概率论答案重点讲义资料.doc
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习题二答案 1．随机变量的分布函数、分布律、密度函数有何联系与区别？ 答：随机变量的分布刻画了随机变量的取值规律，不管是连续型、离散型或既不是连续型，也不是离散型随机变量都可用分布函数来描述其取值的规律；而分布律只用来描述离散型随机变量的取值规律；密度函数只能来描述连续型随机变量的取值规律。它们的联系在于当知道了X的分布律，可通过求概率PX≤x（x取任意的值）求得X的分布函数Fx;仅之亦然。当知道了连续型随机变量的密度函数fx,可通过积分Fx=-∞xdt (-∞≤x≥+∞) ,求得分布函数Fx, 可通过对Fx求导，即dydxFx=fx（对一切fx的连续点处）求得密度函数fx。 2. 同时掷两枚骰子,求两枚骰子的点数之和X 的概率分布,并计算P{X≤3}和P{X>13}. 解：由题意X的正概率点为2，3，…12 PX=k=6-k-736 , k=2,3,…12 PX≤3=PX=2=PX=3=136+236=112 PX>12=P∅=0 3. 某产品共17件,其中有次品3件,现从中任取5件,求抽得次品数X 的概率分布,并计算P{1≤X<2} 解：PX=k=C3kC145-kC175 , P1≤X<2=C31C144C175 4. 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求X 的概率分布 解：X 的可能取值为0,1,2,3 A i(i=1,2,3)表示事件“汽车在第i个路口首次遇到红灯”； A1,A2,A3 相互独立，且PAi=PAi=12 ，i=1,2,3 对于m =0,1,2,3 ，有 PX=0=PAi=12 PX=1=PA1A2=122 PX=2=PA1 A2A3=123 PX=3=PA1 A2 A3=123 5．设随机变量X的概率密度为：fx=13 x∈0,129 x∈3,60 其他 若k使得PX≥k=23, 求k的取值范围。 解： PX≥k=k-∞fxdx 当k∈-∞,1 时， PX≥k=k113dx+130dx+3629dx+6+∞0dx=1-k3>23 当k∈1,3 时， PX≥k=k30dx+362dx9+6+∞0dx=23 当k∈3,-∞ 时， PX≥k=k62dx9+6+∞0dx=296-k<23 故要使得PX≥k=23 ，k的取值范围是 1,3 6．设某射手每次射击命中目标的概率为0.5， 现连续射击10次，求命中目标的次数X的概率分布，又设至少命中3次才可以参加下一步的考核，求次射手不能参加考核的概率。 解：X~B(10，0.5) PX≥k=C10K0.5k0.510-k, k=0,1,2…,10 设A此射手不能参加考核，有 PA=PX≤2=k=02PX=k=k=02C10k0.5k0.510-k≈0.054 7．设X服从泊松分布，且已知PX=1=PX=2, 求PX=4 解：由PX=1=λ11！e-λ=λ22！e-2=PX=2 得到λ=2 PX=4=λ44！e-λ=241！e-2≈0.0902 8．某仪器装有3只独立工作的同型号电子元件,其寿命(单位:小时)都服从同一指数分布,概率密度为fx=1600e-1600 , x>00 x≤0 求:在仪器使用的最初200小时内,至少有一只电子元件损坏的概率α。 解：Ak=在仪器使用的最初200小时内，第k只原件损坏 k=1,2,3 Xk=第k只原件的使用寿命 PAk=PXk>200=200+∞1600e-x600dx=e-13 α=PA1∪A2∪A3=P-PA1∪A2∪A3=1-PA1 A2 A3=1-e-133=1-e-1 9. 令X 表示向直角等腰三角形内投点时落点的第一坐标,求F(x). 解：0
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