2019-2020年高考数学一轮复习 4.1平面向量的基本概念及线性运算课后自测 理.doc

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2019-2020年高考数学一轮复习 4.1平面向量的基本概念及线性运算课后自测 理 A组　基础训练 一、选择题 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则(　　) A.＋＝0 B.＋＝0 C.＋＝0 D.＋＋＝0 【解析】　由＋＝2知，点P是线段AC的中点， 则＋＝0. 【答案】　B 2．(xx·佛山调研)已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件是(　　) A．λ＝0 B．e2＝0 C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0 【解析】　若e1与e2共线，则e2＝λ′e1， ∴a＝(1＋λλ′)e1，此时a∥b，若e1与e2不共线，设a＝μb，则e1＋λe2＝μ·2e1，∴λ＝0,1－2μ＝0. 【答案】　D 3．下列命题中是真命题的是(　　) ①对任意两向量a、b，均有：|a|－|b|＜|a|＋|b|； ②对任意两向量a、b，a－b与b－a是相反向量； ③在△ABC中，＋－＝0； ④在四边形ABCD中，(＋)－(＋)＝0. A．①②③ B．②④ C．②③④ D．②③ 【解析】　①假命题．∵当b＝0时，|a|－|b|＝|a|＋|b|. ∴该命题不成立． ②真命题，这是因为(a－b)＋(b－a)＝0， ∴a－b与b－a是相反向量． ③真命题．∵＋－＝－＝0. ④假命题．∵＋＝，＋＝， ∴(＋)－(＋)＝－＝＋≠0， ∴该命题不成立． 【答案】　D 图4－1－2 4．如图4－1－2所示，向量＝a，＝b，＝c，A、B、C在一条直线上，若＝－3，则(　　) A．c＝－a＋b B． c＝a－b C．c＝－a＋2b D．c＝a＋2b 【解析】　∵＝＋＝＋3＝＋3(－)＝3＋－3， ∴2＝－＋3， ∴c＝＝－a＋b. 【答案】　A 5．(xx·浙江高考)设a，b是两个非零向量(　　) A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b| C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b| 【解析】　由|a＋b|＝|a|－|b|知(a＋b)2＝(|a|－|b|)2， ∴a2＋2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2， ∴a·b＝－|a||b|. ∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，∴cos〈a，b〉＝－1， 因此A不正确，C正确(如λ＝－1)， 若a⊥b，则|a＋b|＝|a－b|≠|a|－|b|，B不正确． 对于D，当λ＝1时，显然不成立． 【答案】　C 二、填空题 6．设a，b是两个不共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为________． 【解析】　∵＝＋＝2a－b， 又A，B，D三点共线， ∴存在实数λ，使＝λ. 即∴p＝－1. 【答案】　－1 7．(xx·揭阳模拟)已知点O为△ABC外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于________． 【解析】　由＋＋＝0，知点O为△ABC重心， 又O为△ABC外接圆的圆心， ∴△ABC为等边三角形，A＝60°. 【答案】　60° 8．(xx·扬州质检)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，＝16，|＋|＝|－|，则||＝________. 【解析】　如图所示，以AB、AC为邻边构造平行四边形ABDC，且AD、BC相交于一点M. ∵＋＝，－＝，且|＋|＝|－|， ∴||＝||，则四边形ABDC是矩形． 由＝16，得||＝4， ∴||＝||＝||＝2. 【答案】　2 三、解答题 9．已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足＋＋＝0，＝λ，求实数λ的值． 【解】　如图所示，由＝λ，且＋＋＝0，则P是以AB、AC为邻边的平行四边形的第四个顶点． 因此＝－2，则λ＝－2. 10．设a，b是不共线的两个非零向量． (1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A、B、C三点共线． (2)若＝a＋b，＝2a－3b，＝2a－kb，且A、C、D三点共线，求k的值． 【解】　(1)证明　＝－＝a＋2b， ＝－＝－a－2b. 所以＝－， 又因为A为公共点， 所以A、B、C三点共线． (2)＝＋＝(a＋b)＋(2a－3b)＝3a－2b， 因为A、C、D三点共线，所以与共线． 从而存在实数λ使＝λ，即3a－2b＝λ(2a－kb)， 得解得λ＝，k＝， 所以k＝. B组　能力提升 1．(xx·青岛调研)已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m，使得＋＝m成立，则m＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】　如图所示，由＋＋＝0知，点M为△ABC的重心， 设点D为边BC的中点，则由向量加法可知：＋＝＝2. 由重心性质，＝，则＝， 所以＋＝2＝3，因此m＝3. 【答案】　B 2．(xx·常州质检)若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积比为________． 【解析】　设AB的中点为D，由5＝＋3，得3－3＝2－2，即3＝2. 如图所示，故C，M，D三点共线，且＝，则△ABM与△ABC的面积比为. 【答案】　 3．设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)．求点P的轨迹，并判断点P的轨迹通过下述哪一个定点： ①△ABC的外心；②△ABC的内心；③△ABC的重心； ④△ABC的垂心． 【解】　如图，记＝，＝，则，都是单位向量， ∴||＝||，＝＋，则四边形AMQN是菱形，∴AQ平分∠BAC. ∵＝＋，由条件知＝＋λ， ∴＝λ(λ∈[0，＋∞))， ∴点P的轨迹是射线AQ，且AQ通过△ABC的内心．