2019年高考数学 五年高考真题分类汇编 第五章 数列专题汇编 理.doc

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2019年高考数学 五年高考真题分类汇编 第五章 数列专题汇编 理 一.选择题 1.（xx·福建高考理）已知等比数列{an}的公比为q，记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N*)，则以下结论一定正确的是 (　　) A．数列{bn}为等差数列，公差为qm B．数列{bn}为等比数列，公比为q2m C．数列{cn}为等比数列，公比为qm2 D．数列{cn}为等比数列，公比为qmm 【解析】选C　本题考查等比数列的定义与通项公式、等差数列前n项和的公式等基础知识，意在考查考生转化和化归能力、公式应用能力和运算求解能力．等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1，所以cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m＝a1qm(n－1)·a1qm(n－1)＋1·…·a1qm(n－1)＋m－1＝aqm(n－1)＋m(n－1)＋1＋…＋m(n－1)＋m－1＝aqm2(n－1)＋＝aqm2(n－1)＋，因为＝＝qm2，所以数列{cn}为等比数列，公比为qm2. 2．（xx·辽宁高考理）下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题： p1：数列{an}是递增数列； p2：数列{nan}是递增数列； p3：数列是递增数列； p4：数列{an＋3nd}是递增数列． 其中的真命题为 (　　) A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4 【解析】选D　本题主要考查等差数列的通项公式和数列单调性的判断，意在以数列为载体，考查考生对一次函数、二次函数和反比例函数的掌握情况．设an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，它是递增数列，所以p1为真命题；若an＝3n－12，则满足已知，但nan＝3n2－12n并非递增数列，所以p2为假命题；若an＝n＋1，则满足已知，但＝1＋是递减数列，所以p3为假命题；设an＋3nd＝4dn＋a1－d，它是递增数列，所以p4为真命题． 3．（xx·新课标Ⅰ高考理）设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝ (　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【解析】选C　本题考查等差数列的定义、通项公式和前n项和公式，意在考查考生通过等差数列的定义、通项公式、前n项和公式求解基本量的能力．根据已知条件，得到am和am＋1，再根据等差数列的定义得到公差d，最后建立关于a1和m的方程组求解．由Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，得am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，所以等差数列的公差为d＝am＋1－am＝3－2＝1， 由 得解得选C. 4．（xx·新课标Ⅰ高考理）设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n＝1,2,3，….若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，则 (　　) A．{Sn}为递减数列 B.{Sn}为递增数列 C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列 【解析】选B　本题考查三角形面积公式和归纳推理等知识，意在考查考生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，对考生的归纳推理能力、逻辑思维能力要求较高．已知b1＞c1，b1＋c1＝2a1，a2＝a1，故b2＝＝c1＋b1＜b1，c2＝＝b1＋c1＞c1，b2＋c2＝a1＋＝2a1，b2－c2＝＜0，即b2＜c2，b2c2＝·＝(b1＋c1)2＋b1c1＞b1c1.又a3＝a2＝a1，所以b3＝＝c2＋b2＜b2，c3＝＝b2＋c2＞c2，b3＋c3＝＋＝2a2＝2a1，b3－c3＝c2＋b2－＝＞0，即b3＞c3，b3c3＝＝(b2＋c2)2＋b2c2＞b2c2＞b1c1.又△AnBnCn的面积为Sn＝ ＝ ，其中p＝(an＋bn＋cn)，p(p－an)和p2－(bn＋cn)p都为定值，bncn逐渐递增，所以数列{Sn}为递增数列，选择B. 5．（xx·新课标Ⅱ高考理）等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3 ＝ a2 ＋10a1 ，a5＝9，则a1＝ (　　) A. B．－ C. D．－ 【解析】选C　本题考查等比数列的基本知识，包括等比数列的前n项和及通项公式，属于基础题，考查考生的基本运算能力．