北航数值分析B第一次上机作业算法作业.doc
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数值分析第一次上机作业 班级：ZY16131 学号：ZY16131 姓名： 一、算法方案设计 （1）存储矩阵A（参考课本25页）: 矩阵A501501为大型带状矩阵，上半带宽S=2，下半带宽R=2，参照课本，可将其用循环语句存储在一个5行501列的二维数组A[5][501]中，使得矩阵A的第j列存放数组A 的第j列带状元素，并使得矩阵的主对角元素存放在数组的第三行。检索矩阵的元素时只要按照公式：aij=数组a[i-j+3][j]即可。 （2）求λ1，λ501，λs： 第一步，用幂法求出矩阵A按模最大特征值，再对其判断正负，如果是正数，则该特征值为λ501，如果是负数，则该特征值为λ1。 幂法实现过程具体为： 第二步，用反幂法求矩阵A按模最小特征向量λS。 第三步，由于λ1≤λ2≤…..≤λ501，可采用原点平移法对矩阵A平移λ1，得到矩阵（-λ1I+A），记为矩阵B，再用用幂法求出B的模最大特征值λB，则λ501=λB+λ1。 （3）距离μk最近的特征值： 还是用原点平移法，将矩阵A平移μk个单位，再用反幂法求出平移后矩阵模最小特征值ηk，矩阵A与μk最接近的特征值为： λik = ηk + μk =ηk + （4）A的谱范数条件数与detA： a、求矩阵A的行列式值： 在用反幂法时需要对矩阵A进行Doolittle三角分解，A=LU，根据det(A)=det（LU）=det（L）*det（U），其中det（L）=1，det(A)即为U矩阵的对角线元素的乘积。 b、求A的（谱范数）条件数cond（A）2: 由于A是非奇异实对称阵，从而cond（A）2 =∣λ1∣/∣λs∣。 2、 运行结果分析 （1） 取初始向量为 u_0[501]={1,1…1}，计算结果截图如下： （2）讨论初始迭代向量取值对计算结果的影响 在编程实现算法的过程中遇到了很多问题，多次尝试才得以解决。例如，对各个函数的定义后需要对矩阵A进行初始化；为简化程序，方便改变变量值，应该尽可能地将某些多级变量写成函数的形式，只需要对初级变量赋值即可。 猜想：幂法迭代的精度跟初始向量 u_0[501]的取值有关。 ①取初始向量为[1,1,…,0]T（共50个1），计算结果如下： 对比初始向量为 [1,1,…,1]T 计算结果可发现，最小特征值和按模最小特征值均发生较大变化。 ②取初始向量为[1,1,…,0]T（共100个1），计算结果如下： 计算结果与初始向量为 [1,1,…,1]T 时的计算结果基本一样。 ③取初始向量为[1,1,…,0]T（共300个1），计算结果如下： 对比初始向量为 [1,1,…,1]T 计算结果可发现，最大、最小特征值以及按模最小特征值都发生变化，其中最小特征值和按模最小特征值相较初始向量中含0较多的①②情况更接近初始向量为 [1,1,…,1]T 的计算结果，但最大特征值变化比较明显。 ④取初始向量为[10,10,…,10]T（元素全为10），计算结果如下： 计算结果跟初始向量为 [1,1,…,1]T 时的计算结果一样，没有变化。 ⑤取初始向量为[0,0,…,0]T（元素全为0），计算结果如下： 计算出错。 总结： 通过以上五组计算结果对比，可以初步发现： 采用幂法迭代时，选取的初始向量中0元素的多少对于计算结果和运算次数有很大的影响。基本规律是：0元素越少，结果越准确。由于对初始向量进行了单位化，所以初始向量的模的大小对于运算结果没有太大影响。 这是因为，如果所选的u0使得α1=0，由于计算过程中的舍入误差影响，必然会使得迭代过程中的某一步出现x1方向分量不为零的情况，相当于重新进行迭代，增大计算量和误差。（参考课本49页） 附：C程序代码 #include
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