平顶山市宝丰县2016届九年级上期末数学试卷含答案解析.doc

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河南省平顶山市宝丰县2016届九年级上学期期末数学试卷 　 一、选择题：每小题3分，共24分． 1．sin30°=（　　） A．0 B．1 C． D． 　 2．一元二次方程x2﹣2x=0的根是（　　） A．x1=0，x2=﹣2 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=﹣2 D．x1=0，x2=2 　 3．如图所示的物体的左视图为（　　） A． B． C． D． 　 4．在平面直角坐标系中，将抛物线y=3x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（　　） A．y=3（x+1）2+2 B．y=3（x+1）2﹣2 C．y=3（x﹣1）2+2 D．y=3（x﹣1）2﹣2 　 5．一个不透明的口袋里有4张形状完全相同的卡片，分别写有数字1，2，3，4，口袋外有两张卡片，分别写有数字2，3，现随机从口袋里取出一张卡片，求这张卡片与口袋外的两张卡片上的数能构成三角形的概率是（　　） A． B． C． D．1 　 6．某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 … 由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（　　） A．﹣11 B．﹣2 C．1 D．﹣5 　 7．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB=a，宽BC=b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b=（　　） A．2：1 B．：1 C．3： D．3：2 　 8．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是9，则k=（　　） A． B． C． D．12 　 　 二、填空题：每空3分，共21分． 9．抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是　　　　　　． 　 10．已知正六边形的周长是12，则它的半径是　　　　　　． 　 11．关于x的一元二次方程x2﹣3x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　　　　　　． 　 12．已知一次函数y1=kx+m和二次函数y2=ax2+bx+c的图象如图所示，它们的两个交点的横坐标是1和4，那么能够使得y1＜y2的自变量x的取值范围是　　　　　　． 　 13．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB=2cm，∠BCD=22°30′，则⊙O的半径为　　　　　　cm． 　 14．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为（0，1），则点E的坐标是　　　　　　． 　 15．抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，当x＜﹣1时，y随着x的增大而减小．下列结论：①abc＞0；②a+b＞0；③若点A（﹣3，y1），点B（3，y2）都在抛物线上，则y1＜y2；④a（m﹣1）+b=0；⑤若c≤﹣1，则b2﹣4ac≤4a．其中结论错误的是　　　　　　．（只填写序号） 　 　 三、解答题：共8小题，共75分． 16．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 　 17．如图，水平放置的圆柱形排水管的截面为⊙O，有水部分弓形的高为2，弦AB=4，求⊙O的半径． 　 18．已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点． （1）求证：△ABM≌△DCM； （2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论； （3）当AD：AB=　　　　　　时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）． 　 19．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A（m，6），B（3，n）两点． （1）求一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出使kx+b＜成立的x的取值范围； （3）求△AOB的面积． 　 20．如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）． 　 21．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE． （1）求证：DE是半圆⊙O的切线． （2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长． 　 22．永嘉某商店试销一种新型节能灯，每盏节能灯进价为18元，试销过程中发现，每周销量y（盏）与销售单价x（元）之间关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣进价） （1）写出每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间函数解析式； （2）当销售单价定为多少元时，这种节能灯每周能够获得最大利润？最大利润是多少元？ （3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于30元．