人教版 七年级上 第一章有理数 知识点总结及易错题.doc

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新课标人教版数学七年级（上）知识要点概括 第一章 有理数 1.（1）正数：大于零的数； （2）负数：小于零的数（在正数前面加上负号“—”的数）； 注意：①0既不是正数也不是负数，它是正负数的分界点； ②对于正数和负数，不能简单理解为带“+”号的数是正数，带“—”号的数是负数； ③字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。 ④正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。 2.有理数的概念 ⑴正整数、0、负整数统称为整数； ⑵正分数和负分数统称为分数； ⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。 理解：只有能化成分数的数才是有理数。 ①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数； ②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数； ③-a不一定是负数，+a也不一定是正数； 3.有理数的分类 ⑴按有理数的定义分类 ⑵按性质符号来分 正整数 正整数 整数 0 正有理数 负整数 正分数 有理数 有理数 0 （0不能忽视） 正分数 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数） ②负整数、0统称为非正整数 ③正有理数、0统称为非负有理数 ④负有理数、0统称为非正有理数 ⑤0是整数不是分数。 4. 规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。 注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线； ⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可； ⑶同一数轴上的单位长度要统一。 （4） 数轴一般取右（或向上）为正方向，数轴的原点的选定，正方向的取向，单位长度大小的确定都是根据实际需要规定的。 5.数轴上的点与有理数的关系 ⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右侧的点表示，负有理数可用原点左侧的点表示，0用原点表示。 ⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一 一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数） 6. 数轴的画法 （1）画一条直线，在这条直线上任取一个点作为原点； （2）通常规定直线上从原点向右（或左）为正方向，从原点向左（或右）为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似的方法依次表示-1，-2，-3，…. 7.利用数轴表示两数大小 ⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大； ⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数； ⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。 8.数轴上特殊的最大（小）数 ⑴最小的自然数是0，无最大的自然数； ⑵最小的正整数是1，无最大的正整数； ⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数 9.a可以表示什么数 ⑴a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0； ⑵a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0； ⑶a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=0； 10.数轴上点的移动规律 根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。 11.归纳数轴上的点的意义： 一般地，设a是一个正数，则数轴上表示a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示－a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度. 12.只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数。 注意：⑴相反数是成对出现的； ⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负； ⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。 13.相反数的性质与判定 ⑴任何数都有相反数，且只有一个； ⑵0的相反数是0； ⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0 14.相反数的几何意义 在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点。 说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。 15.相反数的求法 ⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）； ⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。化简得-5a-b）； ⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是-（-5），化简得5) 16.相反数的表示方法 ⑴一般地，数a 的相反数是-a ，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。 