圆锥曲线培优讲义.doc

《圆锥曲线培优讲义.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆锥曲线培优讲义.doc（12页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

一 原点三角形面积公式 1. 已知椭圆的离心率为，且过点．若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点，试求△AOB的面积． 2. 己知椭圆 x2+2y2=1，过原点的两条直线 l1 和 l2 分别与椭圆交于点 A，B 和 C，D．记 △AOC 的面积为 S． （1）设 Ax1,y1，Cx2,y2．用 A，C 的坐标表示点 C 到直线 l1 的距离，并证明 S=12x1y2-x2y1； （2）设 l1:y=kx，C33,33，S=13，求 k 的值． （3）设 l1 与 l2 的斜率之积为 m，求 m 的值，使得无论 l1 与 l2 如何变动，面积 S 保持不变． 3. 已知椭圆的左、右两焦点分别为,椭圆上有一点与两焦点的连线构成的中，满足 （1）求椭圆的方程； （2）设点是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点与点关于原点对称，设直线的斜率分别为，且，求的值. 4. 在平面直角坐标系内，动点与两定点，连线的斜率之积为 (1)求动点的轨迹的方程； (2)设点是轨迹上相异的两点． (I)过点A，B分别作抛物线的切线、，与两条切线相交于点 ，证明：； (Ⅱ)若直线OA与直线OB的斜率之积为，证明：为定值，并求出这个定值· 5. 已知 A 、 B 分别是 x 轴和 y 轴上的两个动点，满足 AB=2，点 P 在线段 AB 上，且 AP=tPB（t 是不为 0 的常数），设点 P 的轨迹方程为 C． （1）求点 P 的轨迹方程 C； （2）若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆，试求实数 t 的取值范围； （3）若 t=2，点 M，N 是曲线 C 上关于原点对称的两个动点，点 Q 的坐标为 32,3，求 △QMN 的面积 S 的最大值． 6. 已知椭圆 C1 的焦点在 x 轴上，中心在坐标原点；抛物线 C2 的焦点在 y 轴上，顶点在坐标原点．在 C1，C2 上各取两个点，将其坐标记录于表格中： x3-242y920822 （1）求 C1，C2 的标准方程； （2）已知定点 C0,18，P 为抛物线 C2 上一动点，过点 P 作抛物线 C2 的切线交椭圆 C1 于 A，B 两点，求 △ABC 面积的最大值． 7. 已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F，过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点． （1）若 AF=2FB，求直线 AB 的斜率； （2）设点 M 在线段 AB 上运动，原点 O 关于点 M 的对称点为 C，求四边形 OACB 面积的最小值． 8. 设椭圆 C1：x2a2+y2b2=1 a>b>0 的左、右焦点分别是 F1 、 F2，下顶点为 A，线段 OA 的中点为 B（O 为坐标原点），如图．若抛物线 C2：y=x2-1 与 y 轴的交点为 B，且经过 F1，F2 点． （1）求椭圆 C1 的方程； （2）设 M0,-45，N 为抛物线 C2 上的一动点，过点 N 作抛物线 C2 的切线交椭圆 C1 于 P 、 Q 两点，求 △MPQ 面积的最大值． 二 定点定值问题 9. 动点在圆：上运动，定点，线段的垂直平分线与直线的交点为． （Ⅰ）求的轨迹的方程； （Ⅱ）过点的直线，分别交轨迹于，两点和，两点，且．证明：过和中点的直线过定点． 10. 在直角坐标系中，抛物线的顶点是双曲线：的中心，抛物线的焦点与双曲线的焦点相同． （Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）若点为抛物线上的定点，，为抛物线上两个动点．且⊥，问直线是否经过定点？若是，求出该定点，若不是，说明理由． 11. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 63，直线 l 与 x 轴交于点 E，与椭圆 C 交于 A,B 两点．当直线 l 垂直于 x 轴且点 E 为椭圆 C 的右焦点时，弦 AB 的长为 263． （1）求椭圆 C 的方程； （2）若点 E 的坐标为 32,0，点 A 在第一象限且横坐标为 3，连接点 A 与原点 O 的直线交椭圆 C 于另一点 P，求 △PAB 的面积； （3）是否存在点 E，使得 1EA2+1EB2 为定值?若存在，请指出点 E 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由． 12. 已知椭圆的左焦点为F，不垂直于x轴且不过F点的直线l与椭圆C相交于A，B两点． （1）如果直线FA，FB的斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点？