蝴蝶定理与燕尾定理

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. 燕尾定理 燕尾定理： 在三角形中，，，相交于同一点，那么． 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ① ②； ③的对应份数为． 等积变形 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图 ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图； 反之，如果，则可知直线平行于． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在中，分别是上的点如图 ⑴(或在的延长线上，在上)， 则 如图，，，求梯形的面积． 【巩固】(2006年南京智力数学冬令营)如下图，梯形的平行于，对角线，交于，已知与的面积分别为 平方厘米与平方厘米，那么梯形的面积是________平方厘米． 梯形的对角线与交于点，已知梯形上底为2，且三角形的面积等于三角形面积的，求三角形与三角形的面积之比． (第十届华杯赛)如下图，四边形中，对角线和交于点，已知，并且，那么的长是多少？ 梯形的下底是上底的倍，三角形的面积是，问三角形的面积是多少？ 如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形的面积是，三角形的面积是，求四边形的面积． 如图，正方形面积为平方厘米，是边上的中点．求图中阴影部分的面积． 【巩固】在下图的正方形中，是边的中点，与相交于点，三角形的面积为1平方厘米，那么正方形面积是 平方厘米． 如图面积为平方厘米的正方形中，是边上的三等分点，求阴影部分的面积． 如图，在长方形中，厘米，厘米，，求阴影部分的面积． (2008年”奥数网杯”六年级试题)已知是平行四边形，，三角形的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米． 【巩固】右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米． 【巩固】(2008年三帆中学考题)右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米． 如图所示，、将长方形分成4块，的面积是5平方厘米，的面积是10平方厘米．问：四边形的面积是多少平方厘米？ (2007年”迎春杯”高年级初赛)如图，长方形被、分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形的面积为___________平方厘米． (98迎春杯初赛)如图，长方形中，是直角三角形且面积为54，的长是16，的长是9．那么四边形的面积是 ． 燕尾定理应用 【例 1】 2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形的面积是，是的中点，点在上，且，与交于点．则四边形的面积等于 ． 【巩固】如图，已知，，三角形的面积是，求阴影部分面积. 【巩固】如图，三角形的面积是， 在上，点在上，且,，与 交于点．则四边形的面积等于 ． 【巩固】如图，已知，，与相交于点,则被分成的部分面积各占 面积的几分之几？ 【巩固】如图，三角形的面积是，，，与相交于点，请写出这部分的面积各是多少? 【巩固】如图，在上，在上，且,，与交于点．四边形的面积等于，则三角形的面积 ． 三角形中，是直角，已知，，，，那么三角形(阴影部分)的面积为多少？ 【巩固】如图，长方形的面积是平方厘米，，是的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米? 如图所示，在四边形中，，，四边形的面积是，那么平行四边形的面积为________． 是边长为厘米的正方形，、分别是、边的中点，与交于，则四边形的面积是_________平方厘米． 如图所示，在中，，是的中点，那么 ． 【巩固】在中，， ，求？ 【巩固】在中，， ，求？ 如右图，三角形中，，，求． 如右图，中，是的中点，、、是边上的四等分点，与交于，与交于，已知的面积比四边形的面积大平方厘米，则的面积是多少平方厘米？ 【巩固】(2007年四中分班考试题)如图，中，点是边的中点，点、是边的三等分点，若的面积为1，那么四边形的面积是_________． .