（河北专版）2019年中考数学一轮复习 第五章 图形的认识 5.5 特殊的平行四边形（试卷部分）课件.ppt

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5.5特殊的平行四边形,中考数学(河北专用),A组2014-2018年河北中考题组,五年中考,答案B证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,又BO=DO,∴AO⊥BD,即AC⊥BD.所以证明步骤正确的顺序是③→④→①→②,故选B.,2.(2016河北,6,3分)关于▱ABCD的叙述,正确的是()A.若AB⊥BC,则▱ABCD是菱形B.若AC⊥BD,则▱ABCD是正方形C.若AC=BD,则▱ABCD是矩形D.若AB=AD,则▱ABCD是正方形,答案C若AB⊥BC,则▱ABCD是矩形,不是菱形,选项A不正确;若AC⊥BD,则▱ABCD是菱形,不一定是正方形,选项B不正确;若AC=BD,则▱ABCD是矩形,选项C正确;若AB=AD,则▱ABCD是菱形,但不一定是正方形,选项D不正确.,思路分析由菱形、矩形、正方形的判定方法得出选项A、B、D错误,C正确.,解题关键本题考查特殊平行四边形的判定方法,熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解题的关键.,3.(2015河北,16,2分)如图是甲、乙两张不同的矩形纸片,将它们分别沿着虚线剪开后,各自要拼一个与原来面积相等的正方形,则()A.甲、乙都可以B.甲、乙都不可以C.甲不可以,乙可以D.甲可以,乙不可以,答案A将甲纸片拼成如图1所示的正方形,其面积与原来矩形的面积相等,将乙纸片拼成如图2所示的正方形,其面积与原来矩形的面积相等,故选A.图1图2,思路分析根据图形可得题图甲中的图形可以拼成一个边长为的正方形,题图乙中的图形可以拼一个边长为的正方形.,解题关键本题考查了图形的剪拼,解答本题的关键是根据题意作出图形.,4.(2014河北,8,3分)如图,将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后,拼成面积为2的正方形,则n≠()A.2B.3C.4D.5,答案A若n=2,则只能沿矩形的对角线剪开,这样每个三角形的三边长分别为1,2,,显然不能拼成面积为2的正方形,故选A.,5.(2014河北,23,11分)如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=40,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100得到△ADE,连接BD,CE交于点F.(1)求证:△ABD≌△ACE;(2)求∠ACE的度数;(3)求证:四边形ABFE是菱形.,解析(1)证明:如图,由旋转可知AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=100.∵AB=AC,∴AD=AE.∴△ABD≌△ACE.(4分)(2)∵AC=AE,∠CAE=100,∴∠2=∠3=40,即∠ACE=40.(7分)(3)证明:∵∠1=∠2=40,∴AB∥CE.同样有∠4=∠5,则AE∥BD.∴四边形ABFE为平行四边形.(9分)∵AB=AD,AD=AE,∴AB=AE.(10分)∴四边形ABFE为菱形.(11分),思路分析(1)根据旋转可知AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE,由AB=AC得AD=AE,然后利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等.(2)根据AC=AE,∠CAE=100,得∠ACE=∠AEC=40.(3)根据定义,可证得四边形ABFE是平行四边形,然后依据邻边相等的平行四边形是菱形,即可得证.,评析此题考查全等三角形的判定,等腰三角形的性质以及菱形的判定.,B组2014—2018年全国中考题组,考点一菱形的性质与判定,1.(2018陕西,8,3分)如图,在菱形ABCD中,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点,连接EF、FG、GH和HE.若EH=2EF,则下列结论正确的是()A.AB=EFB.AB=EFC.AB=2EFD.AB=EF,答案D如图,连接AC、BD交于O,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点,∴EF=AC,EH=BD,∵EH=2EF,∴BD=2AC,∴OB=2OA,∴AB==OA,易知OA=EF,∴AB=EF,故选D.,思路分析首先根据菱形的性质得到AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,然后根据三角形中位线定理得出EF=AC,EH=BD,进而得到OB=2OA,最后根据勾股定理求得AB=OA,即得AB=EF.,2.(2017湖南长沙,10,3分)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm,则这个菱形的周长为()A.5cmB.10cmC.14cmD.20cm,答案D根据菱形的对角线互相垂直平分,可知OA=3cm,OB=4cm,且OA⊥OB,在Rt△AOB中,根据勾股定理可得AB=5cm,所以菱形ABCD的边长为5cm,所以菱形ABCD的周长为45=20cm.,方法总结已知菱形两条对角线的长求菱形的周长时,利用菱形的对角线互相垂直平分,并结合勾股定理即可求解.,3.(2017河南,7,3分)如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件判定▱ABCD是菱形的只有()A.AC⊥BDB.AB=BCC.AC=BDD.∠1=∠2,答案C根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得选项A正确;根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得选项B正确;对角线相等的平行四边形为矩形,故选项C错误;因为CD∥AB,所以∠2=∠DCA,再由∠1=∠2,可得∠1=∠DCA,所以AD=CD,由一组邻边相等的平行四边形是菱形,得▱ABCD是菱形,D正确.