若过一定点，则求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． （2）如果FA⊥FB，原点到直线l的距离为d，求d的取值范围． 13. 如图，已知直线关于直线对称的直线为，直线与椭圆分别交于点、和、，记直线的斜率为. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）当变化时，试问直线是否恒过定点?若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由. 14. 如图，椭圆 E:x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率是 22，过点 P0,1 的动直线 l 与椭圆相交于 A，B 两点．当直线 l 平行于 x 轴时，直线 l 被椭圆 E 截得的线段长为 22． （1）求椭圆 E 的方程； （2）在平面直角坐标系 xOy 中，是否存在与点 P 不同的定点 Q，使得 QAQB=PAPB 恒成立? 若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 15. 已知动圆过定点 p2,0，且与直线 x=-p2 相切，其中 p>0． （1）求动圆圆心 C 的轨迹的方程； （2）设 A 、 B 是轨迹 C 上异于原点 O 的两个不同点，直线 OA 和 OB 的倾斜角分别为 α 和 β，当 α，β 变化且 α+β 为定值 θ0<θ<π 时，证明直线 AB 恒过定点，并求出该定点的坐标． 16. 已知抛物线 E:y2=2pxp>0 的准线与 x 轴交于点 K，过点 K 做圆 C:x-52+y2=9 的两条切线，切点为 M，N，|MN|=33． （1）求抛物线 E 的方程； （2）设 A，B 是抛物线 E 上分别位于 x 轴两侧的两个动点，且 OA⋅OB=94 （ 其中 O 为坐标原点）． ①求证：直线 AB 必过定点，并求出该定点 Q 的坐标； ②过点 Q 作 AB 的垂线与抛物线交于 G，D 两点，求四边形 AGBD 面积的最小值． 17. 18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M(x0，y0)是椭圆C：上一点，从原点O向圆M:作两条切线分别与椭圆C交于点P、Q，直线OP、OQ的斜率分别记为k1，k2 (1)求证：k1k2为定值; (2)求四边形OPMQ面积的最大值. 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知是椭圆上的一点，从原点向圆作两条切线，分别交椭圆于，. （1）若点在第一象限，且直线，互相垂直，求圆的方程； （2）若直线，的斜率存在，并记为，求的值； （3）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由. 三 中点弦问题 20. 椭圆的长轴长为，为椭圆上异于顶点的一个动点，为坐标原点，为椭圆的右顶点，点为线段的中点，且直线与直线的斜率之积为. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的左焦点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，点的横坐标的取值范围是，求线段的长的取值范围. 21. 在平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，为的中点，且直线的斜率为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设另一直线与椭圆交于两点，原点到直线的距离为，求面积的最大值． 22. 如图，椭圆左右顶点为A、B，左右焦点为，直线交椭圆E于点C、D两点，与线段椭圆短轴分别交于M、N两点（M、N不重合），且. （1）求椭圆的方程； （2）设直线的斜率分别为，求的取值范围. 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点. （Ⅰ）求椭圆的方程; （Ⅱ）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由; （Ⅲ）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值. 24. 已知椭圆 M:x2a2+y2b2=1a>b>0 过点 A0,-1，且离心率 e=32． （1）求椭圆 M 的方程； （2）若椭圆 M 上存在点 B,C 关于直线 y=kx-1 对称，求 k 的所有取值构成的集合 S，并证明对于 ∀k∈S，BC 的中点恒在一条定直线上． 25. 如图，在直角坐标系 xOy 中，点 P1,12 到抛物线 C:y2=2pxp>0 的准线的距离为 54．点 Mt,1 是 C 上的定点，A，B 是 C 上的两动点，且线段 AB 被直线 OM 平分． （1）求 p，t 的值； （2）求 △ABP 面积的最大值． 26. 