若商店想要这种节能灯每周获得350元的利润，则销售单价应定为多少元？ 　 23．二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）． （1）求二次函数的表达式； （2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值； （3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标． 　 　  河南省平顶山市宝丰县2016届九年级上学期期末数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题：每小题3分，共24分． 1．sin30°=（　　） A．0 B．1 C． D． 【考点】特殊角的三角函数值． 【分析】根据特殊角的三角函数值进行解答即可． 【解答】解：sin30°=． 故选C． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 　 2．一元二次方程x2﹣2x=0的根是（　　） A．x1=0，x2=﹣2 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=﹣2 D．x1=0，x2=2 【考点】解一元二次方程-因式分解法． 【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：x2﹣2x=0， x（x﹣2）=0， x=0，x﹣2=0， x1=0，x2=2， 故选D． 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中． 　 3．如图所示的物体的左视图为（　　） A． B． C． D． 【考点】简单组合体的三视图． 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中． 【解答】解：从左面看易得第一层有1个矩形，第二层最左边有一个正方形． 故选A． 【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图． 　 4．在平面直角坐标系中，将抛物线y=3x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（　　） A．y=3（x+1）2+2 B．y=3（x+1）2﹣2 C．y=3（x﹣1）2+2 D．y=3（x﹣1）2﹣2 【考点】二次函数图象与几何变换． 【专题】常规题型． 【分析】先根据抛物线的顶点式得到抛物线y=3x2的对称轴为直线x=0，顶点坐标为（0，0），则抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，2），然后再根据顶点式即可得到平移后抛物线的解析式． 【解答】解：∵抛物线y=3x2的对称轴为直线x=0，顶点坐标为（0，0）， ∴抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，2）， ∴平移后抛物线的解析式为y=3（x﹣1）2+2． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：先把抛物线的解析式化为顶点式y=a（x﹣k）2+h，其中对称轴为直线x=k，顶点坐标为（k，h），若把抛物线先右平移m个单位，向上平移n个单位，则得到的抛物线的解析式为y=a（x﹣k﹣m）2+h+n；抛物线的平移也可理解为把抛物线的顶点进行平移． 　 5．一个不透明的口袋里有4张形状完全相同的卡片，分别写有数字1，2，3，4，口袋外有两张卡片，分别写有数字2，3，现随机从口袋里取出一张卡片，求这张卡片与口袋外的两张卡片上的数能构成三角形的概率是（　　） A． B． C． D．1 【考点】列表法与树状图法；三角形三边关系． 【专题】压轴题． 【分析】先通过列表展示所有4种等可能的结果数，利用三角形三边的关系得到其中三个数能构成三角形的有2，2，3；3，2，3；4，2，3共三种可能，然后根据概率的定义计算即可． 【解答】解：列表如下： 共有4种等可能的结果数，其中三个数能构成三角形的有2，2，3；3，2，3；4，2，3． 所以这张卡片与口袋外的两张卡片上的数能构成三角形的概率=． 故选C． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：先通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果数n，再找出其中某事件所占有的结果数m，然后根据概率的定义计算这个事件的概率=．也考查了三角形三边的关系． 　 6．某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 … 由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（　　） A．﹣11 B．﹣2 C．1 D．﹣5 【考点】二次函数的图象． 【分析】根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案． 【解答】解：由函数图象关于对称轴对称，得 （﹣1，﹣2），（0，1），（1，2）在函数图象上， 把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得 ， 解得， 函数解析式为y=﹣3x2+1 x=2时y=﹣11， 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象，利用函数图象关于对称轴对称是解题关键． 　 7．