故选C.,4.(2015甘肃兰州,10,4分)如图,菱形ABCD中,AB=4,∠B=60,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,连接EF,则△AEF的面积是()A.4B.3C.2D.,答案B连接AC,在菱形ABCD中,AB=BC,∵∠B=60,∴△ABC是等边三角形,∵AE⊥BC,∴AE=2,∠EAC=30,同理可得AF=2,∠CAF=30,则△EAF为等边三角形,∴S△AEF=(2)2=3.故选B.,5.(2016江苏南京,16,2分)如图,菱形ABCD的面积为120cm2,正方形AECF的面积为50cm2,则菱形的边长为cm.,答案13,解析连接BE,EF,FD,AC,∵菱形、正方形为轴对称图形,对角线所在直线是其对称轴,∴B,E,F,D在同一条直线上,∵S正方形AECF=ACEF=AC2=50cm2,∴AC=10cm,∵S菱形ABCD=ACBD=120cm2,∴BD=24cm.设AC,BD的交点为O,由菱形的性质可得AC⊥BD,AO=5cm,OB=12cm,∴AB===13cm.,评析本题考查了四边形的综合问题,熟悉正方形和菱形的性质,会用勾股定理求线段的长度是解题的关键,属中档题.,6.(2016浙江杭州,14,4分)在菱形ABCD中,∠A=30,在同一平面内,以对角线BD为底边作顶角为120的等腰三角形BDE,则∠EBC的度数为.,答案45或105,解析根据题意,知点E所在位置有两种可能,在DB的左边或右边,如图.∵在菱形ABCD中,∠A=30,∴∠ADC=∠ABC=150,BD平分∠ADC,∠ABC,∴∠ADB=∠ABD=∠CDB=∠CBD=75,又∵以DB为底边的等腰三角形DBE的顶角∠DEB=120,∴∠EDB=∠EBD=30,∴∠EBC=75-30=45或∠EBC=30+75=105.,评析本题考查菱形的有关性质和等腰三角形的性质,以及分类讨论思想.,7.(2014江西,13,3分)如图,是将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90,180,270后形成的图形.若∠BAD=60,AB=2,则图中阴影部分的面积为.,答案12-4,8.(2018北京,21,5分)如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,连接OE.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)若AB=,BD=2,求OE的长.,解析(1)证明:∵AB∥CD,∴∠OAB=∠DCA.∵AC平分∠BAD,∴∠OAB=∠DAC,∴∠DCA=∠DAC,∴CD=AD.又∵AB=AD,∴AB=CD,∴四边形ABCD为平行四边形.又∵CD=AD=AB,∴四边形ABCD为菱形.(2)∵四边形ABCD为菱形,∴OA=OC,BD⊥AC.∵CE⊥AE,∴OE=AO=OC.∵BD=2,∴OB=BD=1.在Rt△AOB中,AB=,OB=1,∴OA==2,∴OE=2.,9.(2017北京,22,5分)如图,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,AD∥BC,AD=2BC,∠ABD=90,E为AD的中点,连接BE.(1)求证:四边形BCDE为菱形;(2)连接AC,若AC平分∠BAD,BC=1,求AC的长.,解析(1)证明:∵E为AD的中点,∴AD=2ED.∵AD=2BC,∴ED=BC.∵AD∥BC,∴四边形BCDE为平行四边形.又∵在△ABD中,E为AD的中点,∠ABD=90,∴BE=ED,∴▱BCDE为菱形.(2)设AC与BE交于点H,如图.,10.(2015江西南昌,20,8分)(1)如图1,纸片▱ABCD中,AD=5,S▱ABCD=15.过点A作AE⊥BC,垂足为E,沿AE剪下△ABE,将它平移至△DCE的位置,拼成四边形AEED,则四边形AEED的形状为()A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形(2)如图2,在(1)中的四边形纸片AEED中,在EE上取一点F,使EF=4,剪下△AEF,将它平移至△DEF的位置,拼成四边形AFFD.①求证:四边形AFFD是菱形;②求四边形AFFD的两条对角线的长.,考点二矩形的性质与判定,1.(2017甘肃兰州,8,4分)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠ADB=30,AB=4,则OC=()A.5B.4C.3.5D.3,答案B因为四边形ABCD为矩形,所以AC=BD,OC=AC.已知∠ADB=30,故在直角三角形ABD中,BD=2AB=8,所以AC=8,所以OC=AC=4,故选B.,2.(2016四川南充,8,3分)如图,对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合得到折痕EF,将纸片展平;再一次折叠,使点D落到EF上点G处,并使折痕经过点A,展平纸片后∠DAG的大小为()A.30B.45C.60D.75,答案C如图,根据第二次折叠可知,∠1=∠2,∠MGA=90,由第一次折叠可知,MN=AN,即NG是Rt△AMG的中线,故AN=GN,所以∠2=∠3.又EF∥AB,所以∠3=∠4,故∠1=∠2=∠4,又因为∠1+∠2+∠4=90,所以∠1=∠2=∠4=30,所以∠1+∠2=∠DAG=60,故选C.,3.(2017黑龙江哈尔滨,20,3分)如图,在矩形ABCD中,M为BC边上一点,连接AM,过点D作DE⊥AM,垂足为E,若DE=DC=1,AE=2EM,则BM的长为.,答案,解析∵∠BAM+∠EAD=90,∠EAD+∠EDA=90,∴∠BAM=∠EDA.又∵∠B=∠AED=90,∴△ADE∽△MAB.∴=,即=.∴AE=BM.