当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数） 当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数） 当a=0时，-a=0，（0的相反数是0） 17.多重符号的化简 多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。 18.一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|，读作：a的绝对值. 19.因为数的绝对值是表示两点之间的距离，如：|a-b|表示数轴上a点到b点的距离。 所以一个数的绝对值不可能是负数。即：任何数的绝对值都是非负数（0的绝对值是0） 20. 绝对值的计算规律： （1） 互为相反数的两个数的绝对值相等 （2） 若，则a=b或a=-b； （3） 若 21.绝对值的代数定义 1）一个正数的绝对值是它本身 2）一个负数的绝对值是它的相反数 3）0的绝对值是0 22.可用字母表示为： ①如果a>0，那么|a|=a； ②如果a<0，那么|a|=-a； ③如果a=0，那么|a|=0。 可归纳为①：a≥0<═> |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。） ②a≤0<═> |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。） 23.绝对值的性质 任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有|a|≥0。 ⑴0的绝对值是0；绝对值是0的数是0.即：a=0 <═> |a|=0； ⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.即：|a|≥0； ⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：即：|a|≥a； ； ； ⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a>0），则x=±a； ⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|；注意：|a|·|b|=|a·b|, ； ⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b或a=-b； ⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。（非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0） 24.有理数大小的比较 ⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小； ⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。 （3）正数的绝对值越大，这个数越大； （4）正数永远比0大，负数永远比0小； （5）正数大于一切负数； （6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0. 25.已知一个数的绝对值，求这个数 一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离。 一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。 26.有理数的加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； ⑶互为相反数的两数相加，和为零； ⑷一个数与0相加，仍得这个数。 27.有理数加法的运算律 ⑴加法交换律：a+b=b+a ⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 28.在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律： ①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； ②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”； ③分母相同的数先相加——“同分母结合法”； ④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”； ⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。 29.有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。 30.有理数加减法统一成加法的意义 在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。 在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5. 31.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧： Ⅰ.把符号相同的加数相结合（同号结合法） (-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23) 原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) （将减法转换成加法） =-33+18-15-1+23 （省略加号和括号） =(-33-15-1)+(18+23) （把符号相同的加数相结合） =-49+41 （运用加法法则一进行运算） =-8 （运用加法法则二进行运算） Ⅱ.把和为整数的加数相结合 （凑整法） (+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8) 原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8) （将减法转换成加法） =6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 （省略加号和括号） =(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 （把和为整数的加数相结合） =4-10+3.8 （运用加法法则进行运算） =7.8-10 （把符号相同的加数相结合，并进行运算） =-2.2 （得出结论） Ⅲ.