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB=a，宽BC=b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b=（　　） A．2：1 B．：1 C．3： D．3：2 【考点】相似多边形的性质． 【专题】计算题． 【分析】根据折叠性质得到AF=AB=a，再根据相似多边形的性质得到=，即=，然后利用比例的性质计算即可． 【解答】解：∵矩形纸片对折，折痕为EF， ∴AF=AB=a， ∵矩形AFED与矩形ABCD相似， ∴=，即=， ∴（）2=2， ∴=． 故选B． 【点评】本题考查了相似多边形的性质：相似多边形对应边的比叫做相似比．相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． 　 8．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是9，则k=（　　） A． B． C． D．12 【考点】反比例函数系数k的几何意义． 【分析】所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出B的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数． 【解答】解：∵四边形OCBA是矩形， ∴AB=OC，OA=BC， 设B点的坐标为（a，b）， ∵BD=3AD， ∴D（，b）， ∵点D，E在反比例函数的图象上， ∴=k，∴E（a，）， ∵S△ODE=S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE=ab﹣﹣﹣•（b﹣）=9， ∴k=， 故选C． 【点评】此题考查了反比例函数的综合知识，利用了：①过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；②所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式． 　 二、填空题：每空3分，共21分． 9．抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是　（2，5）　． 【考点】二次函数的性质． 【分析】由于抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），由此即可求解． 【解答】解：∵抛物线y=3（x﹣2）2+5， ∴顶点坐标为：（2，5）． 故答案为：（2，5）． 【点评】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）． 　 10．已知正六边形的周长是12，则它的半径是　2　． 【考点】正多边形和圆． 【分析】由于正六边形可以由其半径分为六个全等的正三角形，而三角形的边长就是正六边形的半径，由此即可求解． 【解答】解：∵正六边形可以由其半径分为六个全等的正三角形， 而三角形的边长就是正六边形的半径， 又∵正六边形的周长为12， ∴正六边形边长为2， ∴正六边形的半径等于2； 故答案为：2． 【点评】此题主要考查正多边形和圆、正六边形的性质；属于常规题，熟记正六边形的半径等于边长是解决问题的关键． 　 11．关于x的一元二次方程x2﹣3x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　k＜　． 【考点】根的判别式． 【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣3）2﹣4k＞0，然后解不等式即可． 【解答】解：根据题意得△=（﹣3）2﹣4k＞0， 解得k＜． 故答案为：k＜． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 　 12．已知一次函数y1=kx+m和二次函数y2=ax2+bx+c的图象如图所示，它们的两个交点的横坐标是1和4，那么能够使得y1＜y2的自变量x的取值范围是　x＞4或x＜1　． 【考点】二次函数与不等式（组）． 【分析】求能够使得y1＜y2的自变量x的取值范围，实质上就是根据图象找出函数y1=kx+m的值小于y2=ax2+bx+c的值时x的取值范围，由两个函数图象的交点横坐标及图象的位置，可求范围． 【解答】解：依题意得，能够使得y1＜y2的自变量x的取值范围， 实质上就是根据图象找出函数y1=kx+m的值小于y2=ax2+bx+c的值时x的取值范围， 由两个函数图象的交点横坐标及图象的位置可以知道此时x的取值范围x＞4或x＜1． 故填空答案：x＞4或x＜1． 【点评】解答此题的关键是把解不等式的问题转化为比较函数值大小的问题，然后结合两个函数图象的交点横坐标解答，本题锻炼了学生数形结合的思想方法． 　 13．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB=2cm，∠BCD=22°30′，则⊙O的半径为　2　cm． 【考点】垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理． 【专题】计算题． 【分析】先根据圆周角定理得到∠BOD=2∠BCD=45°，再根据垂径定理得到BE=AB=，且△BOE为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解． 【解答】解：连结OB，如图， ∵∠BCD=22°30′， ∴∠BOD=2∠BCD=45°， ∵AB⊥CD， ∴BE=AE=AB=×2=，△BOE为等腰直角三角形， ∴OB=BE=2（cm）． 故答案为：2． 【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理． 　 14．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为（0，1），则点E的坐标是　（，）　． 