7.5第1课时 三角形内角和定理

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7.5三角形内角和定理 第1课时 三角形内角和定理 教学目标 【知识与技能】 掌握“三角形内角和定理”的证明及简单的应用. 【过程与方法】 通过一题多变,建立思考情境,形成独立思考、合作交流的学习模式,培养理性说理能力. 【情感态度价值观】 培养学生创造性,弘扬个性发展,体验解决问题的成就感,使学生感悟逻辑推理的数学价值. 教学重难点 【教学重点】 理解三角形内角和定理及其简单的应用. 【教学难点】 三角形内角和定理的证明方法. 课前准备 【教师准备】教学导入图片和例题图片. 【学生准备】量角器、三角板等作图工具. 教学过程 一、导入新课 导入一: 师:我们知道,三角形内角和等于多少度? 生:(齐声)三角形的内角和是180°. 师:你们还记得这个结论的探索过程吗? 请看试验:将三角形纸片的三个角剪下,随意将它们拼凑在一起. 生:由试验可知三角形的内角和正好为一个平角. 师:但观察与试验得到的结论,并不一定正确、可靠,这样就需要通过数学证明.那么怎样证明呢?这节课我们一起探究一下三角形内角和定理的证明.(教师板书课题) [设计意图]　对比过去撕纸等探索过程,体会思维试验和符号化的理性作用.将自己的操作转化为符号语言对于学生来说还存在一定困难,因此需要一个台阶,使学生逐步过渡到严格的证明. 导入二: 课件出示《三角形家族的“官司”风波》. 故事导入:很久很久以前的一天,数学国际法庭来了三位告状者,它们是锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.“它们干什么来了?”“是来打官司的.”这不它们在法庭外刚一见面又争吵起来: 锐角三角形说:“我们锐角三角形的内角和度数最大!” 直角三角形说:“不对!是我们直角三角形的内角和最大!” 钝角三角形说:“你们别吵了!还是我们钝角三角形的内角和最大!” 问题1 【课件1】　如果你是法庭庭长,你认为该怎样对它们宣判?为什么? 问题2 【课件2】　你们还记得小学是怎样探索三角形内角和的吗?谁能给大家说一说或者展示一下吗? 问题3 【课件3】　小学的证明方法固然好,但是这些方法可靠吗?现在有更加科学严密、更有说服力的证明方法吗? [处理方式]　学生观察并读出对话及问题.问题1学生能够顺利解决;问题2学生一次回答出全部答案会有困难,根据学生已有的知识经验,学生间互相补充能够解决,学生边说边在讲台上演示测量法、折拼法、剪拼法(撕拼法).学生回答时语言可能不准确,教师及时引导纠正.教师根据学生回答利用课件展示三种方法.对于问题3,学生通过思考、联想前面所学,应该能够解决.学生只要能够回答出用推理的方法证明三角形内角和即可,不要求作出具体回答. 1.测量法. 2.折拼法: 3.剪拼法(撕拼法): [设计意图]　通过学生动手测量、折纸与剪纸等操作让学生获得直接经验,为下面探究推理证明提供直接经验. 导入三: 出示下面的投影片 工人师傅将凹型零件(图(1))加工成斜面EC与槽底CD成55°角的燕尾槽(图(2))的程序是:将垂直的铣刀倾斜偏转35°角(图(3)),就能得到55°的燕尾槽底角.为什么铣刀偏转35°角就能得到55°的燕尾槽底角呢? [设计意图]　通过问题的解答,再现所学知识,为新知识的接纳做心理和知识上的准备,引出新课内容. 2、 新知构建 (1).探索三角形内角和定理 [过渡语]　我们已经知道三角形内角和等于180°,这个定理是怎样证明的呢? 思路一 [活动内容1]　证明思路的探索分析. (多媒体出示)剪拼法图示(动态): 问题1 【课件1】　如图所示,当∠A移到∠1的位置时,残边CD和边AB有何位置关系?为什么? 问题2 【课件2】　在剪拼法中,通过移动角拼成了一个平角;如果不实际移动角,那么你还有其他方法可以达到同样的效果吗? [处理方式]　教师先出示图,学生读题回答.对于问题1可让学生到黑板前指图回答,注意语言表达及学生指图的准确性,发现不当处,及时强调.问题2可以让学生合作完成.如果有困惑,教师可作引导.利用课件图形,结合问题1引导学生进行逆向思考:“如果先移动角,那么可以得到平行线;反过来,如果我们先画出平行线,会得到什么呢?”此时教师在空白ΔABC上规范作出射线CD,使CD∥AB,学生自然推出∠1=∠A.教师追问:“你还可以得到哪些角相等?说说理由.”学生得出∠2=∠B后,一个平角自然就摆放在学生眼前了,达到了移角的效果.此时教师顺势引出辅助线:为了证明的需要,在原来的图形上添作的线叫做辅助线.(教师板书:辅助线)在平面几何里,辅助线通常画成虚线. [设计意图]　利用剪撕纸得来的直接经验和逆向思维的方式,引导学生初步感悟辅助线的来源和作用,提高学生分析问题的能力. [活动内容2]　说一说,写一写. 