中考复习探究类问题的解法.doc

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中考数学探究类问题的解法 在每年数学中考中通常都有一道结合图形探究规律，利用规律得出一般性的结论，考察学生观察、分析、归纳能力，此题往往是一题或二题中的拔高题，学生通常在此丢分，有的学生干脆就不做放弃了。此类题并不是很难，解决方法是人特殊入手找出一般规律。 1.如图，点A1(1,1)在直线y=x上，过点A1分别作y轴、x轴的平行线交直线y=x于点B1，B2，过点B2作y轴的平行线交直线y=x于点A2，过A2作x轴的平行线交直线y=x于点B3，... ，按照此规律进行下去，则An的横坐标为__________。 解析 ：由点A1的横坐标可求出点B1、A1的纵坐标，进而 可得出A1B1再利用解直角三角形求A1B2的长度，由1+A1B2=可得出A2、B2的坐标，同理求得A1(2,2),A2(,),A3(,),..., (()n-1,()n-1)故An的横坐标:()n-1。 2. 如图，点A1、A2、A3、...，An在x轴正半轴上，点C1，C2，C3，...，Cn在y轴正半轴上，点B1,B2,B3,...，Bn在第一象限角平分线OM上，OB1=B1B2=B1B3=...=Bn-1Bn=a，A1B1⊥B1C1,A2B2⊥B2C2,A3B3⊥B3C3，...，AnBn⊥BnCn，...，则第n个四边形OAnBnCn的面积是_______. 解析 ：过点B1作B1E⊥OC1,B1F⊥OA1,可证△B1C1E≌△A1B1F,可以得出四边形B1EOF是正方形，OB1=a，可得S四边形OA1B1C1=a2，同理可得：S四边形OA2B2C2=a222，S四边形OA3B3C3=a232，...，S四边形OAnBnCn=a2n2。 3. 如图，正方形ABCD的边长为a，在AB、BC、CD、DA边上分别取点A1、B1、C1、D1，使AA1=BB1=CC1=DD1=a，在边A1B1、B1C1、C1D1、D1A1上分别取点A2、B2、C2、D2，使A1A2=B1B2=C1C2=D1D2=A1B2，...依次规律继续下去，则正方形AnBnCnDn的面积为_______. 解析：利用勾股定理可求S正方形A1B1C1D1=a2，同理可求得S正方形A2B2C2D2=（）2a2，S正方形A3B3C3D3=（）3a2，...,由此规律 得出S正方形AnBnCnDn=()na2 4.如图，点B1在直线l：y=-x上，点B1的横坐标为2，过B1作B1A1垂直l,交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3延长B4C3交x轴于点A4；...；按照这个规律 进行下去，点Cn的横坐标为________（结果用含正整数n的代数式表示 ） 解析 ：如图所示利用解直角三角形可求出图中相应的量，可以求得 C1（，），C2（，），进而求出过C1，C2的直线解析式：y=x，横坐标规律不好找， 但纵坐标C1:,C2：，C3:，...，Cn:，将Cn的横坐标代入y=x，得xn= 5.如图，在△A1C1O中，A1C1=A1O=2,∠A1OC1=300,过点A1作A1C2⊥OC1，垂足为点C2，过点C2作C2作C2A2∥C1A1交OA1于点A2，得到△A2C2C1;过点A2作A2C3⊥OC1，垂足为点C3，过点C3作C3A3∥C1A1交OA1于点A3，得到△A3C3C2;过点A3作A3C4⊥OC1，垂足为点C4，过点C4作C4A4∥C1A1交OA1于点A4，得到△A4C4C3;.....按照上面的作法进行下去，则△An+1Cn+1Cn的面积为______（用含正整数n的代数式表示） 解析 ：由等腰三角形三线合一，可得△C1C2A2的面积是△OC1A2面积 的一半，A2是中点，得△C1C2A2的面积等于四分之一△OA1C1的面积 ，同理△C2C3A3面积 是△OC2A2面积的四分之一，是△OA1C1的面积十六分之一......,△An+1Cn+1Cn面积 是（）nS= 6.如图，点A1（2，2）在直线y=x上，过点A1作A1B1⊥y轴交直线y=x于点B1，以点A1为直角顶点，A1B1为直角边在A1B1的右侧作等腰直角△A1B1C1，再过点C1作A2B2⊥y轴，分别交直线y=x和y=x于A2，B2两点，以点A2为直角顶点，A2B2为直角边在A2B2的右侧作等腰直角△A2B2C2...