高三数学一轮复习 3.6简单的三角恒等变换课件 .ppt

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第六节 简单的三角恒等变换,【知识梳理】 1.半角公式,2sin2α,2cos2α,2α,α,2.辅助角公式 asin x+bcos x= sin(x+φ)， 其中sin φ= ,cos φ= .,【考点自测】 1.(思考)给出下列命题： ①当α是第一象限角时， ； ②对任意角α， 都成立； ③半角的正余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的； ④公式 中φ的取值与a,b的值无关； ⑤函数y=sin x+cos x的最大值为2. 其中正确的是( ) A.①② B.③④ C.③ D.④⑤,【解析】选C.①错误.α在第一象限时， 在第一或第三象限. 当 在第一象限时， ,当 在第三象限时， ②错误.此式子必须使tan 有意义且1+cos α≠0.即 ≠kπ + 且α≠2kπ+π,即α≠(2k+1)π(k∈Z). ③正确.由半角公式推导过程可知正确. ④错误.由 可知φ的取值与a,b的 值有关. ⑤错误. 故其最大值为 .,2.已知 α∈(π，2π)，则cos 等于( ) 【解析】选B.因为 α∈(π，2π)，所以 所以,3.化简 等于( ) A.－sin α B.－cos α C.sin α D.cos α 【解析】选C.,4．如果α∈ ，且sin α＝ 那么 【解析】选D.因为 所以cos α＝ ， 而,5.函数y＝ cos 4x＋sin 4x的最小正周期为_______． 【解析】y＝ cos 4x＋sin 4x＝ 答案：,6.(2014·湖州模拟)若 则 ＝ __________. 【解析】 答案：2 014,考点1 利用三角恒等变换化简求值 【典例1】(1)已知450°α540°，则 的 值是( ) (2)化简：sin 2α·sin 2β+cos 2α·cos 2β- cos 2α· cos 2β＝_________.,【解题视点】(1)利用倍角公式化简. (2)从角、名、形、次数统一等几个方面入手进行化简.,【规范解答】(1)选A.原式＝ 因为450°α540°，所以225° 270°. 所以原式＝－sin .故选A.,(2)方法一:(从“角”入手，复角→单角) 原式=sin2α·sin2β+cos2α·cos 2β- ·(2cos2α-1) ·(2cos2β-1) =sin 2α·sin 2β+cos 2α·cos 2β- (4cos 2α·cos2β -2cos 2α-2cos 2β+1) =sin 2α·sin 2β-cos 2α·cos 2β+cos 2α+cos 2β- =sin 2α·sin 2β+cos 2α·sin 2β+cos 2β- =sin 2β+cos 2β- =1- = .,方法二:(从“名”入手,异名化同名) 原式=sin2α·sin2β+(1-sin2α)·cos2β- cos2α·cos2β =cos2β-sin2α(cos2β-sin2β)- cos2α·cos2β =cos2β-sin2α·cos2β- cos2α·cos2β =cos2β-cos2β·(sin2α+ cos 2α),方法三(从“幂”入手，利用降幂公式先降次) 原式=,方法四:(从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方) 原式=(sin α·sin β-cos α·cos β)2+2sin α· sin β·cos α·cos β- cos 2α·cos 2β =cos 2(α+β)+ sin 2α·sin 2β- cos 2α·cos 2β =cos 2(α+β)- ·cos(2α+2β) =cos2(α+β)- ·［2cos 2(α+β)-1］= . 答案：,【规律方法】 1.三角函数式的化简遵循的三个原则 (1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式. (2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”. (3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”等.,2.三角函数式化简的方法 弦切互化,异名化同名,异角化同角;降幂或升幂. 提醒:在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要升次.,三角函数式化简的要求 (1)能求出值的应求出值. (2)尽量使函数种数最少. (3)尽量使项数最少. (4)尽量使分母不含三角函数. (5)尽量使被开方数不含三角函数.,【变式训练】化简: 【解析】原式 因为0θπ,所以 ,所以 所以原式=-cos θ. 答案：-cos θ,【加固训练】 1.化简： 【解析】原式＝ 答案：,2.化简： 【解析】原式＝ 答案：,考点2 三角恒等变换在实际问题中的应用 【典例2】如图,现要在一块半径为1 m,圆心 角为 的扇形报纸AOB上剪出一个平行四边 形MNPQ,使点P在弧AB上,点Q在OA上,点M，N 在OB上,设∠BOP＝θ,平行四边形MNPQ的面积为S. (1)求S关于θ的函数关系式. (2)求S的最大值及相应的θ角.,【解题视点】虽然P点变化但OP不变，通过构造 与角θ所在 的直角三角形，将平行四边形的底和高用角θ表示，从而求出 S关于θ的函数关系式，进而求解相关问题.,【规范解答】(1)分别过P，Q作PD⊥OB于D，QE⊥OB于E， 则四边形QEDP为矩形. 