由题知q≠1，则S3＝＝a1q＋10a1，得q2＝9，又a5＝a1q4＝9，则a1＝，故选C. 6．（xx·江西高考理）等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于 (　　) A．－24 B．0 C．12 D．24 【解析】选A　本题考查等比数列的通项以及等比数列的性质，意在考查考生的运算能力及对基础知识的掌握情况．由等比数列的前三项为x,3x＋3,6x＋6，可得(3x＋3)2＝x(6x＋6)，解得x＝－3或x＝－1(此时3x＋3＝0，不合题意，舍去)，故该等比数列的首项x＝－3，公比q＝＝2，所以第四项为(6x＋6)×q＝－24. 7．（xx·大纲卷高考理）已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于 (　　) A．－6(1－3－10) B.(1－310) C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10) 【解析】选C　本题考查等比数列的定义和前n项和公式．由3an＋1＋an＝0得an＋1＝－an，所以{an}为等比数列，公比为－，由a2＝－得a1＝4，所以由等比数列前n项和公式得S10＝3(1－3－10)，故选C. 8．（xx·安徽高考理）设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝ (　　) A．－6 B．－4 C．－2 D．2 【解析】选A　本题主要考查等差数列的基础知识和基本运算，意在考查考生的运算求解能力． 根据等差数列的定义和性质可得，S8＝4(a3＋a6)，又S8＝4a3，所以a6＝0，又a7＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6. 9．（xx·大纲卷高考理）已知数列{an}满足 3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于 (　　) A．－6(1－3－10) B.(1－310) C．3(1－3－10) D. 3(1＋3－10) 【解析】选C　本题主要考查等比数列的判定、等比数列的前n项和公式．因为3an＋1＋an＝0，即＝－，又a2＝－，所以数列{an}是以a1＝4为首项，q＝－为公比的等比数列，所以S10＝＝31－10＝3(1－3－10)． 10．（xx·新课标Ⅰ高考理）设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn， 则 (　　) A．Sn＝2an－1 B．Sn＝3an－2 C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－2an 【解析】选D　本题主要考查等比数列的前n项和公式，对基本计算能力有一定要求．由等比数列前n项和公式Sn＝，代入数据可得Sn＝3－2an. 11．（xx·辽宁高考文）下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题： p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列． 其中的真命题为 (　　) A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4 【解析】选D　本题主要考查等差数列的通项公式和数列单调性的判断，意在以数列为载体，考查考生对一次函数、二次函数和反比例函数的掌握情况．设an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，它是递增数列，所以p1为真命题；若an＝3n－12，则满足已知，但nan＝3n2－12n并非递增数列，所以p2为假命题；若an＝n＋1，则满足已知，但＝1＋是递减数列，所以p3为假命题；设an＋3nd＝4dn＋a1－d，它是递增数列，所以p4为真命题．　 12．（xx·重庆高考理）在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前5项和S5＝ (　　) A．7　　　　　　　　　 B．15 C．20 D．25 【解析】选B 数列{an}的公差d＝＝2，则a1＝－1，a5＝7，可得S5＝15. 13．（xx·辽宁高考理）在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11 ＝ ( 　　) A．58 B．88 C．143 D．176 【解析】选B 因为{an}是等差数列，所以a4＋a8＝2a6＝16⇒a6＝8，则该数列的前11项和为S11＝＝11a6＝88. 14．（xx·四川高考理）设函数f(x)＝2x－cos x，{an}是公差为的等差数列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a5)＝5π，则[f(a3)]2－a1a5＝ (　　) A．0 B.π2 C.π2 D.