2019-2020年高三数学第一次月考试题 文（含解析）.doc

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2019-2020年高三数学第一次月考试题 文（含解析） 【试卷分析】试题中有相当一部分试题是对基本知识、基本技能、基本方法的考查应更多地在知识网络的交汇点上设计试题，在综合中考查能力.高中数学的主干知识在高考命题中的主要综合有：“函数、方程、导数与不等式的综合”、“函数与数列的综合”、“三角、向量的综合”等。数学思想方法是知识综合的统帅和纽带，是综合能力的中心.数学思想总结提炼为：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归思想、猜证结合思想。因此，自觉地、尽早地领悟数学思想方法，以综合能力为重点和难点，强化训练，使解题策略与方法明确化和系统化. 一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分） 【题文】1．已知集合A={x∈R|3x+2＞0} , B={x∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A∩B=( ) A （-，-1） B （-1，-） C （-,3） D (3,+) 【知识点】一元二次不等式的解法；交集及其运算． E3 A1 【答案解析】D 解析：因为B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0﹜={x|x＜﹣1或x＞3}， 又集合A={x∈R|3x+2＞0﹜={x|x}， 所以A∩B={x|x}∩{x|x＜﹣1或x＞3}={x|x＞3}，故选D． 【思路点拨】求出集合B，然后直接求解A∩B． 【题文】2.已知命题，则是( ) A． B． C． D． 【知识点】命题的否定． A3 【答案解析】C 解析：命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0是一个全称命题，其否定是一个特称命题，故¬p：∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0 故选C 【思路点拨】由题意，命题p是一个全称命题，把条件中的全称量词改为存在量词，结论的否定作结论即可得到它的否定，由此规则写出其否定，对照选项即可得出正确选项. 【题文】3.下列函数中，与函数y=定义域相同的函数为（ ） A． y= B. y= C. y=xex D. 【知识点】正弦函数的定义域和值域；函数的定义域及其求法． B1 【答案解析】D 解析：∵函数y=的定义域为{x∈R|x≠0}， ∴对于A，其定义域为{x|x≠kπ}（k∈Z），故A不满足；对于B，其定义域为{x|x＞0}，故B不满足；对于C，其定义域为{x|x∈R}，故C不满足；对于D，其定义域为{x|x≠0}，故D满足；综上所述，与函数y=定义域相同的函数为：y=．故选D． 【思路点拨】由函数y=的意义可求得其定义域为{x∈R|x≠0}，于是对A，B，C，D逐一判断即可得答案． 【题文】4.下列命题中，真命题是（ ） A． B． C．的充要条件是 D．是的充分条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；全称命题；特称命题；命题的真假判断与应用. A2 A3 【答案解析】D 解析：因为y=ex＞0，x∈R恒成立，所以A不正确； 因为x=﹣5时2﹣5＜（﹣5）2，所以∀x∈R，2x＞x2不成立． a=b=0时a+b=0，但是没有意义，所以C不正确； a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件，显然正确．故选D． 【思路点拨】利用指数函数的单调性判断A的正误；通过特例判断，全称命题判断B的正误；通过充要条件判断C、D的正误； 【题文】5.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是(　 　) A．60 B．54 C．48 D．24 【知识点】由三视图求面积、体积. G2 【答案解析】A 解析：由三视图知：几何体是一个侧面向下放置的直三棱柱，侧棱长为4， 底面三角形为直角三角形，直角边长分别为3，4，斜边长为5． ∴几何体的表面积S=S棱柱侧+S底面=（3+4+5）×4+2××3×4=48+12=60．故选：A． 【思路点拨】几何体是一个侧面向下放置的直三棱柱，根据三视图判断底面三角形相关几何量的数据及棱柱的高的数据，把数据代入棱柱的表面积公式计算． 【题文】6. 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） A． 3 B． 4 C． 5 D． 8 【知识点】循环结构 . L1 【答案解析】B 解析：由题意循环中x，y的对应关系如图： 当x=8时不满足循环条件，退出循环，输出y=4．故选B． 【思路点拨】列出循环中x，y的对应关系，不满足判断框结束循环，推出结果． 【题文】7.设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，给出下列说法： ①若l⊥α，α⊥β，则l⊂β；②若l∥α，α∥β，则l⊂β； ③若l⊥α，α∥β，则l⊥β；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β. 其中说法正确的个数为(　　 ) A． 1 B． 2 C． 3 D． 0 【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系． G4 G5 【答案解析】A 解析：①若l⊥α，α⊥β，则l⊂β，或l∥β，故①错； ②若l∥α，α∥β，则l⊂β或l∥β，故②错； ③若l⊥α，α∥β，则过l作两个平面M，N，使平面M与α，β分别交于m1，m2，平面N与平面α，β交于n1，n2，则由α∥β得到m1∥m2，n1∥n2，由l⊥α，得l⊥m1，l⊥n1，故l⊥m2，l⊥n2，故l⊥β，故③正确； ④若l∥α，α⊥β，则l⊥β 或l∥β，故④错．故选：A． 【思路点拨】①可举反例，l∥β，即可判断；②由线面平行的性质和面面平行的性质，即可判断；③运用线面垂直的判定，和面面平行的性质，即可判断；④由线面平行的性质和面面垂直的性质，即可判断． 【题文】8.