由AE=2EM可设AE=2x,EM=x(x>0),则BM=2x,在Rt△ABM中,由勾股定理可知(2x+x)2=12+(2x)2,解得x=(舍负),∴BM=2x=.,4.(2018北京,13,2分)如图,在矩形ABCD中,E是边AB的中点,连接DE交对角线AC于点F,若AB=4,AD=3,则CF的长为.,答案,解析∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,CD=AB=4,BC=AD=3,∴∠DCA=∠CAB,又∠DFC=∠AFE,∴△CDF∽△AEF,∴=.∵E是边AB的中点,AB=4,∴AE=2.∵BC=3,AB=4,∠ABC=90,∴AC=5.∴=,∴CF=.,5.(2018吉林,24,8分)如图①,在△ABC中,AB=AC,过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E,以E为顶点,ED为一边,作∠DEF=∠A,另一边EF交AC于点F.(1)求证:四边形ADEF为平行四边形;(2)当点D为AB中点时,▱ADEF的形状为;(3)延长图①中的DE到点G,使EG=DE,连接AE,AG,FG,得到图②.若AD=AG,判断四边形AEGF的形状,并说明理由.,解析(1)证明:∵DE∥AC,∴∠DEF=∠EFC.∵∠DEF=∠A,∴∠A=∠EFC.∴EF∥AB.∴四边形ADEF为平行四边形.(2分)(2)菱形.(4分)(3)结论:四边形AEGF为矩形.(5分)理由:由(1)知,四边形ADEF为平行四边形.∴AF􀱀DE,AD=EF,∵EG=ED,∴AF􀱀EG.∴四边形AEGF是平行四边形.(6分)∵AD=AG,∴AG=EF.(7分)∴四边形AEGF为矩形.(8分)评分说明:第(3)题,证明过程正确,但前面不先写出结论的不扣分.,思路分析(1)根据平行四边形的定义进行判定;(2)由D为AB的中点,结合(1)知DE=AC,又AD=AB,∴DE=AD,∴▱ADEF为菱形;(3)利用(1)的结论先证明四边形AEGF为平行四边形,再证AG=EF即可.,6.(2017广西南宁,22,8分)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,BE=DF.(1)求证:AE=CF;(2)若AB=6,∠COD=60,求矩形ABCD的面积.,解析(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC,OB=OD,∵BE=DF,∴OE=OF,∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF(SAS),(3分)∴AE=CF.(4分)(2)∵四边形ABCD为矩形,∴∠BCD=90,AB=CD=6,OD=OC.(5分)∵∠COD=60,∴△OCD为等边三角形,∴OD=OC=CD=6,∴BD=2OD=12.(6分)在Rt△BCD中,BC2+DC2=BD2,∴BC==6.(7分)∴S矩形ABCD=BCCD=66=36.(8分),思路分析(1)证△AOE≌△COF,可得AE=CF;(2)要求矩形ABCD的面积,只要求BC即可,因为四边形ABCD是矩形,∠COD=60,所以△OCD是等边三角形,从而得出OD=6,故BD=12,再利用勾股定理即可求出BC.,7.(2015北京,22,5分)在▱ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F在边CD上,DF=BE,连接AF,BF.(1)求证:四边形BFDE是矩形;(2)若CF=3,BF=4,DF=5,求证:AF平分∠DAB.,证明(1)在▱ABCD中,AB∥CD,∵DF=BE,∴四边形BFDE为平行四边形.∵DE⊥AB,∴∠DEB=90.∴四边形BFDE是矩形.(2)由(1)可得,∠BFC=90.在Rt△BFC中,由勾股定理可得BC=5.∴AD=BC=5.∴AD=DF.∴∠DAF=∠DFA.∵AB∥CD,∴∠DFA=∠FAB.∴∠DAF=∠FAB.∴AF平分∠DAB.,考点三正方形的性质与判定,1.(2017广东,10,3分)如图,已知正方形ABCD,点E是BC边的中点,DE与AC相交于点F,连接BF.下列结论:①S△ABF=S△ADF;②S△CDF=4S△CEF;③S△ADF=2S△CEF;④S△ADF=2S△CDF,其中正确的是()A.①③B.②③C.①④D.②④,答案C∵AB=AD,∠BAF=∠DAF,AF=AF,∴△ABF≌△ADF,∴S△ABF=S△ADF,①正确;同理,S△CDF=S△CBF,∵点E为BC边的中点,∴S△CBF=2S△CEF,即S△CDF=2S△CEF,②不正确;∵AD∥EC,∴∠FAD=∠FCE,∠FDA=∠FEC,又∠AFD=∠CFE,∴△AFD∽△CFE,∴===2,∴==22=4,∴S△AFD=4S△CFE,③不正确;∵=2,∴=2,∴S△ADF=2S△CDF,④正确.故选C.,方法规律探索两个三角形面积的数量关系,主要的方法是从三角形全等、三角形相似等入手.,2.(2016陕西,8,3分)如图,在正方形ABCD中,连接BD,点O是BD的中点.若M、N是边AD上的两点,连接MO、NO,并分别延长交边BC于两点M、N,则的全等三角形共有()A.2对B.3对C.4对D.5对,答案C易知△ABD≌△CBD,△MON≌△MON,△DON≌△BON,△DOM≌△BOM,故选C.,3.(2016广东,5,3分)如图,正方形ABCD的面积为1,则以相邻两边中点连接EF为边的正方形E-FGH的周长为()A.B.2C.+1D.2+1,答案B易知正方形ABCD的边长为1,连接BD,由勾股定理,得BD=,因为E、F分别为BC、DC的中点,所以EF=,所以正方形EFGH的周长为2.故选B.,4.(2018湖北武汉,14,3分)以正方形ABCD的边AD作等边△ADE,则∠BEC的度数是.,答案30或150,解题关键熟记正方形的性质、等边三角形的性质并准确作图是解题的关键.,易错警示此题没有给出图形,需按点E的位置分类讨论,学生往往只画出点E在正方形外而导致漏解.,5.(2016天津,17,3分)如图,在正方形ABCD中,点E,N,P,G分别在边AB,BC,CD,DA上,点M,F,Q都在对角线BD上,且四边形MNPQ和AEFG均为正方形,则的值等于.,答案,解析由题意易得DQ=PQ=QM=MN=MB=AB,DG=GF=GA=AE=BE=AB.