π2 【解析】选D 设g(x)＝2x＋sin x，由已知等式得g(a1－)＋g(a2－)＋…＋g(a5－)＝0，则必有a3－＝0，即a3＝(否则若a3－>0，则有(a1－)＋(a5－)＝(a2－)＋(a4－)＝2(a3－)>0，注意到g(x)是递增的奇函数，g(a3－)>0，g(a1－)>g[－(a5－)]＝－g(a5－)，g(a1－)＋g(a5－)>0，同理g(a2－)＋g(a4－)>0，g(a1－)＋g(a2－)＋…＋g(a5－)>0，这与“g(a1－)＋g(a2－)＋…＋g(a5－)＝0”相矛盾，因此a3－>0不可能；同理a3－<0也不可能)；又{an}是公差为的等差数列，a1＋2×＝，a1＝，a5＝，f(a3)＝f()＝π－cos ＝π，[f(a3)]2－a1a5＝π2. 15．（xx·上海高考理）设an＝sin，Sn＝a1＋a2＋…＋an.在S1，S2，…，S100中，正数的个数是 (　　) A．25 B．50 C．75 D．100 【解析】选D 由数列通项可知，当1≤n≤25，n∈N*时，an≥0，当26≤n≤50，n∈N*时，an≤0，因为a1＋a26>0，a2＋a27>0，…，所以S1，S2，…，S50都是正数；当51≤n≤100， n∈N*时，同理S51，S52，…，S100也都是正数，所以正数的个数是100. 16．（xx·大纲卷高考理）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选A 设数列{an}的公差为d，则a1＋4d＝5，S5＝5a1＋d＝15，得d＝1，a1＝1，故an＝1＋(n－1)×1＝n，所以＝＝－，所以S100＝1－＋－＋…＋－＝1－＝. 17．（xx·湖北高考理）定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”，现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数： ①f(x)＝x2; ②f(x)＝2x； ③f(x)＝； ④f(x)＝ln|x|. 则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为 (　　) A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【解析】选C 设等比数列{an}的公比为q，则{a}的公比为q2，{ }的公比为，其余的数列不是等比数列． 18．（xx·浙江高考理）设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是 (　　) A．若d＜0，则数列{Sn}有最大项 B．若数列{Sn}有最大项，则d＜0 C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn＞0 D．若对任意n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列 【解析】选C A、B、D均正确，对于C，若首项为－1，d＝2时就不成立． 19．（xx·福建高考理）等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】选B 在等差数列{an}中，∵a1＋a5＝10，∴2a3＝10，∴a3＝5，又a4＝7，∴所求的公差为2. 20．（xx·安徽高考理）公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝ (　　) A．4 B．5 C．6 D．7 【解析】选B 由题意可知a3a11＝a＝16，因为{an}为正项等比数列，所以a7＝4，所以log2a10＝log2(a7·23)＝log225＝5. 21．（xx·新课标高考理）已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10 ＝ (　　) A．7 B．5 C．－5 D．－7 【解析】选D 设数列{an}的公比为q，由 得或所以或 所以或所以a1＋a10＝－7. 22．（xx·湖北高考文）定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数： ①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝；④f(x)＝ln|x|. 则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为 (　　) A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【解析】选C 根据“保等比数列函数”的概念逐个判断．若{an}是等比数列，则{a}，{}也是等比数列，{2an}不一定是等比数列，{ln|an|}不一定是等比数列． 23．（xx·四川高考文）设函数f(x)＝(x－3)3＋x－1，{an}是公差不为0的等差数列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a7)＝14，则a1＋a2＋…＋a7＝ (　　) A．0 B．7 C．14 D．