下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【知识点】不等式比较大小． E1 【答案解析】C 解析：A选项不成立，当x=时，不等式两边相等； B选项不成立，这是因为正弦值可以是负的，故不一定能得出sinx+≥2； C选项是正确的，这是因为x2+1≥2|x|（x∈R）⇔（|x|﹣1）2≥0， D选项不正确，令x=0，则不等式左右两边都为1，不等式不成立 综上，C选项是正确的.故选C 【思路点拨】由题意，可对四个选项逐一验证，其中C选项用配方法验证，A，B，D三个选项代入特殊值排除即可. 【题文】9.定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当-3≤x＜-1时， f（x）=-（x+2）2，当-1≤x＜3时，f（x）=x. . 则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（xx）=（ ） A. 335 B. 338 C. 1678 D. xx 【知识点】函数的周期性；函数的值．B1 B4菁 【答案解析】B 解析：∵f（x+6）=f（x）， ∴f（x）是以6为周期的函数， 又当﹣1≤x＜3时，f（x）=x， ∴f（1）+f（2）=1+2=3，f（﹣1）=﹣1=f（5），f（0）=0=f（6）； 当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2， ∴f（3）=f（﹣3）=﹣（﹣3+2）2=﹣1， f（4）=f（﹣2）=﹣（﹣2+2）2=0， ∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=1+2﹣1+0+（﹣1）+0=1， ∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（xx） =[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（xx）]+f（2011）+f（xx） =335×1+f（1）+f（2） =338．故选B． 【思路点拨】由f（x+6）=f（x）可知，f（x）是以6为周期的函数，可根据题目信息分别求得f（1），f（2），f（3），f（4），f（5），f（6）的值，再利用周期性即可得答案． 【题文】10．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　) A. B． 16π C． 9π D. 【知识点】球内接多面体；球的体积和表面积. G8 【答案解析】A 解析：设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2， ∴R2=（4﹣R）2+（）2，∴R=，∴球的表面积为4π•（）2=．故选：A． 【思路点拨】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积． 【题文】11.函数的图象大致为 【知识点】余弦函数的图象；奇偶函数图象的对称性．C3 B4 【答案解析】D 解析：令y=f（x）=， ∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴函数y=为奇函数， ∴其图象关于原点对称，可排除A；又当x→0+，y→+∞，故可排除B； 当x→+∞，y→0，故可排除C；而D均满足以上分析．故选D． 【思路点拨】由于函数y=为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A，利用极限思想（如x→0+，y→+∞）可排除B，C，从而得到答案D． 【题文】12．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则(　　) A．c≤3 B．3＜c≤6 C．6＜c≤9 D．c＞9 【知识点】函数值的意义；解不等式. B1 E1 【答案解析】C 解析：由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）得， 解得，f（x）=x3+6x2+11x+c，由0＜f（﹣1）≤3，得0＜﹣1+6﹣11+c≤3，即6＜c≤9， 故选C． 【思路点拨】由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）列出方程组求出a，b代入0＜f（﹣1）≤3求出c的范围． 二、填空题(共4个小题，每小题5分，共20分) 【题文】13.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校 高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 名学生． 【知识点】分层抽样方法． I1 【答案解析】15 解析：∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4， ∴高二在总体中所占的比例是=， ∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本， ∴要从高二抽取，故答案为：15 【思路点拨】根据三个年级的人数比，做出高二所占的比例，用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例，得到要抽取的高二的人数. 【题文】14．函数f(x)＝lg x2的单调递减区间是________． 【知识点】复合函数的单调性． B3 【答案解析】（﹣∞，0） 解析：方法一：y=lgx2=2lg|x|， ∴当x＞0时，f（x）=2lgx在（0，+∞）上是增函数； 当x＜0时，f（x）=2lg（﹣x）在（﹣∞，0）上是减函数． ∴函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）． 故填（﹣∞，0）． 方法二：原函数是由复合而成， ∵t=x2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数； 又y=lgt在其定义域上为增函数， ∴f（x）=lgx2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数， ∴函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）． 故填（﹣∞，0）． 