∵S正方形MNPQ=MN2=AB2,S正方形AEFG=AE2=AB2,∴==.,6.(2015吉林长春,13,3分)如图,点E在正方形ABCD的边CD上.若△ABE的面积为8,CE=3,则线段BE的长为.,答案5,解析∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠C=90.∵△ABE的面积为8,∴ABBC=8,∴AB2=8,∴AB=4,∴BC=AB=4.∵CE=3,∴BE==5.,7.(2014黑龙江哈尔滨,19,3分)如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,点E在AB边上,EF⊥AC于点F,连接EC,AF=3,△EFC的周长为12,则EC的长为.,答案5,解析设正方形ABCD的边长为x,∵AC是正方形ABCD的对角线,∴∠BAC=45.∵EF⊥AC,∴EF=AF=3,∴AE=3.∵△EFC的周长为12,∴EC=12-x.∵BE=AB-AE=x-3,∴EC=,∴=12-x,解得x=.∴EC=12-=5.,8.(2017陕西,19,7分)如图,在正方形ABCD中,E、F分别为边AD和CD上的点,且AE=CF,连接AF、CE交于点G.求证:AG=CG.,证明∵四边形ABCD是正方形,∴∠ADF=∠CDE=90,AD=CD.∵AE=CF,∴DE=DF.(2分)∴△ADF≌△CDE.∴∠DAF=∠DCE.(4分)又∵∠AGE=∠CGF,AE=CF,∴△AGE≌△CGF,∴AG=CG.(7分),9.(2017上海,23,12分)已知:如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=CD,E是对角线BD上一点,且EA=EC.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)如果BE=BC,且∠CBE∶∠BCE=2∶3,求证:四边形ABCD是正方形.,证明(1)在△ADE和△CDE中,∴△ADE≌△CDE(SSS).∴∠ADE=∠CDE.∵AD∥BC,∴∠ADE=∠CBD,∴∠CBD=∠CDE,∴BC=CD,∴AD=BC,∴四边形ABCD为平行四边形.又AD=CD,∴四边形ABCD为菱形.(2)∵∠CBE∶∠BCE=2∶3,∴设∠CBE=2x,∠BCE=3x,∵BE=BC,∴∠BEC=∠BCE=3x,∵2x+3x+3x=180,∴x=22.5,∴∠CBE=45.,∵∠ADB=∠CDB=∠CBE,∴∠ADC=90.∵四边形ABCD为菱形,∴四边形ABCD为正方形.,思路分析(1)先证四边形ABCD为平行四边形,再由一组邻边相等,便可证得四边形ABCD为菱形.(2)证菱形ABCD的一角为直角,便可证得菱形ABCD为正方形.,10.(2016浙江杭州,21,10分)如图,已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形,点E在线段DC上,点A,D,G在同一条直线上,且AD=3,DE=1.连接AC,CG,AE,并延长AE交CG于点H.(1)求sin∠EAC的值;(2)求线段AH的长.,解析(1)由题意知EC=2,AE=.过点E作EM⊥AC于点M,所以∠EMC=90,易知∠ACD=45,所以△EMC是等腰直角三角形,所以EM=,所以sin∠EAC==.(2)在△GDC与△EDA中,所以△GDC≌△EDA,所以∠GCD=∠EAD,又因为∠HEC=∠DEA,所以∠EHC=∠EDA=90,所以AH⊥GC.因为S△AGC=AGDC=GCAH,所以43=AH,所以AH=.,评析本题是正方形与三角形的综合题.涉及等腰直角三角形和三角函数,全等三角形的判定与性质,以及利用等积法求线段的长度.,C组教师专用题组,考点一菱形的性质与判定,1.(2018贵州贵阳,5,3分)如图,在菱形ABCD中,E是AC的中点,EF∥CB,交AB于点F,如果EF=3,那么菱形ABCD的周长为()A.24B.18C.12D.9,答案A∵E是AC的中点,∴AC=2AE.∵EF∥CB,∴==2,∴BC=2EF=6,∴菱形ABCD的周长为64=24.故选A.,2.(2017江苏苏州,10,3分)如图,在菱形ABCD中,∠A=60,AD=8,F是AB的中点.过点F作FE⊥AD,垂足为E.将△AEF沿点A到点B的方向平移,得到△A‘E’F‘.设P、P’分别是EF、E‘F’的中点,当点A‘与点B重合时,四边形PP’CD的面积为()A.28B.24C.32D.32-8,答案A如图,分别过E、P、D点作EN⊥AB,PG⊥AB,DH⊥AB,垂足分别为N,G,H,DH交PP于点M.在菱形ABCD中,AD=8,∠A=60,F是AB的中点,∴AF=4=AH,DH=4,∵FE⊥AD,∴∠AEF=90.∴AE=2,EN=,∵PG⊥AB,EN⊥AB,∴PG∥EN,,又P是EF的中点,∴PG=EN=.∵将△AEF平移得到△AEF,∴PP􀱀AB,∴PP􀱀DC,∴四边形PPCD是平行四边形,∴DM=DH-PG=.∴S四边形PP‘CD=8=28.故选A.,解题关键本题有一定的难度,考查了平移、菱形的性质,以及三角形中位线的运用,在解题的过程中应用特殊角的三角函数值求线段的长度是解决本题的关键.,3.(2017江西,6,3分)如图,任意四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,对于四边形EFGH的形状,某班学生在一次数学活动课中,通过动手实践,探索出如下结论,其中的是()A.当E,F,G,H是各边中点,且AC=BD时,四边形EFGH为菱形B.当E,F,G,H是各边中点,且AC⊥BD时,四边形EFGH为矩形C.当E,F,G,H不是各边中点时,四边形EFGH可以为平行四边形D.当E,F,G,H不是各边中点时,四边形EFGH不可能为菱形,答案D连接AC,BD.当E,F,G,H是各边中点时,由三角形中位线定理可得EF∥AC且EF=AC,GH∥AC且GH=AC,所以EF∥GH且EF=GH,所以四边形EFGH为平行四边形.