21 【解析】选D ∵f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a7)＝(a1－3)3＋(a2－3)3＋…＋(a7－3)3＋(a1－3)＋(a2－3)＋…＋(a7－3)＋14＝14， ∴(a1－3)3＋(a2－3)3＋…＋(a7－3)3＋(a1－3)＋…＋(a7－3)＝0. ∴(a1－3)3＋(a2－3)3＋…＋(a7－3)3＋7(a4－3)＝0. ∵(a1－3)3＋(a7－3)3＝(a1＋a7－6)[(a1－3)2＋(a7－3)2－(a1－3)(a7－3)]＝2(a4－3)[(a4－3)2＋27d2]，其中该数列公差为d. 同理(a2－3)3＋(a6－3)3＝2(a4－3)[(a4－3)2＋12d2]， (a3－3)3＋(a5－3)3＝2(a4－3)[(a4－3)2＋3d2]． ∴(a1－3)3＋(a2－3)3＋…＋(a7－3)3＋7(a4－3) ＝2(a4－3)[(a4－3)2＋27d2]＋2(a4－3)[(a4－3)2＋12d2]＋2(a4－3)[(a4－3)3＋3d2]＋(a4－3)3＋7(a4－3) ＝(a4－3)[7(a4－3)2＋84d2＋7]＝0. ∵d≠0，∴7(a4－3)2＋84d2＋7≠0. ∴a4－3＝0，a4＝3. ∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝7×3＝21. 24．（xx·辽宁高考文）在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝ (　　) A．12 B．16 C．20 D．24 【解析】选B 因为数列{an}是等差数列，所以a2＋a10＝a4＋a8＝16. 25．（xx·福建高考文）数列{an}的通项公式an＝ncos ，其前n项和为Sn，则S2 012等 于 (　　) A．1 006 B．2 012 C．503 D．0 【解析】选A 由题意知，a1＋a2＋a3＋a4＝2，a5＋a6＋a7＋a8＝2，…，a4k＋1＋a4k＋2＋a4k＋3＋a4k＋4＝2，k∈N，故S2 012＝503×2＝1 006. 26．（xx·安徽高考文）公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5 ＝ (　　) A．1 B．2 C．4 D．8 【解析】选A 因为a3a11＝a，又数列{an}的各项都是正数，所以解得a7＝4，由a7＝a5·22＝4a5，求得a5＝1. 27．（xx·北京高考文）已知{an}为等比数列．下面结论中正确的是 (　　) A．a1＋a3≥2a2 B．a＋a≥2a C．若a1＝a3，则a1＝a2 D．若a3>a1，则a4>a2 【解析】选B 设公比为q，对于选项A，当a1<0，q≠1时不正确；选项C，当q＝－1时不正确；选项D，当a1＝1，q＝－2时不正确；选项B正确，因为a＋a≥2a1a3＝2a. 28．（xx·大纲卷高考文）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝(　　) A．2n－1 B.n－1 C.n－1 D. 【解析】选B 令n＝1，则得a2＝，故S2＝1＋＝，然而22－1＝2≠，故选项A错．()2－1＝.()2－1＝≠，故选项C错.＝≠，故选项D错． 29．（xx·新课标高考文）数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和 为 (　　) A．3 690 B．3 660 C．1 845 D．1 830 【解析】选D 不妨令a1＝1，根据题意，得a2＝2，a3＝a5＝a7＝…＝1，a4＝6，a6＝10，…，所以当n为奇数时，an＝1，当n为偶数时构成以a2＝2为首项，以4为公差的等差数列．所以前60项和为S60＝30＋2×30＋×4＝1 830. 30．（2011·大纲卷高考）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝ (　　) A．8 B．7 C．6 D．5 【解析】选D 依题意得Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝2a1＋(2k＋1)d＝2(2k＋1)＋2＝24，解得k＝5，选D. 31．（2011·江西高考）已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1.那么a10 ＝ (　　) A．1 B．9 C．10 D．55 【解析】选A 由Sn＋Sm＝Sn＋m，得S1＋S9＝S10⇒a10＝S10－S9＝S1＝a1＝1. 32．（2011·四川高考）数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N*)．若b3＝－2，b10＝12，则a8＝ (　　) A．0 B．3 C．8 D．11 【解析】选B 因为{bn}是等差数列，且b3＝－2，b10＝12， 故公差d＝＝2.于是b1＝－6， 且bn＝2n－8(n∈N*)，即an＋1－an＝2n－8， 所以a8＝a7＋6＝a6＋4＋6＝a5＋2＋4＋6＝…＝a1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3. 33．（2011·天津高考）已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为 (　　) A．－110 B．－90 C．90 D．