九年级数学--二次函数导学案(全部).doc

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　　　　　　　　　　课 题： 2.1二次函数所描述的关系 【温故】 1. 函数的定义是怎样下的？ 2.大家还记得我们学过哪些函数吗？我们学过那些关于函数的生活实际问题呢？ 【互助】 1. 某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子． (1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ (2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？ (3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式． （4）大家根据刚才的分析，判断一下上式中的y是否是x的函数？若是函数，与原来学过的函数相同吗？ Y/个 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X/棵 如果你是果园的负责人，你最关心的问题是什么?（在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？）你能根据表格中的数据作出猜测吗？ 2.设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)．在这个关系式中，y是x的函数吗？ 一般地，形如 (a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数(quadratic function)． 例题解析： 例1．下列函数中，哪些是二次函数？ （1） (2) (3) (4) (5) 例2、用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m²)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？ 　 【达标】 1.下列函数中,哪些是二次函数？ (1）v=10πr² (3) s=3+t² (5) y=(x+3)²-x² (6) y=2(x-1)²; 2.如果函数y= +kx+1是二次函数,求k的值. 4.如果函数y=(k-3) +kx+1是二次函数,求k的值. 5.圆的半径是4cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加ycm². （1）写出y与x之间的函数关系表达式； （2）当圆的半径分别增加1cm, 2cm时,圆的面积增加多少？ 课 题： 2.2结识抛物线 【温故】 1. 二次函数的概念. 2.画函数的图象的主要步骤， 3.根据函数y=x2列表 x y 【互助】 1. 用描点法画二次函数y=x2的图象，并与同桌交流。 2. 观察图象，探索二次函数y=x2的性质，提出问题： (1) 你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流. (2) 图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么? 请你找出几对对称点,并与同伴交流. (3)图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么? (4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？ (5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？ 你是如何知道的？ 3. 二次函数y=－x2的图象是什么形状？ 4. 它与二次函数y =x2的图象有什么关系？与同伴进行交流. 5.说说二次函数y =－x2的图象有哪些性质？与同伴交流. 小结：二次函数y=± x2的性质 抛物线 y =x2 y=－x2 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 　【达标】 1.已知函数 是关于x 的二次函数。求： （1）满足条件的m 的值； （2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？ （3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？o y x A 2.已知点A(1，a)在抛物线y=x2 上。 （1）求A的坐标； （2）在x 轴上是否存在点P，使得△OAP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 课 题： 2.3刹车距离与二次函数 【温故】 1.二次函数y＝x2与y=-x2的图象一样吗？它们有什么相同点？不同点？ 2.二次函数是否只有y＝x2与y＝-x2这两种呢?有没有其他形式的二次函数？ 【互助】 1. 给出s＝v2的图象，在同一直角坐标系内作出函数s=v2的图象； 2. 比较s=v2和s＝v2的图象. 相同点： 不同点： 做一做 在同一坐标系中作二次函数y=x2和y=2x2的图象． (1)完成下表： x … －3 －2 －1 0 1 2 33 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … y=2x2 … 18 8 2 0 2 8 18 … (2)分别作出二次函数y=x2和y=2x2的图象． (3)二次函数y＝2x2的图象是什么形状? 它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同? 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? 议一议 1.在同一直角坐标系内作出函数y＝2x2与y＝2x2+1的图象，并比较它们的性质． 2.在同一直角坐标系内作出函数y＝3x2与y＝3x2-1的图象，并比较它们的性质． 【达标】 1．在同一坐标系中作出y＝x2，y＝2x2，y＝3x2的图象，根据图象填空： 抛物线y＝x2的顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口向 ； 抛物线y＝2x2的顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口向 ； 抛物线y＝3x2的顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口向 ； 抛物线y＝x2，y＝2x2，y＝3x2的开口大小由二次项系数决定，二次项系数的绝对值越大，抛物线的开口越 ． 2．在同一坐标系中作出y＝－x2，y＝－2x2，y＝－3x2的图象，根据图象填空： 抛物线y＝－x2的顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口向 ； 抛物线y＝－2x2的顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口向 ； 抛物线y＝－3x2的顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口向 ； 可见，抛物线y＝－x2，y＝－2x2，y＝－3x2的开口大小由二次项系数决定，二次项系数的绝对值越大，抛物线的开口越 ． 