【考点】位似变换；坐标与图形性质． 【专题】常规题型． 【分析】由题意可得OA：OD=1：，又由点A的坐标为（1，0），即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标． 【解答】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：， ∴OA：OD=1：， ∵点A的坐标为（0，1）， 即OA=1， ∴OD=， ∵四边形ODEF是正方形， ∴DE=OD=． ∴E点的坐标为：（，）． 故答案为：（，）． 【点评】此题考查了位似变换的性质与正方形的性质．此题比较简单，注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键． 　 15．抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，当x＜﹣1时，y随着x的增大而减小．下列结论：①abc＞0；②a+b＞0；③若点A（﹣3，y1），点B（3，y2）都在抛物线上，则y1＜y2；④a（m﹣1）+b=0；⑤若c≤﹣1，则b2﹣4ac≤4a．其中结论错误的是　③⑤　．（只填写序号） 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【专题】压轴题；数形结合． 【分析】根据题意画出抛物线的大致图象，利用函数图象，由抛物线开口方向得a＞0，由抛物线的对称轴位置得b＜0，由抛物线与y轴的交点位置得c＜0，于是可对①进行判断；由于抛物线过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，根据抛物线的对称性和对称轴方程得到0＜﹣＜，变形可得a+b＞0，则可对②进行判断；利用点A（﹣3，y1）和点B（3，y2）到对称轴的距离的大小可对③进行判断；根据抛物线上点的坐标特征得a﹣b+c=0，am2+bm+c=0，两式相减得am2﹣a+bm+b=0，然后把等式左边分解后即可得到a（m﹣1）+b=0，则可对④进行判断；根据顶点的纵坐标公式和抛物线对称轴的位置得到＜c≤﹣1，变形得到b2﹣4ac＞4a，则可对⑤进行判断． 【解答】解：如图， ∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴b＜0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴abc＞0，所以①的结论正确； ∵抛物线过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2， ∴0＜﹣＜， ∴+=＞0，∴a+b＞0，所以②的结论正确； ∵点A（﹣3，y1）到对称轴的距离比点B（3，y2）到对称轴的距离远， ∴y1＞y2，所以③的结论错误； ∵抛物线过点（﹣1，0），（m，0）， ∴a﹣b+c=0，am2+bm+c=0， ∴am2﹣a+bm+b=0， a（m+1）（m﹣1）+b（m+1）=0， ∴a（m﹣1）+b=0，所以④的结论正确； ∵＜c， 而c≤﹣1， ∴＜﹣1， ∴b2﹣4ac＞4a，所以⑤的结论错误． 故答案为③⑤． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 　 三、解答题：共8小题，共75分． 16．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【考点】根的判别式． 【分析】（1）设方程的另一个根为x，则由根与系数的关系得：x+1=﹣a，x•1=a﹣2，求出即可； （2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答． 【解答】解：（1）设方程的另一个根为x， 则由根与系数的关系得：x+1=﹣a，x•1=a﹣2， 解得：x=﹣，a=， 即a=，方程的另一个根为﹣； （2）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4＞0， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2=﹣，x1•x2=，要记牢公式，灵活运用． 　 17．如图，水平放置的圆柱形排水管的截面为⊙O，有水部分弓形的高为2，弦AB=4，求⊙O的半径． 【考点】垂径定理的应用；勾股定理． 【分析】首先过点O作OC⊥AB于点D，交于点C，连接OB，设⊙O的半径为r，则OD=r﹣2，由垂径定理得BD=AB，再利用勾股定理可得结果． 【解答】解：过点O作OC⊥AB于点D，交于点C，连接OB， 设⊙O的半径为r，则OD=r﹣2， ∵OC⊥AB， ∴BD=AB=×4=2， 在Rt△BOD中， ∵OD2+BD2=OB2，即（r﹣2）2+（2）2=r2， 解得r=4． 【点评】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，作出恰当的辅助线，利用定理是解答此题的关键． 　 18．已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点． （1）求证：△ABM≌△DCM； （2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论； （3）当AD：AB=　2：1　时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）． 【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定． 【分析】（1）根据矩形的性质可得AB=CD，∠A=∠D=90°，再根据M是AD的中点，可得AM=DM，然后再利用SAS证明△ABM≌△DCM； （2）四边形MENF是菱形．