把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法） --+-+- 原式=(--)+(-+)+(+-)=-1+0-=-1 Ⅳ.既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合） (+0.125)-(-3)+(-3)-(-10)-(+1.25) 原式=(+)+(+3)+(-3)+(+10)+(-1)=+3-3+10-1 =(3-1)+(-3)+10=2-3+10=-3+13=10 Ⅴ.把带分数拆分后再结合（先拆分后结合） -3+10-12+4 原式=(-3+10-12+4)+(-+)+(-)=-1++=-1++ =- Ⅵ.分组结合 2-3-4+5+6-7-8+9…+66-67-68+69 原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(66-67-68+69)=0 Ⅶ.先拆项后结合 （1+3+5+7…+99）-（2+4+6+8…+100） 32.有理数的乘法法则 ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三） ②任何数同0相乘，都得0； ③几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数； ④几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0. 33.乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·=1（a≠0），就是说a和互为倒数，即a是的倒数，是a的倒数。 ①0没有倒数； ②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置； ③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）； ④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。 ⑤若ab=1Û a、b互为倒数；若ab=-1Û a、b互为负倒数. 34.有理数的乘法运算律 ⑴乘法交换律：ab=ba ⑵乘法结合律：(ab)c=a(bc). ⑶乘法分配律：a(b+c)=ab+ac 35. 有理数的除法法则 （1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，. （2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 36..有理数的乘除混合运算 （1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 （2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。 37.有理数的乘方 求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 中，a 叫做底数，n 叫做指数。 （1）a2是重要的非负数，即a2≥0；若a2+|b|=0 Û a=0,b=0； （2） 据规律 底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位 （3） 的结果：n为奇数时，=-1；n为偶数时，=1。 38.乘方的性质 （1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数；注意：当n为正奇数时: (-a)n=-an, 当n为正偶数时: (-a)n =an . （2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。 39.有理数的混合运算，应注意以下运算顺序： 1.先乘方，再乘除，最后加减； 2.同级运算，从左到右进行； 3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。 40. 科学记数法 把一个大于10的数表示成 的形式（其中， n是正整数），这种记数法是科学记数法 41.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位. 42.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字. 有理数运算中的常见错误示例 一、概念不清 例1 计算:15+(-6)-|-5|. 错解:原式=15-6+5=14. 错解分析：错在没有弄清-(-5)与-|-5|的区别.-(-5)表示-5的相反数,为5;而-|-5|表示-5的绝对值的相反数,-5的绝对值为5,5的相反数是-5. 正解:原式=15-6-5=4. 例2 计算:. 错解:原式=. 错解分析：此解错在混淆了乘方和有理数乘法的概念.需知表示,其结果为-8,因此,绝不是指数和底数相乘. 正解:原式=. 二、错用符号 例3 计算:-5-8×(-2). 错解:原式=-5-16=-21. 错解分析：错在先将8前面的“-”当成性质符号,后来又当成运算符号重复使用,切记不可这样重复用. 正解1:若把-8中的“-”当成性质符号,则可得以下过程: 原式=-5+(-8)×(-2)=-5+16=11. 正解2:若把-8中的“-”当成运算符号,则可得以下过程: 原式=-5-(-16)=-5+16=11. 三、项动符号不动 例4 计算:. 错解:原式= ===. 错解分析：在解答本题时,应先观察数字的特点,将小数进行转化,并使分母相同的分数合并计算.在运用加法交换律时一定要记住,项动其符号也一定要随之而动.错解在移动一项时,漏掉了其符号. 正解:原式= ==-12+11=-1. 四、对负带分数理解不清 例5 计算: 错解:原式= = ==. 错解分析：错在把负带分数理解为,而负带分数中的“-”是整个带分数的性质符号,把看成才是正确的.与之类似,也不等于. 正解:原式= ===. 五、考虑不全面 例6 已知|ɑ-1|=5,则ɑ的值为( ). A.6 B.-4 C.6或-4 D.-6或4 错解:由|ɑ-1|=5可得ɑ-1=5,解得ɑ=6.选A. 错解分析：一个数的绝对值等于5,则这个数可能为正,也可能为负,所以ɑ-1=±5,解得ɑ=6或-4. 正解:选C. 六、错用运算律 例7 计算: . 错解:原式= ===. 