110 【解析】选D 因为a7是a3与a9的等比中项，所以a＝a3a9，又因为公差为－2，所以(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，解得a1＝20， 通项公式为an＝20＋(n－1)(－2)＝22－2n， 所以S10＝＝5(20＋2)＝110，故选择D. 34. （xx·浙江高考理）设为等比数列的前项和，，则 （ ） A.11 B.5 C. D. 【解析】选D 通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求式可知答案选D. 35.（xx·辽宁高考理）设{an}是有正数组成的等比数列，为其前n项和.已知a2a4=1, ,则 （ ） A. B. C. D. 【解析】选B 由a2a4=1可得，因此，又因为，联力两式有，所以q=,所以，故选B. 36.（xx·浙江高考文）设为等比数列的前n项和，则 （ ） A.-11 B.-8 C.5 D.11 【解析】选A 通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求式可知答案选A. 37.（xx·四川高考理）已知数列的首项，其前项的和为，且，则 （ ） A.0 B. C.1 D.2 【解析】选B 由,且，作差得an＋2＝2an＋1， 又S2＝2S1＋a1，即a2＋a1＝2a1＋a1 Þ a2＝2a1w_w w. k#s5_u.c o*m 故{an}是公比为2的等比数列. Sn＝a1＋2a1＋22a1＋……＋2n－1a1＝(2n－1)a1 则 38.（xx·天津高考理）已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为 （ ） A.或5 B.或5 C. D. 【解析】选C 显然q1，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列， 前5项和. 39.（xx·广东高考理）已知为等比数列，Sn是它的前n项和.若， 且与2的等差中项为，则= （ ）w_w w.k*s_5 u.c o_m A．35 B.33 C.31 D.29 【解析】选C 设{}的公比为，则由等比数列的性质知，，即.由与2的等差中项为知，，即． ∴，即．，即． 40.（xx·福建高考理）设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,n等于 （ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【解析】选A 设该数列的公差为，则，解得，所以，所以当时，取最小值. 41．（xx·广东高考）已知等比数列满足，且，则当时， （ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【解析】选C 由得，，则， ，选C. 42．（xx·辽宁高考）设等比数列{ }的前n 项和为 ，若 =3 ，则 = （ ）Ａ． 2 B. C. D.3 【答案】 选B ，，. 二.填空题 43．（xx·湖南高考理）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－，n∈N*，则 (1)a3＝________； (2)S1＋S2＋…＋S100＝________. 【解析】本小题主要考查数列的递推关系、等比数列的求和等知识，考查推理论证能力及分类讨论思想． (1)当n＝1时，S1＝(－1)a1－，得a1＝－. 当n≥2时，Sn＝(－1)n(Sn－Sn－1)－.当n为偶数时，Sn－1＝－，当n为奇数时，Sn＝Sn－1－，从而S1＝－，S3＝－，又由S3＝S2－＝－，得S2＝0，则S3＝S2＋a3＝a3＝－. (2)由(1)得S1＋S3＋S5＋…＋S99＝－－－－…－，S101＝－， 又S2＋S4＋S6＋…＋S100＝2S3＋＋2S5＋＋2S7＋＋…＋2S101＋＝0，故S1＋S2＋…＋S100＝. 【答案】－　 44．（xx·辽宁高考理）已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________. 【解析】本题主要考查等比数列的性质、通项公式、求和公式，意在考查考生对等比数列公式的运用，以及等比数列性质的应用情况．由题意得，a1＋a3＝5，a1a3＝4，由数列是递增数列得，a1＝1，a3＝4，所以q＝2，代入等比数列的求和公式得S6＝63. 【答案】63 45.（xx·安徽高考理）如图，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…，分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等．设OAn＝an.若a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式是________． 【解析】本题考查由数列递推求通项、三角形相似以及平行线分线段成比例等知识．令S△OA1B1＝m(m>0)，因为所有AnBn平行且a1＝1，a2＝2，所以S梯形AnBnBn＋1An＋1＝S梯形A1B1B2A2＝3m，当n≥2时，＝＝＝， 故a＝a， a＝a， a＝a， … a＝a， 以上各式累乘可得：a＝(3n－2)a，因为a1＝1， 所以an＝. 