首先根据中位线的性质可证明NE∥MF，NE=MF，可得四边形MENF是平行四边形，再根据△ABM≌△DCM可得BM=CM进而得ME=MF，从而得到四边形MENF是菱形； （3）当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形，证明∠EMF=90°根据有一个角为直角的菱形是正方形得到结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，∠A=∠D=90°， 又∵M是AD的中点， ∴AM=DM． 在△ABM和△DCM中， ， ∴△ABM≌△DCM（SAS）． （2）解：四边形MENF是菱形． 证明如下： ∵E，F，N分别是BM，CM，CB的中点， ∴NE∥MF，NE=MF． ∴四边形MENF是平行四边形． 由（1），得BM=CM，∴ME=MF． ∴四边形MENF是菱形． （3）解： 当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形．理由： ∵M为AD中点， ∴AD=2AM． ∵AD：AB=2：1， ∴AM=AB． ∵∠A=90， ∴∠ABM=∠AMB=45°． 同理∠DMC=45°， ∴∠EMF=180°﹣45°﹣45°=90°． ∵四边形MENF是菱形， ∴菱形MENF是正方形． 故答案为：2：1． 【点评】此题主要考查了矩形的性质，以及菱形的判定和正方形的判定，关键是掌握菱形和正方形的判定方法． 　 19．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A（m，6），B（3，n）两点． （1）求一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出使kx+b＜成立的x的取值范围； （3）求△AOB的面积． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）先把A、B点坐标代入y=求出m、n的值；然后将其分别代入一次函数解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组求得它们的值即可； （2）根据图象可以直接写出答案； （3）分别过点A、B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别是E、C点．直线AB交x轴于D点．S△AOB=S△AOD﹣S△BOD，由三角形的面积公式可以直接求得结果． 【解答】解：（1）∵点A（m，6），B（3，n）两点在反比例函数y=（x＞0）的图象上， ∴m=1，n=2， 即A（1，6），B（3，2）． 又∵点A（m，6），B（3，n）两点在一次函数y=kx+b的图象上， ∴． 解得， 则该一次函数的解析式为：y=﹣2x+8； （2）根据图象可知使kx+b＜成立的x的取值范围是0＜x＜1或x＞3； （3）分别过点A、B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别是E、C点．直线AB交x轴于D点． 令﹣2x+8=0，得x=4，即D（4，0）． ∵A（1，6），B（3，2）， ∴AE=6，BC=2， ∴S△AOB=S△AOD﹣S△BOD=×4×6﹣×4×2=8． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：先由点的坐标求函数解析式，然后解由解析式组成的方程组求出交点的坐标，体现了数形结合的思想． 　 20．如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）． 【考点】解直角三角形的应用-方向角问题． 【分析】过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则∠E=∠F=90°，拦截点D处到公路的距离DA=BE+CF．解Rt△BCE，求出BE=BC=×1000=500米；解Rt△CDF，求出CF=CD=500米，则DA=BE+CF=（500+500）米． 【解答】解：如图，过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则∠E=∠F=90°，拦截点D处到公路的距离DA=BE+CF． 在Rt△BCE中，∵∠E=90°，∠CBE=60°， ∴∠BCE=30°， ∴BE=BC=×1000=500米； 在Rt△CDF中，∵∠F=90°，∠DCF=45°，CD=BC=1000米， ∴CF=CD=500米， ∴DA=BE+CF=（500+500）米， 故拦截点D处到公路的距离是（500+500）米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，锐角三角函数的定义，正确理解方向角的定义，进而作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 　 21．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE． （1）求证：DE是半圆⊙O的切线． （2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长． 【考点】切线的判定． 【专题】证明题． 【分析】（1）连接OD，OE，由AB为圆的直径得到三角形BCD为直角三角形，再由E为斜边BC的中点，得到DE=BE=DC，再由OB=OD，OE为公共边，利用SSS得到三角形OBE与三角形ODE全等，由全等三角形的对应角相等得到DE与OD垂直，即可得证； （2）在直角三角形ABC中，由∠BAC=30°，得到BC为AC的一半，根据BC=2DE求出BC的长，确定出AC的长，再由∠C=60°，DE=EC得到三角形EDC为等边三角形，可得出DC的长，由AC﹣CD即可求出AD的长． 