，按此规律进行下去，则等腰直角△AnBnCn 的面积 为________（用含正整数n的代数式表示）. 解析：如图所示，由题意可求出A1B1长及A2B2长...，观察后发现变化规律，可求得面积为2n-1 7.如图，在平面直角坐标系中，A，B两点分别在x轴和y轴上，OA=1,OB =，连接AB，过AB中点C1分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别是点A1、B1，连接A1B1，再过A1B1中点C2作x轴和y轴的垂线，照此规律依次作下去，则点Cn的坐标为___ 解析 ：由中位线定理可得C1(,), C2(,),C3(,),...,Cn(,) 8.如图，正方形AOBO2的顶点A的坐标为A（0，2），O1为正方形AOBO2的中心；以正方形AOBO2的对角线AB为边，在AB的右侧作正方形ABO3A1，O2为正方形ABO3A1的中心；再以正方形ABO3A1的对角线A1B为边，在A1B的右侧作正方形A1BB1O4，O3为正方形A1BB1O4的中心；再以正方形A1BB1O4的对角线A1B1为边，在A1B1的右侧作正方形A1B1O5A2，O4为正方形A1B1O5A2的中心；...；按照此规律继续下去，则点O2108的坐标为________. 解析：由题意容易求出O2(2,2)，O4(6,4)，O6(148)，...,O2018(21010-2,21009). 通过观察、比较，会发现纵坐标规律明显 ，纵坐标乘2 减2就是横坐标。当然大家也能感觉到，这些点分布在同一条直线上，可以先求出直线解析式，再将纵坐标代入求横坐标。 9.如图，在平面直角坐标系中，直线l经过原点为，且与y轴正半轴所夹的锐角为600，过点A(0，1)作y轴的垂线l于点B，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A1，以A1B，BA为邻边作平行四边形ABA1C1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2，以A2B1，B1A1为邻边作平行四边形A1B1A2C2；...；按此作法继续下去，则Cn的坐标是______ 解析:过解直角三角形能求出AB，AA1的长，得出C1（-，4），同理可求C2（-，16），C3（-，64），..., Cn（，4n）。 10.如图，A1,A2,A3...,An,An+1是直线l1：y=√(3)x上的点，且OA1=A1A2=A2A3=...An An+1=2，分别过点A1,A2,A3...,An,An+1作l1的垂线与直线l2：y=(√(3)/3)x相交于点B1，B2，B3...，Bn，Bn+1，连接A1B2，B1A2，A2B3，B2A3...，AnBn+1,BnAn+1，交点依次为P1，P2，P3...,Pn,设P1A1A2，P1A1A2，P1A1A2，...，P1A1A2的面积 分别为为S1,S2,S3,...,Sn，则Sn=________。 解析：利用解三角形求出相应三角形的高，可以求得S△A2OB1=, S△A3A1B2=, S△A4A2B3=,..., S△An+1An-1Bn= 由想相似可得A1B1:A2B2:A3B3:...:AnBn:An+1Bn+1=1:2:3:...:n:(n+1), 由三角形相似可知BnPn:PnAn+1=n:(n+1), 可得S△An+1PnAn=S△An+1AnBn=S△An+1An-1Bn=. 11. 按如图方式作正方形和等腰直角三角形，若第一个正方形的边长AB=1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为S1，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为S2，...，则第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和Sn=_____ 解析：S1=1+=，由勾股定理得，第一个等腰直角三角形腰长为，所以S2=（）2+（）2=，同理可得S3=，按此规律Sn= 12.