【答案】an＝ 46．（xx·重庆高考理）已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________. 【解析】本题考查等差、等比数列的基本量运算，意在考查考生的基本运算能力．因为{an}为等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，所以a1(a1＋4d)＝(a1＋d)2，解得d＝2a1＝2，所以S8＝64. 【答案】64 47．（xx·新课标Ⅰ高考理）若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________. 【解析】本题考查等比数列的定义、Sn与an之间的关系，意在考查考生利用分类讨论思想和等比数列的定义求解an的能力．求解本题时，按照n＝1和n≥2两种情况分类解答，当n≥2时，由已知得到Sn－1＝an－1＋，然后作差得an的表达形式，再利用等比数列的定义和通项公式求解．当n＝1时，由已知Sn＝an＋，得a1＝a1＋，即a1＝1；当n≥2时，由已知得到Sn－1＝an－1＋，所以an＝Sn－Sn－1＝－＝an－an－1, 所以an＝－2an－1，所以数列{an}为以1为首项，以－2为公比的等比数列，所以an＝(－2)n－1. 【答案】(－2)n－1 48. （xx·新课标Ⅱ高考理）等差数列{an}的前n项和为Sn ，已知S10＝0，S15＝25，则nSn 的最小值为________． 【解析】本题考查等差数列的前n项和公式以及通过转化利用函数的单调性判断数列的单调性等知识，对学生分析、转化、计算等能力要求较高． 由已知解得a1＝－3， d＝，那么nSn＝n2a1＋d＝－.由于函数f(x)＝－在x＝处取得极小值，因而检验n＝6时，6S6＝－48，而n＝7时，7S7＝－49. ∴nSn 的最小值为－49. 【答案】－49 49．（xx·北京高考理）若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________. 【解析】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查方程思想以及考生的运算求解能力． 由题意知q＝＝2，又a2＋a4＝20，故a1q＋a1q3＝20，解得a1＝2，所以Sn＝2n＋1－2. 【答案】2　2n＋1－2 50．（xx·广东高考理）在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________. 【解析】本题主要考查等差数列，考查考生的运算能力．利用等差数列的性质可快速求解．因为a3＋a8＝10，所以3a5＋a7＝2(a3＋a8)＝20. 【答案】20 51．（xx·湖北高考理）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式： 三角形数　　　N(n,3)＝n2＋n， 正方形数 N(n,4)＝n2， 五边形数 N(n,5)＝n2－n， 六边形数 N(n,6)＝2n2－n， …… 可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝________. 【解析】本题主要考查数列的相关知识，意在考查考生对等差数列的定义、通项公式的掌握程度． N(n，k)＝akn2＋bkn(k≥3)，其中数列{ak}是以为首项，为公差的等差数列；数列{bk}是以为首项，－为公差的等差数列；所以N(n,24)＝11n2－10n，当n＝10时，N(10,24)＝11×102－10×10＝1 000. 【答案】1 000 52．（xx·北京高考文）若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________. 【解析】本题主要考查等比数列的基础知识，意在考查考生的计算能力． 由题知解得 故Sn＝＝2n＋1－2. 【答案】2　2n＋1－2 53．（xx·重庆高考文）若2，a，b，c,9成等差数列，则c－a＝________. 【解析】本题主要考查等差数列的基本运算． 设公差为d，则d＝＝，所以c－a＝2d＝. 54．（xx·江苏高考文）在正项等比数列{an}中，a5＝，a6＋a7＝3.则满足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an的最大正整数n的值为________． 【解析】本题主要考查等比数列的基本性质，意在考查学生的运算能力． 设等比数列{an}的公比为q(q>0)．由a5＝，a6＋a7＝3，可得(q＋q2)＝3，即q2＋q－6＝0，所以q＝2，所以an＝2n－6，数列{an}的前n项和Sn＝2n－5－2－5，所以a1a2…an＝(a1an)＝2，由a1＋a2＋…＋an>a1a2…an可得2n－5－2－5>2，由2n－5>2，可求得n的最大值为12，而当n＝13时，28－2－5>213不成立，所以n的最大值为12. 【答案】12 55．（xx·江西高考文）某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________． 