当AC=BD时,因为EF=AC,EH=BD,所以EF=EH,所以四边形EFGH为菱形,选项A正确;当AC⊥BD时,因为EF∥AC,EH∥BD,所以EF⊥EH,所以四边形EFGH为矩形,选项B正确;当E,F,G,H不是各边中点时,若=,=,则GH∥AC,EF∥AC,所以GH∥EF.因为===,所以EF=GH,所以四边形EFGH为平行四边形,选项C正确;例如,当E,F,G,H不是各边中点,且====,BD=2AC时,由上述可知四边形EFGH为平行四边形,所以==,==,即=,所以=,即EF=EH,所以四边形EFGH为菱形,选项D错误.综上,选D.,4.(2015福建龙岩,10,4分)如图,菱形ABCD的周长为16,∠ABC=120,则AC的长为()A.4B.4C.2D.2,答案A设AC与BD相交于点O,∵四边形ABCD是菱形,且其周长为16,∠ABC=120,∴AB=4,AC⊥BD,AC=2AO,∠ABO=60,则在Rt△ABO中,AO=ABsin60=2,∴AC=4,故选A.,5.(2014山东烟台,6,3分)如图,在菱形ABCD中,M,N分别在AB,CD上,且AM=CN,MN与AC交于点O,连接BO.若∠DAC=28,则∠OBC的度数为()A.28B.52C.62D.72,答案C∵∠AOM=∠CON,∠MAO=∠NCO,AM=CN,∴△AOM≌△CON,∴AO=CO,∴点O是菱形ABCD对角线的交点,∴BO⊥AC,∴∠OBC=90-∠BCO=90-∠DAC=90-28=62.,6.(2016陕西,14,3分)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60,AB=2,点P是这个菱形内部或边上的一点.若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形,则P、D(P、D两点不重合)两点间的最短距离为.,答案2-2,解析当等腰△PBC以∠PBC为顶角时,点P在以B为圆心,BC为半径的圆弧上.连接AC、BD相交于点O.若使PD最短,则点P在如图所示的位置处.∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∠ABO=∠ABC=30,∴BO=ABcos30=,∴BD=2BO=2,∵PB=BC=2,∴PD=BD-PB=2-2.当等腰三角形PBC以∠PCB为顶角时,易知点P与点D重合(不合题意,舍去)或点P与点A重合,则PD=2.,当等腰三角形PBC以BC为底边时,如图,作BC的垂直平分线交BC于点E,易知该直线过点A,则点P在线段AE上(不含点E).当P与A重合时,PD最短,此时PD=2.∵2-2AB.在边AD上取点E,使AE=AB,连接CE.过点E作EF⊥CE,与边AB或其延长线交于点F.猜想:如图①,当点F在边AB上时,线段AF与DE的大小关系为.探究:如图②,当点F在边AB的延长线上时,EF与边BC交于点G.判断线段AF与DE的大小关系,并加以证明.应用:如图②,若AB=2,AD=5,利用探究得到的结论,求线段BG的长.,解析猜想:AF=DE.(2分)探究:AF=DE.证明:∵EF⊥CE,∴∠CEF=90.∴∠1+∠2=90.∵四边形ABCD为矩形,∴∠A=∠D=90,AB=CD.∴∠2+∠3=90.∴∠1=∠3.∵AE=AB,∴AE=DC.∴△AEF≌△DCE.∴AF=DE.(6分)应用:∵AF=DE=AD-AE=5-2=3,∴BF=AF-AB=3-2=1.,在矩形ABCD中,AD∥BC,∴△FBG∽△FAE.∴=,即=.∴BG=.(9分),12.(2015福建龙岩,20,10分)如图,E,F分别是矩形ABCD的边AD,AB上的点,若EF=EC,且EF⊥EC.(1)求证:AE=DC;(2)已知DC=,求BE的长.,解析(1)证明:在矩形ABCD中,∠A=∠D=90,∴∠1+∠2=90.∵EF⊥EC,∴∠FEC=90,∴∠2+∠3=90,∴∠1=∠3.(2分)在△AEF和△DCE中,∴△AEF≌△DCE,(4分)∴AE=DC.(6分)(2)由(1)得AE=DC,∴AE=DC=.在矩形ABCD中,AB=DC=,(8分)在Rt△ABE中,AB2+AE2=BE2,即()2+()2=BE2,∴BE=2.(10分),考点三正方形的性质与判定,1.(2017内蒙古呼和浩特,9,3分)如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,E,F为BD所在直线上的两点.若AE=,∠EAF=135,则以下结论正确的是()A.DE=1B.tan∠AFO=C.AF=D.四边形AFCE的面积为,答案C∵四边形ABCD是边长为1的正方形,∴对角线AC、BD互相垂直平分且相等,∴AO=OD=,在Rt△AOE中,OE==,∴DE=OE-OD=,∴A选项错误;易知∠ADO=45,∴∠ADE=135,∴∠ADE=∠EAF,又∠AED=∠FEA,∴△DAE∽△AFE,∴===,∴AF=,∴C选项正确;在Rt△AOF中,OF==,∴tan∠AFO==,∴B选项错误;∵EF=OF+OE=,∴四边形AFCE的面积=EFAC==,∴D选项错误.故选C.,2.(2017甘肃兰州,14,4分)如图,在正方形ABCD和正方形DEFG中,点G在CD上,DE=2,将正方形DEFG绕D点顺时针旋转60,得到正方形DEFG,此时点G在AC上,连接CE,则CE+CG=()A.+B.+1C.+D.+,答案A过点G作GM⊥DC于点M,过点E作EP⊥DC于点P.由旋转的知识可得∠EDE=60,DE=DE=2.∵四边形DEFG、DEFG是正方形,∴∠GDE=∠EDG=90,DG=DE=2.∴∠EDG=30,∠MDG=60.在Rt△DGM中,由DG=2,∠MDG=60,可得GM=,DM=1.∵AC是正方形ABCD的对角线,∴∠DCG=45.又∵GM⊥DC,,∴△CMG是等腰直角三角形,∴MG=MC=.∴CG=,CD=DM+CM=1+.在Rt△DEP中,由DE=2,∠EDG=30,可得EP=1,DP=.∴CP=CD-DP=1.在Rt△CEP中,EP=PC=1,由勾股定理可得CE=.∴CE+CG=+,故选A.,3.(2016内蒙古呼和浩特,9,3分)如图,面积为24的正方形ABCD中,有一个小正方形EFGH,其中E、F、G分别在AB、BC、FD上.