【解答】（1）证明：连接OD，OE，BD， ∵AB为圆O的直径， ∴∠ADB=∠BDC=90°， 在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点， ∴DE=BE， 在△OBE和△ODE中， ， ∴△OBE≌△ODE（SSS）， ∴∠ODE=∠ABC=90°， 则DE为圆O的切线； （2）在Rt△ABC中，∠BAC=30°， ∴BC=AC， ∵BC=2DE=4， ∴AC=8， 又∵∠C=60°，DE=CE， ∴△DEC为等边三角形，即DC=DE=2， 则AD=AC﹣DC=6． 【点评】此题考查了切线的判定，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键． 　 22．永嘉某商店试销一种新型节能灯，每盏节能灯进价为18元，试销过程中发现，每周销量y（盏）与销售单价x（元）之间关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣进价） （1）写出每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间函数解析式； （2）当销售单价定为多少元时，这种节能灯每周能够获得最大利润？最大利润是多少元？ （3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于30元．若商店想要这种节能灯每周获得350元的利润，则销售单价应定为多少元？ 【考点】二次函数的应用． 【分析】（1）根据每轴的利润w=（x﹣18）y，再把y=﹣2x+100代入即可求出z与x之间的函数解析式， （2）根据利润的表达式，利用配方法可得出利润的最大值； （3）先得出销售利润的表达式，然后建立方程，解出即可得出销售单价； 【解答】解：（1）w=（x﹣18）y=（x﹣18）（﹣2x+100） =﹣2x2+136x﹣1800， ∴z与x之间的函数解析式为z=﹣2x2+136x﹣1800（x＞18）； （2）∵w=﹣2x2+136x﹣1800=﹣2（x﹣34）2+512， ∴当x=34时，w取得最大，最大利润为512万元． 答：当销售单价为34元时，厂商每周能获得最大利润，最大利润是512万元． （3）周销售利润=周销量×（单件售价﹣单件制造成本）=（﹣2x+100）（x﹣18）=﹣2x2+136x﹣1800， 由题意得，﹣2x2+136x﹣1800=350， 解得：x1=25，x2=43， ∵销售单价不得高于30元， ∴x取25， 答：销售单价定为25元时厂商每周能获得350万元的利润； 【点评】本题考查了二次函数的应用及一元二次方程的应用，解答本题的关键是得出月销售利润的表达式，要求同学们熟练掌握配方法求二次函数最值的应用． 　 23．二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）． （1）求二次函数的表达式； （2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值； （3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标． 【考点】二次函数综合题；菱形的性质． 【专题】代数几何综合题；压轴题． 【分析】方法一： （1）首先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式； （2）设M的横坐标是x，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N的坐标，利用x表示出MN的长，利用二次函数的性质求解； （3）BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则BC=MC，据此即可列方程，求得x的值，从而得到N的坐标． 方法二： （1）略． （2）求出点M，N的参数坐标，并得到MN的长度表达式，从而求出MN的最大值． （3）因为BM与NC相互垂直平分，所以四边形BCMN为菱形，因为MN∥BC，所以只需MN=BC可得出四边形BCMN为平行四边形，再利用NC⊥BM进行求解． 【解答】方法一： 解：（1）由直线y=﹣x+1可知A（0，1），B（﹣3，），又点（﹣1，4）经过二次函数， 根据题意得：， 解得：， 则二次函数的解析式是：y=﹣﹣x+1； （2）设N（x，﹣x2﹣x+1）， 则M（x，﹣x+1），P（x，0）． ∴MN=PN﹣PM =﹣x2﹣x+1﹣（﹣x+1） =﹣x2﹣x =﹣（x+）2+， 则当x=﹣时，MN的最大值为； （3）连接MC、BN、BM与NC互相垂直平分， 即四边形BCMN是菱形， 则MN=BC，且BC=MC， 即﹣x2﹣x=， 且（﹣x+1）2+（x+3）2=， 解x2+3x+2=0，得：x=﹣1或x=﹣2（舍去）． 故当N（﹣1，4）时，BM和NC互相垂直平分． 方法二： （1）略． （2）设N（t，﹣）， ∴M（t，﹣t+1）， ∴MN=NY﹣MY=﹣+t﹣1， ∴MN=﹣， 当t=﹣时，MN有最大值，MN=． （3）若BM与NC相互垂直平分，则四边形BCMN为菱形． ∴NC⊥BM且MN=BC=， 即﹣=， ∴t1=﹣1，t2=﹣2， ①t1=﹣1，N（﹣1，4），C（﹣3，0）， ∴KNC==2， ∵KAB=﹣， ∴KNC×KAB=﹣1， ∴NC⊥BM． ②t2=﹣2，N（﹣2，），C（﹣3，0）， ∴KNC==，KAB=﹣， ∴KNC×KAB≠﹣1，此时NC与BM不垂直． ∴满足题意的N点坐标只有一个，N（﹣1，4）． 【点评】本题是待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的性质、菱形的判定的综合应用，利用二次函数的性质可以解决实际问题中求最大值或最小值问题．