问题1 【课件1】　你能用简洁的语言完整地说一说分析思路吗? 问题2 【课件2】　你能用数学推理的方法证明它吗? 问题3 【课件3】　证明的关键是什么?说说你的想法. [处理方式]　问题1小组交流后学生代表发言,展示交流成果.学生发言时,教师注意提示学生文字命题的证明步骤以及数学语言表达的规范性.对于问题2,教师引导学生再次明确辅助线的作法及其相关要求:(1)这里的CD称为辅助线;(2)辅助线通常画成虚线.师生合作,教师规范完成辅助线的添加后,余下的证明过程由一名学生在黑板上独立完成,其余学生在练习本上写出完整的证明过程.教师巡视,帮助、鼓励困难学生解决问题.学生板演完成后师生共同评价,评价时重点强调辅助线的作法及证明过程的规范性.对于问题3,学生回答时,可能语言不准确,教师及时引导,让学生自主感悟体会到证明的关键是添加辅助线,把三角形内角和转化成一个平角. 【多媒体展示】　已知:如图所示,ΔABC. 求证:∠A+∠B+∠ACB=180°. 证明:如图所示,延长BC至D,过点C作射线CE∥AB,则∠1=∠A(两直线平行,内错角相等), ∠2=∠B(两直线平行,同位角相等). ∵∠1+∠2+∠ACB=180°(平角的定义), ∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换). 师:命题“三角形的内角和等于180°”经过了我们严密地推理证明,它是真命题.此时我们可以理直气壮地称之为三角形内角和定理. 【课件展示】　三角形内角和定理:三角形的内角和等于180°. [设计意图]　用平行线的性质定理来推导出三角形内角和定理,让学生再次体会推理证明的严密性和数学的严谨.同时让学生初步理解添加辅助线的原因及添加辅助线的注意事项,培养学生的分析能力和逻辑推理能力. 思路二 [过渡语]　根据上面给出的基本事实和三角形内角和定理,你能用自己的语言说一说这一结论的证明思路吗?你能用较为简洁的语言写出这一证明过程吗?与同伴交流. 接下来同学们来证明:三角形的内角和等于180°这个真命题.这是一个文字命题,证明时需要先干什么呢? 生:需要先画出图形,根据命题的条件和结论,结合图形写出已知、求证. 师:对,下面大家来证明,哪位同学上黑板给大家板演呢? 生1:已知:如图所示,ΔABC. 求证:∠A+∠B+∠ACB=180°. 证明:作BC的延长线CD,过点C作射线CE∥AB, 则∠ACE=∠A(两直线平行,内错角相等),∠ECD=∠B(两直线平行,同位角相等). ∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°(平角的定义), ∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换). 生2:老师,我的证明过程是这样的: 证明:作BC的延长线CD,作∠ECD=∠B,则EC∥AB(同位角相等,两直线平行), ∴∠A=∠ACE(两直线平行,内错角相等). ∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°(1平角=180°), ∴∠ACB+∠A+∠B=180°(等量代换). 师:同学们写的证明过程都很好,在证明过程中,我们仅仅添画了一条射线CE,使处于原三角形中不同位置的三个角,巧妙地拼“凑”到了一起.为了证明的需要,在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里,辅助线通常画成虚线. 我们通过推理的过程,得证了命题:三角形的内角和等于180°是真命题,这时称它为定理,即三角形内角和定理. (2)、想一想,做一做 【问题】你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗? [处理方式]　学生先尝试独立完成,教师巡视引导.绝大多数学生会想到图形(1)的方法.对于图形(2),可能只有少数学生想到或者全体学生都想不到.当只有少数学生想到时,教师指名学生说说方法和理由.如果全体学生都想不到,教师可以追问:“我们移动其中一块,能否得到平行线呢?”并引导学生摆出图形(2).结合图形(2),学生会恍然大悟:应该如何添加辅助线,进而解决图形(2)的证明过程.教师巡视时,有意识寻找证明过程正确规范的作业,全班展示、评价. 【参考答案】　 证法1:过点A作DE∥BC. ∵DE∥BC, ∴∠1=∠B,∠2=∠C(两直线平行,内错角相等). ∵∠1+∠2+∠3=180°(平角的定义), ∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换). 证法2:过点A作AD∥BC. ∵AD∥BC, ∴∠1=∠B(两直线平行,内错角相等),∠DAC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补). 