已知抛物线 C:y2=4x，过其焦点 F 作两条相互垂直且不平行于 x 轴的直线，分别交抛物线 C 于点 P1，P2 和点 P3，P4，线段 P1P2，P3P4 的中点分别记为 M1，M2． （1）求 △FM1M2 面积的最小值； （2）求线段 M1M2 的中点 P 满足的方程． 27. 平面直角坐标系中，椭圆：（）的离心率是，抛物线：的焦点是的一个顶点． （1）求椭圆的方程； （2）设是上动点，且位于第一象限，在点处的切线与交于不同的两点，，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点． （i）求证：点在定直线上； （ii）直线与轴交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标． 四 定比分点 28. 已知点，点是椭圆：上任意一点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹记为曲线. （Ⅰ）求曲线的方程； （Ⅱ）过的直线交曲线于不同的，两点,交轴于点，已知，，求的值. 29. 在直角坐标系xOy上取两个定点 再取两个动点，，且． （Ⅰ）求直线与交点M的轨迹C的方程； （Ⅱ）过的直线与轨迹C交于P,Q，过P作轴且与轨迹C交于另一点N，F为轨迹C的右焦点，若，求证：. 30. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆C：的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点（在轴上方），连结并延长交椭圆于另一点，设． （1）若点的坐标为，且的周长为，求椭圆的方程； （2）若垂直于轴，且椭圆的离心率，求实数的取值范围． 五 结论 31. 已知椭圆 20.已知椭圆经过点且离心率等于，点分别为椭圆的左右顶点，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）是椭圆上非顶点的两点，满足，求证：三角形的面积是定值. 32. 过点 1,32，离心率为 32．过椭圆右顶点 A 的两条斜率乘积为 -14 的直线分别交椭圆 C 于 M，N 两点． （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）直线 MN 是否过定点 D?若过定点 D，求出点 D 的坐标，若不过点 D，请说明理由． 33. 已知椭圆的两个焦点为，，是椭圆上一点，若，． （1）求椭圆的方程； （2）点是椭圆上任意一点，分别是椭圆的左、右顶点，直线与直线分别交于两点，试证：以为直径的圆交轴于定点，并求该定点的坐标. 34. 已知抛物线的焦点为，直线与轴的交点为P，与抛物线的交点为Q,且 （1）求抛物线的方程； （2）如图所示，过F的直线与抛物线相交于A,D两点，与圆相交于B,C两点（A，B两点相邻），过A,D两点分别作我校的切线，两条切线相交于点M,求与的面积之积的最小值. 35. 已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0，其右准线 l 与 x 轴交于点 A，椭圆的上顶点为 B，过它的右焦点 F 且垂直于长轴的直线交椭圆于点 P，直线 AB 恰经过线段 FP 的中点 D． （1）求椭圆的离心率； （2）设椭圆的左、右顶点分别是 A1 、 A2，且 BA1⋅BA2=-3，求椭圆的方程； （3）在（2）的条件下，设 Q 是椭圆右准线 l 上异于 A 的任意一点，直线 QA1，QA2 与椭圆的另一个交点分别为 M 、 N，求证：直线 MN 与 x 轴交于定点． 36. 已知点，，直线与直线相交于点，直线与直线的斜率分别记为与，且． （Ⅰ）求点的轨迹的方程； （Ⅱ）过定点作直线与曲线交于两点，的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由． 37. 已知一个动圆与两个定圆和均相切,其圆心的轨迹为曲线C. (1) 求曲线C的方程； (2) 过点F（)做两条可相垂直的直线，设与曲线C交于A,B两点, 与曲线 C交于C,D两点，线段AC，BD分别与直线交于M，M,N两点。求证|MF|:|NF|为定值. 六 运算转化 38. 设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A,过A与垂直的直线交轴负半轴于Q点，且恰好为线段的中点. （1）若过三点的圆恰好与直线相切，求椭圆C的方程； （2）在（1）的条件下，B是椭圆C的左顶点，过点作与轴不重合的直线交椭圆C于E,F两点,直线BE,BF分别交直线于M,N两点，若直线MR,NR的斜率分别为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 39. 已知椭圆过点且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于、两点，以为对角线作正方形，记直线与轴的交点为，问、两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由. 12