若BF=,则小正方形的周长为()A.B.C.D.,答案C∵正方形ABCD的面积为24,∴边长为=2,又∵BF=,∴CF=,∵四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形,∴∠B=∠C=90,∠EFG=90,∴∠DFC+∠CDF=90,∠BFE+∠DFC=90,∴∠BFE=∠CDF,∴△EFB∽△FDC,∴=,∴EB=.在Rt△EBF中,EF==,∴小正方形EFGH的周长为4EF=,故选C.,评析本题考查正方形的性质、三角形相似的判定与性质及勾股定理.属中档题.,4.(2014山西,10,3分)如图,点E在正方形ABCD的对角线AC上,且EC=2AE,直角三角形FEG的两直角边EF,EG分别交BC,DC于点M,N,若正方形ABCD的边长为a,则重叠部分四边形EMCN的面积为()A.a2B.a2C.a2D.a2,5.(2018江西,12,3分)在正方形ABCD中,AB=6,连接AC,BD,P是正方形边上或对角线上一点,若PD=2AP,则AP的长为.,答案2,-或2,解析∵四边形ABCD是正方形,AB=6,∴AC⊥BD,AC=BD=6,OA=OD=3.有三种情况:①点P在AD上时,∵AD=6,PD=2AP,∴AP=AD=2;②点P在AC上时,不妨设AP=x(x>0),则DP=2x,在Rt△DPO中,由勾股定理得DP2=DO2+OP2,即(2x)2=(3)2+(3-x)2,,解得x=-(负值舍去),即AP=-;③点P在AB上时,∵∠PAD=90,PD=2AP,∴∠ADP=30,∴AP=ADtan30=6=2.综上所述,AP的长为2,-或2.,思路分析根据正方形的性质得出AC⊥BD,AC=BD,OB=OA=OC=OD,画出符合题意的三种情况,根据正方形的性质、勾股定理及锐角三角函数求解即可.,解题关键熟记正方形的性质,分析符合题意的情况,并准确画出图形是解题的关键.,易错警示此题没有给出图形,需将点P的位置分类讨论,做题时,往往会因只画出点P在正方形边上而致错.,6.(2015广西南宁,16,3分)如图,在正方形ABCD的外侧,作等边△ADE,则∠BED的度数为.,答案45,解析由题意可知,∠BAE=150,BA=AE,∴∠AEB=15.∴∠BED=45.,7.(2015河南,15,3分)如图,正方形ABCD的边长是16,点E在边AB上,AE=3,点F是边BC上不与点B,C重合的一个动点,把△EBF沿EF折叠,点B落在B‘处.若△CDB’恰为等腰三角形,则DB‘的长为.,答案16或4,解析分三种情况讨论:(1)若DB=DC,则DB=16(易知此时点F在BC上且不与点C、B重合).(2)当CB=CD时,连接BB,∵EB=EB,CB=CB,∴点E、C在BB的垂直平分线上,∴EC垂直平分BB,由折叠可知点F与点C重合,不符合题意,舍去.(3)如图,当CB=DB时,作BG⊥AB于点G,延长GB交CD于点H.∵AB∥CD,∴BH⊥CD.则四边形AGHD为矩形,∴AG=DH.∵CB=DB,∴DH=CD=8,∴AG=DH=8,∴GE=AG-AE=5.又易知EB=13,∴在Rt△BEG中,由勾股定理得BG=12,∴BH=GH-BG=4.在Rt△BDH中,由勾股定理得DB=4(易知此时点F在BC上且不与点C、B重合).综上所述,DB=16或4.,8.(2014重庆,18,4分)如图,正方形ABCD的边长为6,点O是对角线AC、BD的交点,点E在CD上,且DE=2CE,连接BE.过点C作CF⊥BE,垂足是F,连接OF,则OF的长为.,答案,解析如图,在BE上截取BG=CF,连接OG,∵CF⊥BE,∴∠EBC+∠BCF=90.又∵∠ECF+∠BCF=90,∴∠EBC=∠ECF,∵∠OBC=∠OCD=45,∴∠OBG=∠OCF.在△OBG与△OCF中,∴△OBG≌△OCF(SAS),∴OG=OF,∠BOG=∠COF,∴OG⊥OF.∵BC=DC=6,DE=2EC,∴EC=2,∴BE===2,,∵BC2=BFBE,∴62=BF2,解得BF=,∴EF=BE-BF=,∵CF2=BFEF,∴CF=,∴GF=BF-BG=BF-CF=.在等腰直角△OGF中,OF2=GF2,∴OF=.,9.(2018北京,27,7分)如图,在正方形ABCD中,E是边AB上的一动点(不与点A,B重合),连接DE,点A关于直线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H,连接BH.(1)求证:GF=GC;(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系,并证明.,解析(1)证明:如图,连接DF.∵四边形ABCD为正方形,∴DA=DC=AB,∠A=∠C=∠ADC=90.又∵点A关于直线DE的对称点为F,∴△ADE≌△FDE,∴DA=DF=DC,∠DFE=∠A=90,∴∠DFG=90.在Rt△DFG和Rt△DCG中,,∴Rt△DFG≌Rt△DCG(HL),∴GF=GC.(2)线段BH与AE的数量关系:BH=AE.证明:在线段AD上截取AM,使AM=AE,连接ME.,∵AD=AB,∴DM=BE.由(1)得∠1=∠2,∠3=∠4,∵∠ADC=90,∴∠1+∠2+∠3+∠4=90,∴2∠2+2∠3=90,∴∠2+∠3=45,∴∠EDH=45.∵EH⊥DE,∴DE=EH,∵∠DEH=90,∠A=90,∴∠1+∠AED=90,∠5+∠AED=90,∴∠1=∠5.,在△DME和△EBH中,∴△DME≌△EBH(SAS),∴ME=BH.∵∠A=90,AM=AE,∴ME=AE,∴BH=AE.,思路分析本题第(1)问需要通过正方形的性质和轴对称的性质解决;本题第(2)问需要通过构造全等三角形,利用等腰直角三角形的性质解决.,解题关键解决本题第(2)问的关键是要通过截取得到等腰直角三角形,并借助SAS证明三角形全等,从而将BH和AE转化到△AME中证明数量关系.,10.(2017山东青岛,21,8分)已知:如图,在菱形ABCD中,点E,O,F分别为AB,AC,AD的中点,连接CE,CF,OE,OF.(1)求证:△BCE≌△DCF;(2)当AB与BC满足什么关系时,四边形AEOF是正方形?