3．在同一坐标系中作出y＝－x2，y＝－x2＋2，y＝－x2－3的图象，根据图象填空： 抛物线y＝－x2的顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口向 ； 抛物线y＝－x2＋2的顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口向 ； 抛物线y＝－x2－3的顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口向 ； 抛物线y＝－x2＋2，y＝－x2－3与y＝－x2的形状、开口大小相同，只是抛物线的顶点位置发生了变化，把抛物线y＝－x2沿y轴向 平移 个单位就可得到抛物线y＝－x2＋2；把抛物线y＝－x2沿y轴向 平移 个单位就可得到抛物线y＝－x2－3． 4．把抛物线y＝x2沿y轴向上平移3个单位能得到抛物线y＝3x2吗？把抛物线y＝－x2沿y轴向下平移3个单位能得到抛物线y＝－3x2吗？ 课 题：2.4二次函数y=ax2+bx+c的图象（一） 课 题： 2.4二次函数y=ax2+bx+c的图象（二） 课 题： 2.5用三种方式表示二次函数 【温故】 问题一：已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2. y随x的而变化的规律是什么？你能分别用函数表达式，表格和图象表示出来吗？ 【互助】 议一议： (1）在上述问题中,自变量x的取值范围是什么？ （2）当x取何值时,长方形的面积最大？它的最大面积是多少? （3）请你描述一下y随x的变化而变化的情况. 问题二：两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变化而变化的? （1）你能分别用函数表达式,表格和图象表示这种变化吗? （2）自变量x的取值范围是什么? （3）图象的对称轴和顶点坐标分别是什么? （4）如何描述y随x的变化而变化的情况? （5）你是分别通过哪种表示方式回答上面三个问题的？ 【达标】 1.两个数的和为6，这两个数的积最大可以达到多少？利用图象描述乘积与因数之间的关系 2.把一根长120cm的铁丝分为两部分，每一部分均弯曲成一个正方形，它们的面积是多少？它们的面积和最小是多少 3.如图，在三角形ABC中,AB=AC=10cm，BC=12cm，矩形DEFG的顶点位于△ABC的边上。设EF=x，矩形DEFG的面积为y，写出y关于x的二次函数的表达式，列成表格，并画出函数图像 ，根据三种表达式回答问题 （1）自变量x的取值范围 （2）图像的对称轴和顶点坐标是什么 （3）如何描述y随x的变化而变化的情况 课 题： 2.6何时获得最大利润 【温故】 1．复习二次函数y＝ax2+bx+c的相关性质：顶点坐标、对称轴、最值等。 2．复习这节课所要用的其他相关知识：利润=售价－进价，总利润=每件利润×销售额 【互助】 1.某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2.5元。根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件。 请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多? 设销售单价为x(x≤13.5)元，那么 (1)销售量可以表示为 ； (2)销售额可以表示为 ； (3)所获利润可以表示为 ； (4)当销售单价是 元时，可以获得最大利润，最大利润是 ． 2.本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题，我们得到了表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的函数关系是：二次函数表达式y＝(600-5x)(100+x)＝-5x2+100x+60000。 当时曾经利用列表的方法得到一个猜测，现在可以验证当初的猜测是否正确？你是怎么做的？与同伴进行交流。 (1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系。 (2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？ 练一练： 某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件。根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件。如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？ 　【达标】 1．某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售，在对历年市场行情和生产情况进行了调查的基础上，对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测，提供了两方面的信息，如图所示（甲、乙两图中的实心黑点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本，生产成本6月份最低；甲图的图象是线段，乙图的图象是抛物线段）． （1）在3月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少元？ （2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？说明理由． 2．某化工材料经销公司购进了一批化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元，市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克，在这次销售过程中，每天还要支出其它费用500元（不足1天时，按1天计算）．设销售单价为x元，日获利为y元． （1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围． （2）将（1）中所求出的二次函数配方成y＝a(x＋h)2＋k的形式，写出顶点坐标；在坐 标系中画出草图；观察图象，指出单价为多少元时，日均获利最多，是多少？ （3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种总获利较多，多多少？ 课 题： 2.7最大面积是多少 【温故】 1．问题一：如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上． (1)设长方形的一边AB＝x m，那么AD边的长度如何表示？ (2)设长方形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大？ 最大值是多少？ 【互助】 问题二：将问题一变式：“设AD边的长为x m，则问题会怎样呢？” 问题三：对问题一再变式 如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上. (1).设矩形的一边BC=xm,那么AB边的长度如何表示？ (2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少? 问题四： 某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m．