高考数学一轮复习 6-3 等比数列及其前n项和课件 新人教A版.ppt

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最新考纲 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及前n项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系．,第3讲 等比数列及其前n项和,1．等比数列的定义 如果一个数列从第___项起，每一项与它的前一项的比等于_______非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_____，公比通常用字母q(q≠0)表示.,知 识 梳 理,2,同一个,公比,q,2. 等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝_______； 通项公式的推广：an＝amqn－m.,a1qn－1,3．等比数列及前n项和的性质 (1)如果__________成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇔_______. (2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈ N*)，则ak·al＝______． (3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak， ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为____． (4)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn， S3n－S2n仍成等比数列，其公比为___．,a，G，b,G2＝ab,am·an,qm,qn,,诊 断 自 测,×,×,×,×,2．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10等于 ( ) A．7 B．5 C．－5 D．－7,答案 D,3．(2014·大纲全国卷)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝ ( ) A．31 B．32 C．63 D．64 解析 由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.故选C. 答案 C,4．(2014·广东卷)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________． 解析 由等比数列的性质可知，a10a11＋a9a12＝2e5，所以a10·a11＝e5，于是ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝10ln(a10·a11)＝10ln e5＝50. 答案 50,5．(人教A必修5P54A8改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 解析 设该数列的公比为q，由题意知， 243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3. 所以插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81. 答案 27，81,考点一 等比数列中基本量的求解 【例1】 (1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于 ( ),答案 (1)B (2)2n－3 (3)6 规律方法 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．,【训练1】 在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和．,考点二 等比数列的性质及应用 【例2】 (1)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝ ( ) A．4 B．5 C．6 D．7,规律方法 (1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．,答案 (1)C (2)A,考点三 等比数列的判定与证明 【例3】 已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n. (1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{bn}的通项公式．,深度思考 若本题除去第(1)问后如何求bn？在这里给大家介绍一种方法：构造法，如本例中构造等比数列{an－1}．,(1)证明 ∵an＋Sn＝n， ① ∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1. ② ②－①得an＋1－an＋an＋1＝1， ∴2an＋1＝an＋1， ∴2(an＋1－1)＝an－1，,【训练3】 成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{bn}中的b3，b4，b5. (1)求数列{bn}的通项公式；,(1)解 设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d，依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5. 所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d，10，18＋d. 依题意，有(7－d)(18＋d)＝100， 解得d＝2或d＝－13(舍去)． 故{bn}的第3项为5，公比为2，,[易错防范] 1．特别注意q＝1时，Sn＝na1这一特殊情况． 2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. 3．在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误． 4．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n未必成等比数列(例如：当公比q＝－1且n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比数列；当q≠－1或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列)，但等式(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)总成立.,