【解析】本题主要考查等比数列的概念与前n项和等基础知识，考查实际建模的能力以及分析、解决问题的能力．设每天植树的棵数组成的数列为{an}，由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，所以由题意可得≥100，即2n≥51，而25＝32,26＝64，n∈N*，所以n≥6. 【答案】6 56．（xx·广东高考文）设数列{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝________. 【解析】本题主要考查等比数列通项等知识，意在考查考生的运算求解能力．依题意得a1＝1，a2＝－2，a3＝4，a4＝－8，所以a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝15. 【答案】15 57．（xx·辽宁高考文）已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________. 【解析】本题主要考查等比数列的性质、通项公式、求和公式，意在考查考生对等比数列公式的运用，以及等比数列性质的应用情况．由题意得，a1＋a3＝5，a1a3＝4，由数列是递增数列得，a1＝1，a3＝4，所以q＝2，代入等比数列的求和公式得S6＝63. 【答案】63 58．（xx·广东高考理）已知递增的等差数列|an|满足a1＝1，a3＝a22－4，则an＝________. 【解析】设等差数列{an}的公差为d， 由已知得即 解得 由于等差数列{an}是递增的等差数列，因此 所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1. 【答案】2n－1 59．（xx·江西高考理）设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________. 【解析】法一：设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35. 法二：∵2a3＝a1＋a5,2b3＝b1＋b5， ∴a5＋b5＝2(a3＋b3)－(a1＋b1) ＝2×21－7＝35. 【答案】35 60．（xx·上海高考理）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，Vn，…，则lim,n―→∞ (V1＋V2＋…＋Vn)＝________. 【解析】由条件可得正方体的体积组成以1为首项、为公比的等比数列，所以原式＝＝. 【答案】 61．（xx·四川高考理）记[x]为不超过实数x的最大整数．例如，[2]＝2，[1.5]＝1， [－0.3]＝－1，设a为正整数，数列{xn}满足x1＝a，xn＋1＝[](n∈N*)．现有下列命题： ①当a＝5时，数列{xn}的前3项依次为5,3,2； ②对数列{xn}都存在正整数k，当n≥k时总有xn＝xk； ③当n≥1时，xn> －1； ④对某个正整数k，若xk＋1≥xk，则xk＝[ ]． 其中的真命题有__________．(写出所有真命题的编号) 【解析】对于①，当a＝5时，x1＝5，x2＝[]＝3，x3＝[]＝2，因此①正确． 对于②，当a＝3时，x1＝3，x2＝2，x3＝1，x4＝2，x5＝1，x6＝2，x7＝1，…，此时数列{xn}除第一项外，从第二项起以后的项是以2为周期重复性出现的，此时不存在正整数k，使得当n≥k时，总有xn＝xk，②不正确． 对于③，注意到xn∈N*，且x1＝a，x1－(－1)＝a－＋1＝(－)2＋>0，即x1>－1，若xn＋[]是正奇数，则xn＋1＝>≥＝－1；若xn＋[]是正偶数，则xn＋1＝>≥＝－1，综上所述，当n≥1时， xn>－1成立，因此③正确． 对于④，依题意得知xk＋1－xk≥0，－xk≥0， 即[]－xk≥0，－xk≥[]－xk≥0，－xk≥0， xk≤；又由③得知xk>－1，于是有－10⇒a1>0，又数列{an}递增，所以q＝2.a＝a10>0⇒(a1q4)2＝a1q9⇒a1＝q＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n. 【答案】2n 63．（xx·北京高考理）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝，S2＝a3，则a2＝________；Sn＝________. 【解析】设等差数列的公差为d，则2a1＋d＝a1＋2d，把a1＝代入得d＝，所以a2＝a1＋d＝1，Sn＝na1＋d＝n(n＋1)． 【答案】1　n(n＋1) 64．（xx·浙江高考理）设公比为q(q＞0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝____________. 【解析】∵S4－S2＝a3＋a4＝3(a4－a2)，∴a2(q＋q2)＝3a2(q2－1)， 解得q＝－1(舍去)或q＝. 【答案】 65．（xx·福建高考理）数列{an}的通项公式an＝ncos＋1，前n项和为Sn，则S2 012＝________. 【解析】∵an＝ncos＋1，∴a1＋a2＋a3＋a4＝6，a5＋a6＋a7＋a8＝6，…，a4k＋1＋a4k＋2＋ a4k＋3＋a4k＋4＝6，k∈N，故S2 012＝503×6＝3 018. 