【思路点拨】先将f（x）化简，注意到x≠0，即f（x）=2lg|x|，再讨论其单调性，从而确定其减区间；也可以函数看成由复合而成，再分别讨论内层函数和外层函数的单调性，根据“同増异减”再来判断． 【题文】15．已知是奇函数，且，若，则 . 【知识点】函数奇偶性的性质；函数的值．B4 B1 【答案解析】-1 解析：由题意，y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1， 所以f（1）+1+f（﹣1）+（﹣1）2=0解得f（﹣1）=﹣3 所以g（﹣1）=f（﹣1）+2=﹣3+2=﹣1 故答案为﹣1 【思路点拨】由题意，可先由函数是奇函数求出f（﹣1）=﹣3，再将其代入g（﹣1）求值即可得到答案 【题文】16．设是定义在上且周期为2的函数，在区间上， 其中．若， 则的值为 ． 【知识点】函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法． B4 B1 【答案解析】-10 解析：∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数，f（x）=，∴f（）=f（﹣）=1﹣a，f（）=；又=， ∴1﹣a=① ，又f（﹣1）=f（1），∴2a+b=0，②，由①②解得a=2，b=﹣4； ∴a+3b=﹣10．故答案为：﹣10． 【思路点拨】由于f（x）是定义在R上且周期为2的函数，由f（x）的表达式可得f（）=f（﹣）=1﹣a=f（）=；再由f（﹣1）=f（1）得2a+b=0，解关于a，b的方程组可得到a，b的值，从而得到答案． 三、解答题（共6道大题，共70分） 【题文】17．设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N. (1)求M； (2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤. 【知识点】不等式的解法；交集及其运算． E1 A1 【答案解析】（1）{x|0≤x≤}；（2）证明：略. 解析：(1)f(x)＝ 当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1得x≤，故1≤x≤； 当x＜1时，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x＜1. 所以f(x)≤1的解集M={x|0≤x≤} (2)由g(x)＝16x2－8x＋1≤4得,－≤x≤， 因此N={x|－≤x≤}，故M∩N={x|0≤x≤} 当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，于是 x2f(x)＋x·[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]＝xf(x)＝ x(1－x)＝－≤. 【思路点拨】（Ⅰ）由所给的不等式可得 ①，或 ②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求． （Ⅱ）由g（x）≤4，求得N，可得M∩N=[0，]．当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，不等式的左边化为﹣，显然它小于或等于 ，要证的不等式得证． 【题文】18．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示： 喜欢甜品 不喜欢甜品 合计 南方学生 60 20 80 北方学生 10 10 20 合计 70 30 100 (1)根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”； (2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率． 附：　K2＝ P(χ2≥k) 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 【知识点】独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式．I4 K2 【答案解析】(1) 有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．(2) . 解析：(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得 χ2＝＝≈4.762. 由于4.762＞3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”． (2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}， 其中ai表示喜欢甜品的学生，i＝1，2，bj表示不喜欢甜品的学生，j＝1，2，3. Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的． 用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A＝{(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}． 事件A由7个基本事件组成，因而P(A)＝. 【思路点拨】（Ⅰ）根据表中数据，利用公式，即可得出结论； （Ⅱ）利用古典概型概率公式，即可求解． 【题文】19．如图1­5，在三棱柱ABC ­A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点． (1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1； (2)求证：C1F∥平面ABE； (3)求三棱锥E ­ ABC的体积． 【知识点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． G4 G5 G1 【答案解析】(1)证明：略；（2）证明：略；（3） . 解析：(1)证明：在三棱柱ABC ­ A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB. 又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面B1BCC1. 所以平面ABE⊥平面B1BCC1. (2)证明：取AB的中点G，连接EG，FG. 