当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)？此时，窗户的面积是多少？ 　【达标】 1. 用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少? M A B C D P Q R 2. 正方形ABCD边长5cm,等腰三角形PQR,PQ=PR=5cm,QR=8cm,点B、C、Q、R在同一直线l上，当C、Q两点重合时，等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线l向左方向开始匀速运动，ts后正方形与等腰三角形重合部分面积为Scm2，解答下列问题： (1)当t=3s时，求S的值； (2)当t=3s时，求S的值； (3)当5s≤t≤8s时，求S与t的函数关系式，并求S的最大值。 课 题： 2.8二次函数与一元二次方程（一） 【温故】 1. y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)，y叫做x的__________。它的图象是一条抛物线。它的对称轴是直线x=_____, 顶点坐标是（ ， ）。 2. 二次函数的解析式中的一般式是: y = ax2 + bx +c (a≠0) 顶点式：y = a(x-h)2 + k ※交点式：y = a(x-x1)(x-x2) 3. 抛物线y = x2+2x- 4的对称轴是_______, 开口方向是______, 顶点坐标是___________. 4. 抛物线y=2(x-2)(x-3) 与x轴的交点为_______________,与y轴的交点为___________. 5. 已知抛物线与轴交于A(-1, 0) 和(1, 0) ，并经过点M(0,1), 则此抛物线的解析式为_______________ 。 【互助】 1．我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示, 其中h0(m) 是抛出时的高度, v0(m/s)是抛出时的速度. 一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t (s)的关系如图所示,那么 (1) 图象上每个点的横、纵坐标含义是什么？ (2) h和t的关系式是什么？ （3）小球经过多少秒后落地? 你有几种求解方法?与同伴进行交流. 2．分别求出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象与x轴的交点的坐标,并快速作出草图. （1）观察下列二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象，每个图象与x 轴有几个交点？ (2) 一元二次方程x2+2x=0, x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程 x2-2x+2=0 有根吗? (3)说说二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 　【达标】 1． 抛物线y=-3（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为 _______ 2． 抛物线y=x2－2x＋3与两坐标轴交点的个数为 个． 3． 抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m= ____________ 4． 二次函数y=kx2＋3x－4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围 5．若a＞0，b＞0，c＞0，＞0，那么抛物线y=ax2＋bx＋c 经过 象限． 6.个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式h=－4.9t2＋19.6t 来表示．其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间． （1）当t=1时，足球的高度是多少？ （2）t为何值时，h最大？ （3）经过多长时间球落地？ （4）方程－4.9t2＋19.6t =0的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗? （5）方程14.7=－4.9t2＋19.6t 的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗? 7.已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为什么? 课 题： 2.8二次函数与一元二次方程（二） 【温故】 1. 抛物线y=ax2＋bx＋c经过点（0，0）与（12，0），最高点纵坐标是3，求这条抛物线的表达式___________________ . 2．若a＞0，b＞0，c＞0，＞0，那么抛物线y=ax2＋bx＋c经过 象限． 3. 在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y（m）与飞行时间x（s）的关系满足y=－x2＋10x．（1）经过_____时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是_____？（2）经过_____秒，炮弹落在地上爆炸？ 4.一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c的图象与直线_______交点的______坐标. 5.一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c的图象与直线______交点的________坐标 . 问题：函数y = ax2 +bx +c的图象如下图所示， x= 为该图象的对称轴，根据图象 信息你能得到关于系数a，b，c的一些 -1 1 什么结论？ 【互助】 你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗？ 分析解答： (1) 用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象 (2) 观察估计二次函数y=x2+2x-10的图象与 x轴的交点的横坐标. 　【达标】 1.利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根. 分析解答： 2．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程的两个根． （2）写出不等式的解集． （3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围． （4）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 3．如图，已知二次函数的图象经过点A和点B． （1）求该二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； x y O 3  －9 －1 －1 A B （3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离．