2019-2020年高三9月月考 数学理试题.doc

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2019-2020年高三9月月考 数学理试题 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题 B．充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设随机变量，且，则实数的值为( ) A． 4　 B． 6　 C． 8　 　 D．10 4．如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y＝（x＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为( ) （A） （B） （C） （D） 5．集合，集合，则集合 （ ） A、 B、 C、 D、 6．某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为 (　　) A．4 B．8 C．12 D．24 7．设命题：，命题：一元二次方程有实数解．则是的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．函数的单调减区间为（ ） A、， B、， C、， D、， 9．已知函数y=的最大值为M,最小值为m,则的值为 （ ） A、 B、 C、 D、 10． 已知函数在一个周期内的图象如图所示.则的图象可由函数y=cosx的图象（纵坐标不变） （ ） A、 先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向左平移个单位 B、 先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位 C、 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位 D、 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位 11．设m>1，在约束条件下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，则m的取值范围为 ( ) A．(1,1＋) B．(1＋，＋∞) C．(1,3) D．(3，＋∞) 12．一个盛满水的密闭三棱锥容器S－ABC，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D，E，F，且知SD∶DA＝SE∶EB＝CF∶FS＝2∶1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的(　　) A. B. C. D.  第II卷（非选择题） 二、填空题 13．在极坐标系中，直线经过圆的圆心且与直线平行，则直线与极轴的交点的极坐标为_________． 14．如右图，是圆的直径，直线与圆相切于点， 于点，若圆的面积为，，则的长为 ． A D E C B O 15．已知程序框图如右，则输出的= ． K 16．已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且⊥轴，则双曲线的离心率为 ． 三、解答题 17．（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且. （1）试求的通项公式； （2）若数列满足：，试求的前项和. 18．（本小题满分12分）如图所示多面体中，⊥平面，为平行四边形，分别为的中点，，，. （1）求证：∥平面； （2）若∠＝90°，求证; （3）若∠＝120°，求该多面体的体积. 19．（本小题满分13分）已知函数． （1）若为的极值点，求实数的值； （2）若在上为增函数，求实数的取值范围； （3）当时，方程有实根，求实数的最大值． 20．（本小题共2小题，每小题6分，满分12分） （1）已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图如图所示，其中,,，求直角梯形以BC为旋转轴旋转一周形成的几何体的表面积。 （2）定线段AB所在的直线与定平面α相交，P为直线AB外的一点，且P不在α内，若直线AP、BP与α分别交于C、D点，求证：不论P在什么位置，直线CD必过一定点． C’ D’ A’ O’(B’) x’ y’ 21．（本小题满分12分）已知函数，， （1）求函数的最值； （2）对于一切正数，恒有成立，求实数的取值组成的集合。 参考答案 1．D 【解析】对应的点在第四象限. 2．B 【解析】因为a>1,所以,所以在定义域内是增函数;反之不成立，如a=-2时, 在定义域内是增函数，显然不满足a>1.故“”是“函数在定义域内是增函数”的充分条件. 3．A 【解析】由题意知. 4．C 【解析】因为. 所以点M取自E内的概率为. 5．A 【解析】因为集合，集合，则集合 ，选A 6．A 【解析】解：由三视图的侧视图和俯视图可知：三棱锥的一个侧面垂直于底面， 三棱锥的高是，它的体积为，故选A 7．A 【解析】因为命题：，命题：一元二次方程有实数解．等价于1-4m,因此可知，则：m<是:m的充分不必要条件,选A 8．D 【解析】因为，那么利用复合函数单调性可知，，化简得到结论为，，故选D 9．C 【解析】因为由题意，函数的定义域是[-3，1] y=由于-x2-2x+3在[-3，1]的最大值是4，最小值是0,因此可知m,和M的值分别是2，，因此可知比值为，选C 10．B 【解析】根据图像先求解A=1周期为，w=2，然后代点（-，0）得到=-的值，可知该函数图像是由y=cosx的图象先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位得到，选B 11．A 【解析】解：解：作出不等式组所表示的平面区域如图所示 作L：x+my=0，向可行域内平移，越向上，则Z的值越大，从而可得当直线L过B时Z最大 而联立x+y=1，与y=mx可得点B()，代入可得 故选B 12．D 【解析】解：如右图所示，过DE作与底面ABC平行的截面DEM，则M为SC的中点，F为SM的中点．过F作与底面ABC平行的截面FNP，则N，P分别为SD，SE的中点． 