因为E，F，G分别是A1C1，BC，AB的中点， 所以FG∥AC，且FG＝AC，EC1＝A1C1. 因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1， 所以FG∥EC1，且FG＝EC1， 所以四边形FGEC1为平行四边形， 所以C1F∥EG. 又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE， 所以C1F∥平面ABE. (3)因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC， 所以AB＝＝. 所以三棱锥E ­ ABC的体积 V＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝. 【思路点拨】（Ⅰ）证明AB⊥B1BCC1，可得平面ABE⊥B1BCC1； （Ⅱ）证明C1F∥平面ABE，只需证明四边形FGEC1为平行四边形，可得C1F∥EG； （Ⅲ）利用VE﹣ABC=，可求三棱锥E﹣ABC的体积． 【题文】20．已知函数f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然对数的底数． (1)证明：f(x)是R上的偶函数． (2)若关于x的不等式mf(x)≤e－x ＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围． 【知识点】函数的奇偶性；不等式恒成立问题． B4 E8 【答案解析】(1)证明：略；（2）m ≤－ . 解析：(1)证明：因为对任意 x∈R，都有f(－x)＝e－x＋e－(-x)＝e－x＋ex＝f(x)， 所以f(x)是R上的偶函数． (2)由条件知 m(ex＋e－x－1)≤e－x－1在(0，＋∞)上恒成立． 令 t＝ex(x>0)，则 t>1，所以 m≤－＝ －对任意 t>1成立． 因为t－1＋＋ 1≥2 ＋1＝3, 所以 －≥－， 当且仅当 t＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立． 因此 m ≤－ 【思路点拨】（1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数； （2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围． 【题文】21．如图在四棱锥A ­ BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝. (1)证明：AC⊥平面BCDE； (2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值． 【知识点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．G12 【答案解析】（1）证明：略；（2） . 解析：(1)证明：连接BD，在直角梯形BCDE中，由DE＝BE＝1，CD＝2，得BD＝BC＝，由AC＝，AB＝2，得AB2＝AC2＋BC2，即AC⊥BC. 又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE. (2)在直角梯形BCDE中，由BD＝BC＝，DC＝2，得BD⊥BC. 又平面ABC⊥平面BCDE，所以BD⊥平面ABC. 作EF∥BD，与CB的延长线交于点F，连接AF，则EF⊥平面ABC. 所以∠EAF是直线AE与平面ABC所成的角． 在Rt△BEF中，由EB＝1，∠EBF＝，得EF＝，BF＝； 在Rt△ACF中，由AC＝，CF＝，得AF＝. 在Rt△AEF中，由EF＝，AF＝，得tan∠EAF＝. 所以，直线AE与平面ABC所成的角的正切值是. 【思路点拨】（Ⅰ）如图所示，取DC的中点F，连接BF，可得DF=DC=1=BE，于是四边形BEDF是矩形，在Rt△BCF中，利用勾股定理可得BC==．在△ACB中，再利用勾股定理的逆定理可得AC⊥BC，再利用面面垂直的性质定理即可得出结论． （Ⅱ）过点E作EM⊥CB交CB的延长线于点M，连接AM．由平面ABC⊥平面BCDE，利用面面垂直的性质定理可得：EM⊥平面ACB．因此∠EAM是直线AE与平面ABC所成的角．再利用勾股定理和直角三角形的边角关系即可得出． 【题文】22．函数f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)在区间(1，2)是增函数，求a的取值范围． 【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．B12 【答案解析】(1) a≥1时，是R上的增函数；0＜a＜1时，f(x)分别在 (－∞，)，(，＋∞)是增函数；f(x)在(，)是减函数；a＜0时，f(x)分别在(－∞，)，(，＋∞)是增函数；f(x)在(，)是减函数．（2）a的取值范围[）∪（0，+∞）． 解析：(1)f′(x)＝3ax2＋6x＋3，f′(x)＝0的判别式Δ＝36(1－a)． (i)若a≥1，则f′(x)≥0，且f′(x)＝0当且仅当a＝1，x＝－1时成立．故此时f(x)在R上是增函数． (ii)由于a≠0，故当a＜1时，f′(x)＝0有两个根； x1＝，x2＝. 若0＜a＜1，则当x∈(－∞，x2)或x∈(x1，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)分别在(－∞，x2)，(x1，＋∞)是增函数； 当x∈(x2，x1)时，f′(x)<0，故f(x)在(x2，x1)是减函数． 若a＜0，则当x∈(－∞，x1)或(x2，＋∞)时，f′(x)＜0，故f(x)分别在(－∞，x1)，(x2，＋∞)是减函数； 当x∈(x1，x2)时f′(x)＞0，故f(x)在(x1，x2)是增函数． (2)当a＞0，x＞0时，f′(x)＝3ax2＋6x＋3＞0，故当a＞0时，f(x)在区间(1，2)是增函数． 当a＜0时，f(x)在区间(1，2)是增函数当且仅当f′(1)≥0且f′(2)≥0，解得－≤a＜0. 综上，a的取值范围[）∪（0，+∞）． 【思路点拨】（Ⅰ）求出函数的导数，通过导数为0，利用二次函数的根，通过a的范围讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，推出f′（1）≥0且f′（2）≥0，即可求a的取值范围．