总结』用数学归纳法证明整除问题时，首先从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除．其中的关键是“凑项”，可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法分析出因子，从而利用归纳假设使问题得到解决．利用数学归纳法证明整除问题，由归纳假设P(k)能被p整除，证P(k＋1)能被p整除，也可运用结论：若P(k＋1)－P(k)能被p整除⇒P(k＋1)能被p整除．或利用“∵P(k)能被P整除，∴存在整式q(k)，使P(k)＝Pq(k)”，将P(k＋1)变形转化分解因式产生因式p．,例如本题中，在推证n＝k＋1命题也成立时，可以用整除的定义，将归纳假设表示出来，假设n＝k时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则ak＋1＋(a＋1)2k－1＝(a2＋a＋1)q(a)(q(a)为多项式)，所以(a＋1)2k－1＝(a2＋a＋1)q(a)－ak＋1，所以n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝ak＋2＋(a＋1)2(a＋1)2k－1＝ak＋2＋(a＋1)2[(a2＋a＋1)q(a)－ak＋1]＝ak＋2＋(a＋1)2(a2＋a＋1)q(a)－(a＋1)2ak＋1＝(a＋1)2(a2＋a＋1)q(a)－ak＋1(a2＋a＋1)，显然能被a2＋a＋1整除，即n＝k＋1时，命题亦成立．,〔跟踪练习3〕求证：当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除．[证明](1)显然，当n＝1时，命题成立，即x1＋y1能被x＋y整除．(2)假设当n＝2k－1(k∈N*)时命题成立，即(x＋y)能整除x2k－1＋y2k－1，则当n＝2k＋1时，x2k＋1＋y2k＋1＝x2x2k－1＋x2y2k－1－x2y2k－1＋y2y2k－1＝x2(x2k－1＋y2k－1)－(x＋y)(x－y)y2k－1，∵x＋y能整除(x2k－1＋y2k－1)，又x＋y能整除(x＋y)(x－y)y2k－1，∴(x＋y)能整除x2k＋1＋y2k＋1．由(1)、(2)可知当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除．,由已知条件首先计算数列{an}的前几项的值，根据前几项的特点，猜想出数列{an}的通项公式或递推公式，利用数学归纳法加以证明是求数列通项的一种常见的方法．,归纳——猜想——证明,设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1(n＝1,2,3，…)．(1)求a1，a2；(2)求{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．,典例4,『规律总结』数学归纳法源于对某些猜想的证明，而猜想是根据不完全归纳法对一些具体的、简单的情形进行观察、类比而提出的．给出一些简单的命题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意自然数n都成立的一般性命题．解题一般分三步进行：(1)验证P(1)，P(2)，P(3)，P(4)，…；(2)提出猜想；(3)用数学归纳法证明．,〔跟踪练习4〕在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*)，其中λ>0．(1)求a2，a3，a4；(2)猜想{an}的通项公式并加以证明．[解析](1)由an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n，将a1＝2代入，得a2＝λa1＋λ2＋(2－λ)2＝λ2＋4；将a2＝λ2＋4代入，得a3＝λa2＋λ3＋(2－λ)22＝2λ3＋8；将a3＝2λ3＋8代入，得a4＝λa3＋λ4＋(2－λ)23＝3λ4＋16．,(2)由a2，a3，a4，对{an}的通项公式作出猜想：an＝(n－1)λn＋2n．证明如下：①当n＝1时，a1＝2＝(1－1)λ1＋21成立．②假设当n＝k(k∈N*)时，ak＝(k－1)λk＋2k，则当n＝k＋1时，ak＋1＝λak＋λk＋1＋(2－λ)2k＝(k－1)λk＋1＋λ2k＋λk＋1＋(2－λ)2k＝kλk＋1＋2k＋1＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1．由此可知，当n＝k＋1时，ak＋1＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1也成立．由①②可知，an＝(n－1)λn＋2n对任意n∈N*都成立．,数学归纳法证明：2＋22＋…＋2n－1＝2(2n－1－1)(n>2，n∈N＋)．,未用归纳假设而致误,典例5,,[辨析]错解中的第二步没用到归纳假设，直接使用了等比数列的求和公式．由于未用归纳假设，造成使用数学归纳法失误．[正解](1)当n＝3时，左边＝2＋22＝6，右边＝2(22－1)＝6，等式成立；(2)假设n＝k时，结论成立，即2＋22＋…＋2k－1＝2(2k－1－1)，那么n＝k＋1时，2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2(2k－1－1)＋2k＝22k－2＝2(2k－1)．所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，等式对任意n>2，n∈N＋都成立．[点评]在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．其中，第一步是递推的基础，验证n＝n0时结论成立的n0不一定为1，根据题目要求，有时可为2、3等；第二步是递推的依据，证明n＝k＋1时命题也成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．,1．某命题与自然数有关，如果当n＝k(k∈N＋)时该命题成立，则可推得n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，则可推得()A．当n＝6时，该命题不成立B．当n＝6时，该命题成立C．当n＝4时，该命题不成立D．当n＝4时，该命题成立[解析]若n＝4时，该命题成立，由条件可推得n＝5命题成立．它的逆否命题为：若n＝5不成立，则n＝4时该命题也不成立．,C,