请说明理由.,解析(1)在菱形ABCD中,AB=BC=CD=DA,∠B=∠D,∵点E,F分别为AB,AD的中点,∴BE=AB,DF=AD,在△BCE和△DCF中,∵BC=DC,∠B=∠D,BE=DF,∴△BCE≌△DCF(SAS).(2)AB⊥BC,理由如下:∵点E,O,F分别为AB,AC,AD的中点,∴OE=BC=AD=AF,同理可证,OF=AE=AB,∴OE=OF=AF=AE,∴四边形AEOF是菱形,∵AB⊥BC,OE∥BC,∴AE⊥EO,∴四边形AEOF是正方形.,11.(2017辽宁沈阳,24,12分)四边形ABCD是边长为4的正方形,点E在边AD所在直线上,连接CE,以CE为边,作正方形CEFG(点D,点F在直线CE的同侧),连接BF.(1)如图1,当点E与点A重合时,请直接写出BF的长;(2)如图2,当点E在线段AD上时,AE=1,①求点F到直线AD的距离;②求BF的长;(3)若BF=3,请直接写出此时AE的长.图1图2备用图,解析(1)BF=4.提示:连接FC.∵四边形ABCD、ECGF都是正方形,∴∠ACD=∠ACF=45.∴C、D、F三点共线.∵AF=AC==4,∴CF==8.∴在Rt△BCF中,BF==4.(2)如图.,①过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H,∵四边形CEFG是正方形,∴EC=EF,∠FEC=90.∴∠DEC+∠FEH=90.又∵四边形ABCD是正方形,∴∠ADC=90,∴∠DEC+∠ECD=90.∴∠ECD=∠FEH.又∵∠EDC=∠FHE=90,∴△ECD≌△FEH.∴FH=ED,∵AD=4,AE=1,∴ED=AD-AE=4-1=3.∴FH=3.即点F到直线AD的距离为3.②延长FH交BC的延长线于点K.,∵∠DHK=∠HDC=∠DCK=90,∴四边形CDHK为矩形.∴HK=CD=4,∴FK=FH+HK=3+4=7.∵△ECD≌△FEH,∴EH=CD=AD=4,∴AE=DH=CK=1,∴BK=BC+CK=4+1=5.∴在Rt△BFK中,BF===.(3)AE=2+或AE=1.提示:①当点E在线段AD上时,如(2)中图,设AE=x,则ED=FH=4-x,EH=CD=4,∴FK=8-x,BK=AH=x+4,∵BF2=FK2+BK2,∴90=(8-x)2+(x+4)2,解得x1=5,x2=-1,∵x1=5,x2=-1均不符合题意,∴舍去.②当点E在线段AD的延长线上时,如图.,设AE=x.过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H,延长FH交BC的延长线于点K,易证△EFH≌△CED.∴EH=CD=4,FH=ED=x-4.∴AH=EA-EH=x-4,FK=FH+HK=x-4+4=x.∴BK=AH=x-4.∵BF2=BK2+FK2,∴90=(x-4)2+x2,解得x=2+或x=2-(舍).③当点E在线段DA的延长线上时,如图.,设AE=x.易证△EFH≌△CED.∴EH=CD=4,FH=ED=x+4.∴HD=CK=x,FK=x+8.∴AH=BK=4-x.∵BF2=FK2+BK2,∴90=(x+8)2+(4-x)2.解得x1=-5(舍去),x2=1.综上所述,当AE=2+或1时,BF的长是3.,12.(2014山东济南,27,9分)如图1,有一组平行线l1∥l2∥l3∥l4,正方形ABCD的四个顶点分别在l1,l2,l4,l3上,EG过点D且垂直l1于点E,分别交l2,l4于点F,G,EF=DG=1,DF=2.(1)AE=,正方形ABCD的边长=;(2)如图2,将∠AEG绕点A顺时针旋转得到∠AED,旋转角为α(0<α<90),点D在直线l3上,以AD为边在ED左侧作菱形ABCD,使点B,C分别在直线l2,l4上.①写出∠BAD与α的数量关系并给出证明;②若α=30,求菱形AB‘C’D‘的边长.图1,图2,考点一菱形的性质与判定,三年模拟,A组2016—2018年模拟基础题组,1.(2018石家庄十八县一模,10)如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,已知AC=2,BD=6,则下列说法正确的是()A.AB=2B.AB的长是有理数C.3AB,∴∠3>∠4.故选D.,4.(2016唐山路北一模,19)如图,正方形ABCD的顶点B、C都在直角坐标系的x轴上,若点A的坐标是(-1,4),则点C的坐标是.,答案(3,0),解析∵点A的坐标是(-1,4),∴AB=4,OB=1,∵四边形ABCD为正方形,∴BC=AB=4,∴OC=3,∴点C的坐标为(3,0).,B组2016—2018年模拟提升题组(时间:40分钟分值:55分),一、选择题(每小题2分,共10分),1.(2018石家庄桥西一模,8)如图,在△ABC中,点D是边BC上的点(与B,C两点不重合),过点D作DE∥AC,DF∥AB,分别交AB,AC于点E,F,下列说法正确是()A.四边形AEDF是矩形B.若AE=DF,则四边形AEDF是菱形C.若AD⊥BC,则四边形AEDF是矩形D.若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是菱形,答案D∵DE∥AC,DF∥AB,∴四边形AEDF为平行四边形,由已知条件得不出四边形AEDF是矩形,选项A错误;∵AE,DF不是邻边,∴不能判断四边形AEDF是菱形,选项B错误;AD⊥BC并不能推导出四边形AEDF的内角为直角,选项C错误;若AD平分∠BAC,则∠DAE=∠DAF,∵DE∥AF,∴∠ADE=∠DAF,∴∠DAE=∠ADE,∴AE=DE,∴四边形AEDF是菱形,选项D正确,故选D.,2.(2018保定一模,15)如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=6,点E,F,G,H分别在矩形ABCD各边上,且AE=CG,BF=DH,则四边形EFGH周长的最小值为()A.10B.4C.20D.8,答案C分别作点H关于直线AB,CD的对称点H和点H″,连接EH和H″G,根据轴对称可得EH=EH,HG=H″G.