设三棱锥S-ABC的体积为V，高为H，S-DEM的体积为V1，高为h，则h:H=2:3,v1:v=8:27 三棱锥F-DEM的体积与三棱锥S-DEM的体积的比是1：2（高的比），∴三棱锥F-DEM的体积4v:27 三棱台DEM-ABC的体积=V-V1=19v:27, ∴最多可盛水的容积23v:27 故最多所盛水的体积是原来的,选D 13．(1,0) 【解析】由可知此圆的圆心为(1,0),直线是与极轴垂直的直线，所以所求直线的极坐标方程为,所以直线与极轴的交点的极坐标为(1,0). 14．1 【解析】∵CD是圆O的切线，∴∠ABC=∠ACD=30°，∴在直角三角形ACD中，AD=1，∴AC=2， ∴在直角三角形ABC中，AC=2，∴AB=4，∴圆的半径是2，所以, 所以. 15．9 【解析】因为,所以当S=105时退出循环体，因而此时i=9,所以输出的i值为9. 16． 【解析】由题意知所以 . 17．(1)；(2) 【解析】(1)n=1时，，;n>1时，,从而确定{}为等比数列,通项公式. (2) ,显然采用错位相减的方法求和. 18．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）该五面体的体积为 。 【解析】（Ⅰ）取PC的中点为O，连FO，DO，可证FO∥ED，且FO=ED，所以四边形EFOD是平行四边形，从而可得EF∥DO，利用线面平行的判定，可得EF∥平面PDC； （Ⅱ）先证明PD⊥平面ABCD，再证明BE⊥DP； （Ⅲ）连接AC，由ABCD为平行四边形可知△ABC与△ADC面积相等，所以三棱锥P-ADC与三棱锥P-ABC体积相等，即五面体的体积为三棱锥P-ADC体积的二倍． （Ⅰ）取PC的中点为O，连FO,DO，∵F,O分别为BP，PC的中点， ∴∥BC，且,又ABCD为平行四边形,∥BC，且, ∴∥ED，且 ∴四边形EFOD是平行四边形 --------------------------------2分 即EF∥DO 又EF平面PDC ∴EF∥平面PDC． ---------------------- 4分 （Ⅱ）若∠CDP＝90°,则PD⊥DC，又AD⊥平面PDC ∴AD⊥DP, ∴PD⊥平面ABCD, ------------- 6分 ∵BE平面ABCD，∴BE⊥DP ------------ 8分 （Ⅲ）连结AC,由ABCD为平行四边形可知与面积相等， 所以三棱锥与三棱锥体积相等， 即五面体的体积为三棱锥体积的二倍. ∵AD⊥平面PDC，∴AD⊥DP,由AD=3，AP=5，可得DP=4又∠CDP＝120°PC=2， 由余弦定理并整理得, 解得DC=2 ------------------- 10分 ∴三棱锥的体积 ∴该五面体的体积为 -------------------- 12分 19．（1）．（2）的取值范围为．（3）当时，有最大值0. 【解析】(1)根据建立关于a的方程求出a的值. (2)本小题实质是在区间上恒成立， 进一步转化为在区间上恒成立, 然后再讨论a=0和两种情况研究. (2) 时，方程可化为，, 问题转化为在上有解， 即求函数的值域,然后再利用导数研究g(x)的单调区间极值最值，从而求出值域，问题得解. 解：（1）．………1分 因为为的极值点，所以．………………………2分 即，解得．…………………………………3分 又当时，，从而的极值点成立．…………4分 （2）因为在区间上为增函数， 所以在区间上恒成立．…5分 ①当时，在上恒成立，所以上为增函数，故 符合题意．…………………………6分 ②当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，故只能， 所以上恒成立．……………7分 令，其对称轴为，……………8分 因为所以，从而上恒成立，只要即可， 因为， 解得． u……………………………………9分 因为，所以． 综上所述，的取值范围为．…………………………………10分 （3）若时，方程可化为，． 问题转化为在上有解， 即求函数的值域．……………………11分 以下给出两种求函数值域的方法： 方法1：因为，令， 则 ，…………………………………12分 所以当，从而上为增函数， 当，从而上为减函数，………………………13分 因此． 而，故， 因此当时，取得最大值0．…………………………………………14分 方法2：因为，所以． 设，则． 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 因为，故必有，又， 因此必存在实数使得， ，所以上单调递减； 当，所以上单调递增； 当上单调递减； 又因为， 当，则，又． 因此当时，取得最大值0.……………………………14分 20．（1）；（2）不论P在什么位置，直线CD必过一定点． 【解析】本试题主要是考查了斜二测画法的运用，以及空间几何体中表面积的求解。 （1）由斜二测画法可知AB=2，BC=4，AD=2进而DC=，那么旋转得到的几何体的表面积可以解得。 （2）设定线段AB所在直线为l，与平面α交于O点，即l∩α＝O.。∴AP、BP可确定一平面β且C∈β，D∈β.因为CD＝α∩β.∴A∈β，B∈β.∴l⊂β.∴O∈β.∴O∈α∩β，即O∈CD. 解：（1）由斜二测画法可知AB=2，BC=4，AD=2 进而DC=， 旋转后形成的几何体的表面积 （2）设定线段AB所在直线为l，与平面α交于O点，即l∩α＝O. 由题意可知，AP∩α＝C，BP∩α＝D，∴C∈α，D∈α. 又∵AP∩BP＝P. ∴AP、BP可确定一平面β且C∈β，D∈β. ∴CD＝α∩β.∴A∈β，B∈β.∴l⊂β.∴O∈β.∴O∈α∩β，即O∈CD. ∴不论P在什么位置，直线CD必过一定点． 21．（1）函数在（0，1）递增，在递减。的最大值为. （2）。 【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。 （1）求解导数，然后根据导数的符号与函数单调性的关系得到判定，求解极值和最值。 （2）要证明不等式恒成立，那么可以通过研究函数的最值来分析得到参数的范围。 解：（1） 所以可知函数在（0，1）递增，在递减。 所以的最大值为. （2）令函数 得 当时，恒成立。所以在递增， 故x>1时不满足题意。 当时，当时恒成立，函数递增； 当时恒成立，函数递减。 所以;即 的最大值 令 ,则 令函数 , 所以当时，函数递减；当时，函数递增； 所以函数， 从而 就必须当时成立。 综上。