高一数学期末综合练习(一).doc

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高一数学期末综合练习(一) 【课内四基达标】 一、选择题 1.下列四个命题：①若｜a｜＝0，则a＝0，②｜a｜＝｜b｜，则a＝b，或a＝-b③若a与b是平行向量，则｜a｜＝｜b｜ ④若a＝O，则-a＝O.其中正确命题个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 2.已知函数f(x)＝ (cotx-1)(cos2x-1)，则f()等于( ) A. B. C. D. 3.设a+b＝(2,-8),a-b＝(-8,16)，则a与b夹角为( ) A.π-arccos B.π+arccos C.-arccos D.arccos 4.设tanx＝2，则的值为( ) A. B. C.- D. 5.设＝(1，3)，＝(2，-1)，向量⊥，∥，则是( ) A.(7，14) B.(14，7) C.(2，-1) D.(-1，2) 6.函数y＝2sinx·cos2x+sinx的最小正周期是( ) A.2π B.π C. π D. 7.△ABC的三边长分别为｜｜＝7，｜｜＝5，｜｜＝6，则·的值为( ) A.38 B.-38 C.19 D.-19 8.已知向量a＝(2cosφ,2sinφ),φ∈(,π),b＝(0,1)，则a与b的夹角为( ) A. -φ B. +φ C.φ- D.φ 9.函数f(x)＝lg是( ) A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为2π的奇函数 D.最小正周期为2π的偶函数 10.设i,j是平面直角坐标系内x轴，y轴正方向上的两个单位向量，且＝4i-2j, ＝7i+4j, ＝3i+6j，由四边形ABCD的面积是( ) A.20 B.5 C.45 D.30 二、填空题 11.已知｜a｜＝2,｜b｜＝1，a与b夹角为30°，则｜a-b｜的值为 . 12.在平面四边形ABCD中，＝a, ＝b, ＝c, ＝d,且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，则四边形ABCD是 . 13.已知｜a｜＝,｜b｜＝3，a与b的夹角为30°，则a+λb与λa+b的夹角为锐角时，λ的取值范围是 . 14.△ABC的各顶点坐标分别为A(-1，2)、 B(3，-1)、 C(-5，3)，D是BC上一点，若 S△ABD＝S△ABC，则D的坐标是 . 三、解答题 15.若△ABC的三个内角的A、B、C成等差数列，A为最小角，且cos＝sinA+sinC，求∠A的大小. 16.设a＝(1+cosα,sinα),b＝(1-cosβ,sinβ),c＝(1,0),α∈(0,π),β∈(π,2π), a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2，且θ1-θ2＝，求sin的值. 17.已知a＝(,-1),b＝(,) (1)证明：a⊥b;(2)若存在不同时为零的实数k和t，使x＝a+(t2-3)b,y＝-ka+tb,且x⊥y.试求函数关系式k＝f(t);(3)讨论关于t的方程f(t)-tk＝0的解的情况. 18.将一块圆心角为120°，半径为20cm的扇形铁片裁成一块矩形，如图有两种裁法：让矩形一边在扇形的一条半径OA上，或让矩形一边与弦AB平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形，并求出这个最大值. 【能力素质提高】 1.任意给定4个定点A、B、C、D，求·+·+·的值. 2.已知3a-2b＝(-2,4),c＝(-2,2),a·c＝2，｜b｜＝4，求b与c的夹角. 3.已知a＝(cosα,sinα),b＝(cosβ,sinβ),a与b之间有关系｜ka+b｜＝｜a-kb｜，其中k＞0 (1)用k表示a,b; (2)求a、b的最小值，并求此时a、b的夹角的大小. 【综合实践创新】 1.若d＝(a·c)·b-(a·b)·c，求a与d的夹角. 2.