由扇形半径为1 m，得PD=sin θ,OD=cos θ. 在Rt△OEQ中, OE= QE= PD, MN=QP=DE＝OD－OE ＝cos θ－ sin θ, S=MN·PD=(cos θ－ sin θ)·sin θ =sin θcos θ－ sin 2θ,θ∈(0, ).,(2)S= sin 2θ－ (1－cos 2θ) = sin 2θ+ cos 2θ－ = sin(2θ+ )－ , 因为θ∈ 所以 当θ= 时，Smax= (m2).,【互动探究】在本例中若点M与O重合，图形变为下图，记平行四边形ONPQ的面积为S.求S的最大值.,【解析】如图，过P作PD⊥OB于D，则 由扇形半径为1 m，得PD=sin θ，OD=cos θ, 在Rt△PND中, 因为∠PND=∠AOB= , 所以 ON＝OD－ND＝cos θ－ sin θ,,S=ON·PD=(cos θ－ sin θ)·sin θ =sin θcos θ－ sin 2θ= sin 2θ－ (1－cos 2θ) = sin 2θ+ cos 2θ－ = sin(2θ+ )－ ， 因为θ∈(0, )， 所以2θ+ ∈( )，sin(2θ+ )∈( ,1]. 当θ= 时,Smax= (m2).,【易错警示】关注变量的范围 本例在求解时容易忽略θ的范围而直接求最值，导致错解，在解决实际问题时，要关注变量的范围，否则容易出错.,【规律方法】三角函数应用题的处理方法 (1)引进角为参数，利用三角函数的有关公式进行推理，解决最优化问题. (2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样，先建模，再讨论变量的性质，最后作出结论并回答问题.,【变式训练】(2014·吉安模拟)已知直线l1∥l2,A是l1,l2之间的一定点,并且A点到l1,l2的距离分别为h1,h2,B是直线l2上一动点,作AC⊥AB,且使AC与直线l1交于点C,则△ABC面积的最小值为 .,【解析】如图，设∠ABD＝α，则 ∠CAE＝α， 所以S△ABC＝ ·AB·AC＝ (0＜α＜ ). 当2α＝ ，即α＝ 时，S△ABC的最小值为h1h2. 答案：h1h2,【加固训练】 1.(2014·台州模拟)如图，已知四边形ABCD 中AB∥CD，AD⊥AB，BP⊥AC，BP=PC，CD＞AB， 则经过某种翻折后以下线段可能会相互重合 的是( ) A.AB与AD B.AB与BC C.BD与BC D.AD与AP,【解析】选D.设AB=a,∠CAB=θ,则AP=acos θ,PC=BP=asin θ, AC=a(cos θ+sin θ),AD=ACsin θ=a(cos θ+sin θ)sin θ, CD=ACcos θ=a(cos θ+sin θ)cos θ，因为CD＞AB,故 cos2θ+sin θcos θ＞1，即sin（2θ+ ）＞ , 即 ，故0＜θ＜ . A选项：假设AB=AD，则有sin2θ+sin θcos θ=1, 即 ，无解.,B选项：假设AB=BC，则有 sin θ=1,则sin θ= ，无解. C选项：假设BD=BC，则有 sin 即1+2sin3θcos θ=sin2θ，无解. D选项：假设AD=AP，则有sin2θ+sin θcos θ=cos θ,令 f(θ)=sin2θ+sin θcos θ-cos θ= 则f(0)=-1＜0, 故必存在θ0使得:f(θ0)=0， 故AD与AP可能重合.D选项正确.,2.(2013·三亚模拟)如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为 的扇形，ABCD是扇形的内接矩形，B,C两点在圆弧上，OE是 ∠POQ的平分线，连接OC，记∠COE=α，问：角α为何值时矩 形ABCD面积最大，并求最大面积.,【解析】设OE交AD于M，交BC于N，显然矩形ABCD关于OE对称，而M，N均为AD，BC的中点，在 Rt△ONC中，CN=sin α,ON=cos α. 所以MN=ON－OM=cos α－ sin α， 即AB=cos α－ sin α,所以BC=2CN=2sin α,,故S矩形=AB·BC=(cos α－ sin α)·2sin α =2sin αcos α－2 sin 2α=sin 2α－ (1－cos 2α) =sin 2α+ cos 2α－ =2sin（2α+ ）－ . 因为0α ,所以02α , 2α+ , 故当2α+ = ,即α= 时，S矩形取得最大值，此时S矩形= 2－ .,考点3 三角恒等变换在研究图象性质中的应用 【考情】利用三角恒等变换将三角函数化简后研究图象及性质是高考的热点.在高考中以解答题的形式出现，考查三角函数的值域、最值、单调性、周期、奇偶性、对称性等问题.,高频考点 通 关,【典例3】(1)(2013·湖北高考)将函数y= cos x+sin x(x∈R) 的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对 称，则m的最小值是( ) (2)(2014·杭州模拟)若函数f(x)= 则函数f(x)是( ) A.