如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x，直线l2:y=x，在直线l1上取一点B，使OB=1，以点B为对称中心，作点O的对称点B1，过点B1作B1A1∥l2，交x轴于点A1，作B1C1∥x轴，交直线l2于点C1。得到四边形OA1B1C1；再以点B1为对称中心，作O点的对称点B2，过点B2作B2A2∥l2，交x轴于点A2，作B2C2∥x轴，交直线l2于点C2，得到四边形OA2B2C2;...；按此规律作下去，则四边形OAnBnCn的面积是____ 解析：由题意知OA1C1是等边三角形，可求得边长为，再求得面积为，由对称性知S1=，根据中们线定理易SOA2C2=，由此可求得S2=，同理可得S3=，...,Sn=. 13.如图，边长为n的正方形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴的正半轴上，A1、A2、A3、...、An-1为 OA的n等分点，B1、B2、B3、...、Bn-1为CB的n等分点，连接A1B1、A2B2、A3B3、...、An-1Bn-1, 分别交y=x2（x≥0）于点C1、C2、C3、...、Cn-1，当B25C25=8C25A25时，则n=_____. 解析：因为OA分成n等份，所以C25（n，）,又由B25C25=8C25A25 得：n-=8,解得n=325=75. 14.如图，直线y=x上有点A1，A2，A3，...，An+1，且OA1=1,A1A2=2, A2A3=4，...，AnAn+1= 2n分别 过点A1，A2，A3，...，An+1`作直线y=x的垂线，交y轴于B1，B2，B3，...，Bn+1，依次连接A1B2，A2B3，A3B4，...，AnBn+1得到△A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3B4，...，△AnBnBn+1，则△AnBnBn+1的面积 ____ 解析：如图所示，通过解直角三角形可得到图中相应线段长，这样就可以得：S△AnBnBn+1=AnBnAnAn+1=（1+2+4+8+...+2n-1）2n =（22n-1-2n-1） 15. 如图 ，点B1在反比例函数y=（x>0）的图像上，过点B1分别作x轴和y轴的垂线，垂足为C1和A，点C1的坐标为（1，0）取x轴上一点C2（，0），过点C2分别作x轴的垂线交反比例函数图象于点B2，过B2作线段B1C1的垂线交B1C1于点A1，依次在x轴上取点C3（2，0），C4（，0）...此规律作矩形，则第n（n≥2，n为整数）个矩形An-1Cn-1Cn Bn的面积 为___。 解析：观察图形计算后比较你会发现矩形的宽均是，长为分子是4不变，而分母是字母B的序号加1. 所以矩形An-1Cn-1Cn Bn的面积=Cn-1CnCn Bn = = 16. 如图，已知CO1是△ABC的中线，过点O1作O1E1∥AC交BC于点E1,连接AE1交CO1于点O2；过点O2作O2E2平行AC交BC于点E2，连接AE2交CO1于点O3；过点O3作O3E3平行AC交BC于点E3，...，如此继续，可以依次得到点O4，O5，...，On和点E4，E5，...，En。则OnEn=______. 解析：由中位线定理得OE1=AC，=;再由三角形相似得出OE=AC，同理可得OE=AC，...,OnEn=AC 17.如图 ，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别 是（-1，-1）、（0，2）、（2，0），点P在y轴上，且坐标为（0，2），点P关于点A的对称点为P1，点P1关于点B的对称点P2，点P2关于点C的对称点P3点P3关于点A的对称点为P4，点P4关于点B的对称点为P5，点P5关于点C的对称点为P6，点P6关于点A的对称点为P7,...，按此规律进行下去，则点P2013的坐标是_____. 解析：按题中的方法操作，第六次就回到了P点，然后再按此法操作；观察，分析后，发现六次一循环。故20136=335...3，也就是循环335次，再数三个点就是P2013所在的点，应该是和P3重合，而P3（2，-4），所以P2013（2，-4）