又∵∠DAC=∠1+∠2, ∴∠1+∠2+∠C=180°(等量代换), ∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换). [设计意图]　通过学生独立运用较简单的方法证明三角形内角和定理,感受体会“辅助线”的作法和作用,提高一题多解的能力,体会思维的多样性和基本的转化思想. (3)、议一议 【问题】综上所述,添加辅助线的目的是什么?你是怎样理解辅助线的? [处理方式]教师先快速地展示三种辅助线的添加图形,学生结合图片先在小组内讨论交流,形成小组成果,然后全班交流、随时互评.学生讨论时,教师参与其中,倾听学生的讨论,引导学生从辅助线的作用、作法、要求去交流.学生通过观察图形得出:添加辅助线的目的是构造180°的平角或同旁内角. 【课件展示】　添加辅助线的目的: 三角形内角和平角、同旁内角 【教师总结】(1)辅助线通常画成虚线;(2)辅助线要正确、规范地写出作法,并标明字母,便于书写证明过程;(3)辅助线能把题目中可利用的隐藏条件显露出来,化难为易. 为便于学生掌握,总结四句话:小小辅助线,作时画虚线,写清其来源,隐藏条件见. [设计意图]添加辅助线是教学中的一个难点,学生通过思考、讨论、交流对辅助线的认识,展示思维过程,然后在老师的引导下达成共识,进一步加深了对辅助线的理解,易于突破教学难点,提高学生解决问题的能力. (4)、探究活动 刚才同学们对辅助线掌握得很好.接下来,我将平角或同旁内角的位置移动或者改造一下,使它再有一些难度,看谁还能攻克它? [处理方式]　教师先出示图(1),思考:怎样添加辅助线?学生思考讨论,由于图形较直观,学生能够解决辅助线的添加问题;学生完成后教师出示图(2);为便于学生叙述证明过程,教师再出示图(3).学生根据图(3)口述证明过程.学生在口述证明过程时,教师注意数学语言表达的规范性和推理证明的逻辑性. (1) (2) [设计意图]　用多种方法证明三角形内角和定理,培养一题多解的能力,同时提高学生添加辅助线的技能、技巧,提高解决问题的能力. (5)、典例解析,应用新知 [活动内容1]　通过刚才的学习,同学们不仅知道了辅助线,而且利用它用多种方法证明了三角形内角和定理,你们觉得学了这些知识,能解决哪些问题呢? 【课件展示】　 如图所示,在ΔABC中,∠B=38°,∠C=62°,AD是ΔABC的角平分线,求∠ADB的度数. [处理方式]　学生先结合图形读题,指图说出已知条件和要解决的问题,然后说说分析思路及求解过程,最后学生板演,师生共同评价.如果学生有困难,可以先在小组内讨论交流. 在学生板演时,教师巡视指导,帮助、鼓励学困生完成任务.集体评价时,教师强调证明过程的规范性和严谨性. 解:在ΔABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形内角和定理). ∵∠B=38°,∠C=62°(已知), ∴∠BAC=180°-38°-62°=80°(等式的性质). ∵AD平分∠BAC(已知), ∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12×80°=40°(角平分线的定义). 在ΔADB中,∠B+∠BAD+∠ADB=180°(三角形内角和定理). ∵∠B=38°(已知),∠BAD=40°(已证), ∴∠ADB=180°-38°-40°=102°(等式的性质). [设计意图]　学生通过三角形内角和定理的简单应用,及时加深了对所学知识的理解,规范学生的证明过程,培养了学生良好的学习数学的习惯. 三、课堂总结 四、课堂练习 1.三角形三个内角的和等于　　　　.  答案:180° 2.如下图所示的是三角形内角和定理的几种证明方法,可分别记作　　　　法,　　　　法,　　　　法.  答案:拼凑　作平行线　折叠 3. 如图所示,AD是∠BAC的平分线,若∠ADC=110°,且∠DAC=∠C,求ΔABC的三个内角的度数. 解:∵∠ADC=110°,∠DAC=∠C,∴∠C=180°-110°2=35°,∴∠BAC=2∠DAC=2∠C=70°,∴∠B=180°-70°-35°=75°. 4.在ΔABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5,求∠A,∠B,∠C的度数. 解:设∠A,∠B,∠C的度数分别为x,3x,5x, 则x+3x+5x=180°, 解得x=20°, ∴∠A=20°,∠B=60°,∠C=100°. 五、板书设计 第1课时 1.探索三角形内角和定理 2.想一想,做一做 3.议一议 4.探索活动 5.典例解析,应用新知 六、布置作业 【必做题】教材随堂练习第2,3题. 【选做题】教材习题7.6第5题. - 9 -