【答案】3 018 66．（xx·新课标高考理）数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为________． 【解析】由an＋1＋(－1)nan＝2n－1得 an＋2＝(－1)nan＋1＋2n＋1＝(－1)n[(－1)n－1an＋2n－1]＋2n＋1＝－an＋(－1)n(2n－1)＋2n＋1， 即an＋2＋an＝(－1)n(2n－1)＋2n＋1，　① 也有an＋3＋an＋1＝－(－1)n(2n＋1)＋2n＋3，　② ①②两式相加得an＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝－2(－1)n＋4n＋4. 设k为整数，则a4k＋1＋a4k＋2＋a4k＋3＋a4k＋4＝－2(－1)4k＋1＋4(4k＋1)＋4＝16k＋10， 于是S60＝(a4k＋1＋a4k＋2＋a4k＋3＋a4k＋4)＝(16k＋10)＝1 830. 【答案】1 830 67．（xx·湖北高考文）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数： 将三角形数1,3,6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}．可以推测： (1)bxx是数列{an}中的第________项； (2)b2k－1＝________.(用k表示) 【解析】求出数列{an}，{bn}的通项公式．由题意可得an＝1＋2＋3＋…＋n＝，n∈N*，故b1＝a4，b2＝a5，b3＝a9，b4＝a10，b5＝a14，b6＝a15，由上述规律可知：b2k＝a5k＝(k为正整数)，b2k－1＝a5k－1＝＝， 故b2 012＝b2×1 006＝a5×1 006＝a5 030，即b2 012是数列{an}中的第5 030项. 【答案】(1)5 030；(2) 68．（xx·辽宁高考文）已知等比数列{an}为递增数列．若a1>0，且2(an＋an＋2)＝ 5an＋1，则数列{an}的公比q＝________. 【解析】因为数列{an}是等比数列，所以2(an＋an＋2)＝5an＋1可变为2(1＋q2)＝5q，也就是2q2－5q＋2＝0，因为数列{an}是递增数列且a1>0，所以q>1，解方程得q＝2或q＝(舍去)． 【答案】2 69．（xx·江苏高考文）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________． 【解析】由题意得an＝(－3)n－1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以p＝＝. 【答案】 70．（xx·上海高考文）已知f(x)＝.各项均为正数的数列{an}满足a1＝1，an＋2＝f(an)．若a2 010＝a2 012，则a20＋a11的值是________． 【解析】由题知an＋2＝，又a2 010＝a2 012＝，∴a＋a2 010＝1， 又an>0，∴a2 010＝，又a2 010＝＝，∴a2 008＝，同理可得 a2 006＝…＝a20＝， 又a1＝1，∴a3＝，a5＝＝，a7＝＝，a9＝＝， a11＝＝， ∴a20＋a11＝＋＝. 【答案】 71．（xx·北京高考文）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＝，S2＝a3，则a2＝________；Sn＝________. 【解析】设公差为d，则由S2＝a3得2a1＋d＝a1＋2d，所以d＝a1＝，故a2＝a1＋d＝1，Sn＝ na1＋d＝. 【答案】1　 72．（xx·广东高考文）若等比数列{an}满足a2a4＝，则a1aa5＝________. 【解析】等比数列{an}中，因为a2a4＝，所以a＝a1a5＝a2a4＝，所以a1aa5＝. 【答案】 73．（xx·湖南高考文）对于n∈N*，将n表示为n＝ak×2k＋ak－1×2k－1＋…＋a1×21＋a0×20，当i＝k时，ai＝1，当0≤i≤k－1时，ai为0或1.定义bn如下：在n的上述表示中，当a0，a1，a2，…，ak中等于1的个数为奇数时，bn＝1；否则bn＝0. (1)b2＋b4＋b6＋b8＝________； (2)设cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m＋1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是________． 【解析】(1)2＝1×21＋0×20，b2＝1；4＝1×22＋0×21＋0×20，b4＝1；6＝1×22＋1×21＋0×20，b6＝0；8＝1×23＋0×22＋0×21＋0×20，b8＝1； 故b2＋b4＋b6＋b8＝3. (2)设bn中第m个为0的项为bi，即bi＝0，构造二进制数，(i)10＝(akak－1…a1a0)，则akak－1…a1a0中1的个数为偶数，当a2a1a0＝000时，bi＋1＝1，bi＋2＝1，bi＋3＝0，cm＝2；当a2a1a0＝001时，bi＋1＝1，bi＋2＝0，cm＝1；当a2a1a0＝010时，bi＋1＝1