错解分析：由于受乘法分配律ɑ(b+c)=ɑb+ɑc的影响,错误地认为ɑ÷(b+c)=ɑ÷b+ɑ÷c,这是不正确的. 正解:原式===. 七、违背运算顺序 例8 计算:. 错解:原式=4÷(-2)=-2. 错解分析：本题是乘除运算,应按从左到右的顺序进行,而错解是先计算,这样就违背了运算顺序. 正解:原式=4×(-8)×16=-512. 例9 计算:. 错解:原式=25-(-2)2=25-4=21. 错解分析：在计算时,错误地先进行乘法运算.事实上应该先算乘方,再算乘除. 正解:原式==25-64=-39. 有理数典型错题示例 一、例1　计算：(1）-19.3＋0.7；(2) 错解：（1）-19.3＋0.7＝-20； (2)＝． 错解分析：（1）这是没有掌握有理数加法法则的常见错误．对于绝对值不同的异号两数相加，如何定符号和取和的绝对值，初学时要特别小心．(2）混合运算中，同级运算应从左往右依次进行．本题应先除后乘，这里先算了，是不按法则造成的计算错误． 正解：(1) -19.3十0.7＝-18.6； (2)． 二、例2　计算：(1)；(2)． 错解：（1）＝（-4) （-4)＝16；(2)＝-0.8． 错解分析：（1），表示4的平方的相反数，即＝-（4×4），它与不同，两者不能混淆． (2)表示-0.2的三次方．小数乘方运算应注意运算结果的小数点位置． 正解：（l）＝-16；(2)＝-0.008． 三、例3　计算：(1)；(2)． 错解：（1)＝； (2)＝． 错解分析：：带分数相乘（或乘方）必须先把带分数化成假分数后再计算． 正解：（1）原式＝； (2）原式＝． 四、例4　已知：＝2，＝3，求． 错解：因为＝2，＝3，所以＝±2，＝±3． 所以＝±5． 错解分析：本题错在最后一步，本题应有四个解．错解中只注意同号两数相加，忽略了还有异号两数相加的情况． 正解：前两步同上，所以＝±5，或＝±1． 五、例5　下列说法正确的是（　　） (A)0是正整数　　 （B)0是最小的整数　　 (C)0是最小的有理数　　（D)0是绝对值最小的有理数 错解：选A 错解分析： 0不是正数，也不是负数，0当然不在正整数之列；再则，在有理数范围之内，没有最小的数． 正解：选D 六、例6　按括号中的要求，用四舍五入法取下列各数的近似值： (l)57.898（精确到O.01)； (2)0.057988（保留三个有效数字）． 错解：（1)57.898≈57.9； (2)0.057988≈0.058 错解分析：（1)57.898精确到0.01，在百分位应有数字0，不能认为这个小数部分末尾的O是无用的．正确的答案应为57.90．注意57.9和57.90是精确度不同的两个近似数． (2）发生错解的原因是对“有效数字”概念不清．有效数字是指一个由四舍五入得来的近似数，从左边第一个不是0的数字起，到末位数字为止的所有数字，都叫这个数的有效数字．因此0.057988保留三个有效数字的近似值应为0.0580，而0.058只有两个有效数字． 七、例7　选择题： (l)绝对值大于10而小于50的整数共有（　　） (A)39个　　（B)40个　　（C)78个　　（D)80个 (2)不大于10的非负整数共有（　　） (A)8个　　（B)9个　　（C)10个　　（D)11个 错解：（1)D (2)C 错解分析： (l)10到50之间的整数（不包括10和50在内）共39个，-50到-10之间的整数也有39个，故共有78个．本题错在考虑不周密．(2)这里有两个概念：一是“不大于”，二是“非负整数”．前一概念不清，会误以为是0至9十个数字；后一概念不清，会误解为是1至10十个数字，都会错选（C)． 正解：(l)C (2)D 八、例8　计算：． 错解：原式＝ 　　　　　＝＝. 错解分析：绝对值符号有括号的功能，但不是括号．绝对值符号的展开必须按绝对值意义进行；特别是绝对值号内是负值时，展开后应取它的相反数．这是一个难点，应格外小心． 正解：因为，，，…， 所以原式＝… 　　　＝…＝． 有理数的乘方错解示例 一、例1用乘方表示下列各式： （1）； （2） 错解：（1）； （2）. 错解分析：求n个相同因数的积的运算叫做乘方. （1）错在混淆了与所表示的意义. 的底数是-5，表示4个-5相乘，即，而表示. （2）错在最后结果没有加上括号.实际上与的意义是不同的，表示，而表示. 正解：（1）； （2）. 二、例2计算：（1）；（2）. 错解：（1）；（2）. 错解分析：错解（1）（2）的原因都是没有真正理解乘方的意义，把指数与底数相乘了.实际上，表示2 008个-1相乘，表示3个-2相乘. 正解：（1）；（2）. 三、例3计算：（1）；（2）；（3）；（4）. 错解：（1）；（2）；（3）；（4）. 错解分析：以上错误都是由于没有按照正确的运算顺序进行运算造成的.有理数的运算应先算乘方，再算乘除，最后算加减. 正解：（1）；（2）；（3）； （4）. 四、例4计算：. 错解： . 错解分析：错解中出现了以下错误：实际上， 正解： 科学记数法、近似数和有效数字的失误点示例. 一、将一个数用科学记数法表示时出现错误 例1.生物学家发现一种病毒的长度约为0.000 043mm.用科学记数法表示这个数的结果为（ ）A. B. C. D. 错解：选A或选D. 错解分析：小于1的很小的数用科学记数法来表示成时，的范围仍是.n的值等于从左到右第一个不是零的数字前所有零的个数,正确答案应该选B. 二、与近似数有关的错误 1.近似数精确度的确定 例2.精确到 位. 错解：精确到百分位. 错解分析：这种应用科学记数法表示的数在确定其精确到哪一位时, 应看其最后一位有效数字在原数中的位置.由，知原数中6在十位上，故精确到十位.错误的原因主要是忽略了所表示的数位, 其实, 表示的是千位, 所以整数2在千位上, 8在百位上, 6在十位上. 2.近似数的取舍 例3.用四舍五入法求精确到千分位的近似数. 错解：. 错解分析： 错误的原因是两次使用四舍五入法求近似数, 即将先四舍五入得, 精确到万分位, 然后再四舍五入得0.852 , 精确到千分位，实际上正确结果应为0.851. 四、科学记数法ɑ×10n中ɑ和n值的确定 例4 据统计，全球每分钟约有8 480 000 t污水排入江河湖海，将这个排污量用科学记数法表示应是 t． 错解：8 480 000 t=848×104t． 错解分析：848×104不符合科学记数法的表示形式，即ɑ必须满足1≤ɑ＜10这一条件． 正解：8 480 000 t=8.48×106 t． 点拨：解答这道题的关键在于正确确定科学记数法ɑ×10n中ɑ和n的值．ɑ是整数位数只有1位的数，而n的确定方法为n=原数的整数位数－1. 14