当点H,E,F三点共线时,EH+EF=EH+EF最短,当点H″,G,F三点共线时,FG+GH=FG+GH″最短,此时四边形EFGH的周长有最小值,过点F作FM⊥AD,垂足为M,∴BF=DH=AM,∵AH=AH=6-DH,AM=DH,∴HM=AH+AM=6,∵FM=8,∴FH==10,同理FH″=10,故四边形EFGH周长的最小值为20,故选C.,解题关键由最短路径确定四边形EFGH周长的最小值是解题的关键.,3.(2017唐山路北一模,15)如图为两正方形ABCD、BEFG和矩形DGHI的位置图,其中G、F两点分别在BC、EH上.若AB=5,BG=3,则△GFH的面积为()A.10B.11C.D.,答案D∵四边形ABCD是正方形,四边形BEFG是正方形,AB=5,BG=3,∴AB=BC=5,∠C=90,BG=GF=3,∠CGF=∠GFH=90.∵四边形DGHI是矩形,∴∠DGH=∠DGC+∠CGH=90,∵∠CGF=∠CGH+∠HGF=90,∴∠DGC=∠HGF,∵∠C=∠GFH=90,∴△GCD∽△GFH,∴===,∵S△GCD=(5-3)5=5,∴S△GFH==,故选D.,4.(2016邯郸一模,13)如图所示,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,点P是对角线AC上一点,则PD+PE的最小值为()A.2B.2C.3D.,答案A∵S正方形ABCD=12,∴AB=2,∵△ABE是等边三角形,∴AB=BE=2,∵点B、D关于对角线AC对称,∴PD+PE的最小值即为BE的长,故选A.,5.(2016石家庄十八县摸底,15)如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=3,将△ABC沿对角线AC折叠,点B恰好落在点P处,CP与AD交于点F,连接BP交AC于点G,交AD于点E,下列结论错误的是()A.AC=2APB.△PBC是等边三角形C.S△BGC=3S△AGPD.=,答案D∵tan∠ACB==,∴∠ACB=30,∴AC=2AB=2AP,选项A正确;由翻折得∠ACB=∠ACP,∴∠BCP=60,又∵BC=CP,∴△PBC是等边三角形,选项B正确;易知BP⊥AC,∴∠AGB=∠BGC=90,∠ACB=∠ABG=30,∴△ABG∽△BCG,∴==3,∵S△AGB=S△AGP,∴S△BGC=3S△AGP,选项C正确;∵∠ACP=30,∴tan∠ACP==,选项D错误,故选D.,二、填空题(每小题2分,共10分),6.(2018石家庄质检,18)如图,在边长为6的菱形ABCD中,分别以各顶点为圆心,以边长的一半为半径,在菱形内作四条圆弧,则图中阴影部分的周长是.(结果保留π),答案6π,解析∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD=6,由题意可知四条圆弧的半径都为3且四条圆弧圆心角的和为∠A+∠B+∠C+∠D=360,∴阴影部分的周长==6π.,7.(2018石家庄十八县一模改编)如图,将矩形甲、乙、丙、丁拼成一个大的正方形EFGH,其中中间阴影部分是边长为x的小正方形.若甲、乙、丙、丁不完全相同,它们的面积和为24,四边形ABCD的面积为16,则甲、乙、丙、丁周长的和为.,答案16,解析∵阴影部分小正方形的边长为x,∴S四边形ABCD=(S甲+S乙+S丙+S丁)+x2,即16=24+x2,解得x=2,或x=-2(舍去),∴四边形EFGH的面积为24+4=28,∴EF=2.则甲、乙、丙、丁周长的和为2C正方形EFGH=242=16.,解题关键甲、乙、丙、丁四个矩形周长的和就是正方形EFGH周长的2倍是解题的关键.,8.(2017唐山玉田一模改编,14)如图是一张矩形纸片ABCD,翻折∠B,∠D,使AD、BC边与对角线AC重叠,且顶点D、B恰好落在同一点O上,折痕分别是AF、CE,则等于.,答案2,解析由折叠可知AF平分∠DAC,CE平分∠ACB,EF⊥AC,∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠B=90,∴∠DAC=∠ACB,∴∠FAC=∠ACE,∴AF∥CE,∵DC∥AB,∴四边形AECF为平行四边形,∵EF⊥AC,∴四边形AECF为菱形,∴AE=CE,∴∠CAB=∠ACE=∠BCE,∵∠B=90,∴∠CAB+∠ACB=90,∴∠CAB=∠ACE=∠BCE=30.∴BE=CE=AE,即=2.,9.(2017唐山路北二模,19)如图,在边长为1的正方形ABCD中,动点F,E分别以相同的速度从D,C两点同时出发向C和B运动(任何一个点到达即停止),过点P作PM∥CD交BC于M点,PN∥BC交CD于N点,连接MN,在运动过程中,①AE和BF的位置关系为;②线段MN的最小值为.,答案①AE⊥BF;②,解析由题意可知CE=DF,∴BE=CF,易证△ABE≌△BCF,∴∠BAE=∠CBF,∵∠ABF+∠CBF=90,∴∠BAE+∠ABF=90,∴∠APB=90,即AE⊥BF.无论E、F怎么运动,永远存在∠APB=90,即点P在以AB的中点为圆心,AB长为半径的圆上.连接PC,由题意可知四边形PNCM为矩形,∴MN=PC,则PC的最小值即为线段MN的最小值,所以当AB的中点与PC共线时,线段PC有最小值,此时AB的中点与点C的距离==,PC=-,所以MN的最小值为.,10.(2016秦皇岛卢龙一模,18)如图,在矩形ABCD中,AD=6,AB=4,点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上,且AF=CG=2,BE=DH=1,点P是直线EF、GH之间任意一点,连接PE、PF、PG、PH,则△PEF和△PGH的面积和等于.,答案7,解析连接EG,FH.∵AD=6,AB=4,AF=CG=2,BE=DH=1,∴AE=CH=3,∴△AEF≌△CHG,∴EF=GH.同理可得△BGE≌△DFH,∴EG=FH,∴四边形EGHF是平行四边形,∵△PEF和△PGH的高的和等于点H到直线EF的距离,∴S△PEF+S△PGH=S▱EGHF,∵S▱EGHF=46-232-1(6-2)2=14,∴S△PEF+S△PGH=7.,三、解答题(共35分),11.(2018石家庄十八县一模,24)如图,在正方形ABCD中,AB=4,点