周期为π的偶函数 B.周期为2π的偶函数 C.周期为2π的奇函数 D.周期为π的奇函数,【解题视点】(1)将函数化为y=Asin(ωx＋φ)的形式再求解. (2)降幂将角统一再化为y=Asin(ωx＋φ)的形式后进行判断．,【规范解答】(1)选B.由已知 当m= 时，平移后函数为y=2sin(x+ )=2cos x，其图象关于 y轴对称，且此时m最小. (2)选D.f(x)= = 因此f(x)的周期T= =π，且f(x)是 奇函数.,【通关锦囊】,【关注题型】,【通关题组】 1.(2014·舟山模拟)函数f(x)=sin 2x-4sin3xcos x(x∈R)的 最小正周期为( ) 【解析】选C.f(x)=sin 2x-4sin3xcos x=2sin xcos x- 4sin3xcos x=2sin xcos x(1-2sin2x)=sin 2xcos 2x= sin 4x， 所以函数f(x)的最小正周期,2.(2014·郑州模拟)已知函数f(x)= 则f(x)( ) A.周期为π,且图象关于点( ,0)对称 B.最大值为2，且图象关于点( ,0)对称 C.周期为2π,且图象关于点(- ,0)对称 D.最大值为2，且图象关于x= 对称,【解析】选B.f(x)=,因为x∈R,所以 所以-1≤sin(x- )≤1,则f(x)的最大值为2. 因为ω=1,所以周期T= =2π. 当x- =kπ(k∈Z)时，f(x)图象关于某一点对称， 所以当k=0时，求出x= ,即f(x)图象关于( ,0)中心对称， 故选B.,3.(2013·新课标全国卷Ⅰ)设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx 取得最大值,则cosθ= . 【解析】f(x)=sin x-2cos x= sin(x+φ)，其中tan φ= -2，当x+φ=2kπ+ 时，函数f(x)取得最大值，即θ=2kπ+ -φ.所以cos θ=cos( -φ)=sin φ，又因为tan φ=-2， φ在第四象限，所以sin φ=- ，即cos θ=- . 答案：-,4.(2013·温州模拟)函数y=(acos x+bsin x)cos x有最大值 2，最小值-1，则实数(ab)2的值为___________. 【解析】y=acos2x+bsin xcos x 所以 所以a=1,b2=8，所以(ab)2=8. 答案：8,【加固训练】 1.(2014·泰安模拟)已知函数f(x)= sin x-cos x，x∈R， 若f(x)≥1，则x的取值范围为( ),【解析】选B.根据题意，得f(x)＝2sin (x- )，f(x)≥1，所 以2sin (x- )≥1，即sin (x- )≥ ，由图象可知满足 解得 ＋2kπ≤x≤π＋2kπ (k∈Z)．,2.(2013·南宁模拟)设a=sin 14°+cos 14°，b=sin 16° +cos 16°，c= .则a，b，c按从小到大的顺序排列为 ． 【解析】a=sin 14°+cos 14°= sin 59°， b=sin 16°+cos 16° ＝ sin 61°，c＝ ＝ sin 60°. 因为59°60°61°，所以sin 59°sin 60°sin 61°， 所以acb. 答案：acb,3.(2011·上海高考)函数 的最大值 为 . 【解析】 故函数的最大值是 答案：,4.(2012·北京高考)已知函数f(x)= (1)求f(x)的定义域及最小正周期. (2)求f(x)的单调递减区间.,【解析】(1)由sin x≠0，得x≠kπ,k∈Z，所以定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}. f(x)= =2sin xcos x-2cos2x =sin 2x-cos 2x-1= 所以最小正周期T= =π.,【规范解答3】三角变换在研究三角函数中的应用 【典例】(14分)(2013·陕西高考)已知向量a=(cos x, ), b=( sin x,cos 2x),x∈R,设函数f(x)=a·b. (1)求f(x)的最小正周期. (2)求f(x)在 上的最大值和最小值.,【审题】分析信息,形成思路,【解题】规范步骤,水到渠成 (1)f(x)=a·b=cos x· sin x － cos 2x…………………………2分 = =sin（2x－ ）,①……………………………………5分 最小正周期T= =π. 所以f(x)=sin（2x－ ）的最小正周 期为π.………………………………7分,(2) ②,……………………9分 由正弦曲线y=sin x在 上的图象知， ③,即x= 时，f(x)取得最大值1; 当 ,即x=0时，f(x)取得最小值- .…………13分 所以，f(x)在 上的 最大值和最小值分别为1,－ .④ ………………………………14分,【点题】失分警示,规避误区,【变题】变式训练，能力迁移 已知函数f(x)= (1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间. (2)求函数f(x)在 上的最小值.,【解析】(1) 所以函数f(x)的最小正周期为2π. 由 得 则函数f(x)的单调递减区间是,(2)由 ，得 则当 即x= 时，f(x)取得最小值－ .,