在正三角形ABC中，｜｜＝a，则·+·+·的值为多少? 3.已知｜a｜＝2,｜b｜＝2,a+b＝(3, )，求向量a与b的夹角. 【高考真题演练】 1.已知α是第三象限角且sinα＝-,则tan＝( ) A. B. C.- D.- 2.的值为 . 3.一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为( ) A.arccos B.arcsin C.arccos D.arcsin 4.若sinα＞tanα＞cotα(-＜α＜ 则α∈( ) A.(- ，-) B.(- ，0) C.(0，) D.( ，) 5.若f(x)sinx是周期为π的奇函数，则f(x)可以是( ) A.sinx B.cosx C.sin2x D.cos2x 6.在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，证明：＝ 参考答案 【课内四基达标】 一、1.C 2.B 3.A 4.D 5.A 6.C 7.D 8.C 9.C 10.D 二、11. 12.矩形 13.λ＜或λ＞ 14.(1,0) 三、15.解 A、B、C等差2B＝A+CB＝60° A+C＝120° 又∵cos＝sinA+sinC cos＝2sincos cos cos＝cos又∵A为最小角 ∴＝ C＝2A ∴A+2A＝120°A＝40° 16.解 ∵a＝(2cos2,2sincos)＝2cos (cos,sin)θ1＝ b＝(2sin2,2sincos)＝2sin (sin,cos) θ2＝- ∴θ1-θ2＝+ ＝ ＝- ∴sin ＝sin(-)＝- 17.解：(1)证明：∵a·b＝×+(-1)×＝ -＝0 ∴a⊥b (2)∵x⊥y∴x·y＝0-ka2+t(t2-3)b2＝0-4k+t(t2-3)＝0 k＝f(t)＝t(t2-3) (3)f(t)-tk＝0t(t2-3)-tk＝0t＝0或k＝ (t2-3) 当k＞0时，原方程有三解. 当k＝0时，原方程有两解. 当-＜k＜0时，原方程有三解. 当k＝-时，原方程有一解 当k＜-时，原方程有一解 总之 当- ＜k＜0时或k＞0时，原方程有三解 当k＝0时，原方程有两解 当k≤- 时，原方程有一解 18.解：第一种截法，连结OM.设∠MOP＝θ，则 MP＝20sinθ OP＝20cosθ S＝MP·OP＝200sin2θ 当2θ＝90°时，即θ＝45°时 Smax＝200(cm2) 第二种截法：连结OM.设∠MOP＝θ，则 MN＝40sin(60°-θ) QM＝sinθ＝sinθ ∴S＝MN·QM＝ (60°-θ)sinθ＝-［cos60°-cos(60°-2θ)］＝［cos(60°-2θ)- ］ 当60°-2θ＝0°θ＝30°时Smax＝ (cm2) 又∵＞200 ∴第二种截法能得到最大面积的矩形。这个最大值为 (cm2) 【能力素质提高】 1.解原式＝·+·+(+)＝·)·＝(+)·+·(+)＝·+·＝·(+)＝0 2.解：(3a-b)c＝43a·c-2b·c＝46-2×｜b｜｜c｜cosθ＝46-2×4×2cosθ＝4cosθ＝θ＝arccos 3.解：(1)｜ka+b｜＝｜a-kb｜2｜ka+b｜＝3｜a-kb｜2k2+2kab+1＝3-6kab+3k28kab＝2(k2+1) a·b＝ (k＞0) (2) a·b＝ (k+)≥ ∴a·bmin＝ 此时 cosθ＝θ＝60° 【综合实践创新】 1.解：∵a·d＝a［(a·c)·b-(a·b)·c］＝(a·c)·(a·b)-(a·b)·(a·c)＝0 ∴a⊥d即a与d的夹角为90° 2.解：原式：a2·cos120°+a2cos120°+a2cos120°＝-a2 3.解：∵a+b＝(3, ) a2+2ab+b2＝124+2·2·2cosθ+4＝12cosθ＝θ＝60°. 【高考真题演练】 1.D 2.2- 3.B 4.B 5.B 6.证明：由余弦定理 a2＝b2+c2-2bccosA b2＝a2+c2-2accosB ∴a2-b2＝b2-a2-2bccosA+2accosB 整理得 ＝ 依正弦定理有：＝ ＝ ∴＝＝