高考数学一轮复习 6-7 数学归纳法课件 理 新人教A版.ppt

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第七节 数学归纳法,最新考纲展示 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．,数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 1．(归纳奠基)证明当n取____________________时命题成立． 2．(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当__________时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．,第一个值n0(n0∈N*),n＝k＋1,1．数学归纳法的框图表示： 2．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据． 3．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n＝n0的n0不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值．,,解析：三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n＝3. 答案：C,解析：根据数学归纳法的步骤可知，则n＝k(k≥2为偶数)下一个偶数为k＋2，故选B. 答案：B,解析：项数为n2－(n－1)＝n2－n＋1. 答案：D,例1 已知等差数列{an}的公差为3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为2，且a1＝b1＝2. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式； (2)记Tn＝anb1＋an－1b2＋…＋a1bn，n∈N*，证明Tn＋12＝－2an＋10bn(n∈N*)． 解析 (1)由a1＝2，公差d＝3， ∴an＝a1＋(n－1)d＝3n－1. 在等比数列{bn}中，公比q＝2，首项b1＝2， ∴bn＝2·2n－1＝2n.,用数学归纳法证明等式(师生共研),(2)证明：①当n＝1时，T1＋12＝a1b1＋12＝16，－2a1＋10b1＝16，故等式成立； ②假设当n＝k时等式成立， 即Tk＋12＝－2ak＋10bk， 当n＝k＋1时， Tk＋1＝ak＋1b1＋akb2＋ak－1b3＋…＋a1bk＋1 ＝ak＋1b1＋q(akb1＋ak－1b2＋…＋a1bk) ＝ak＋1b1＋qTk ＝ak＋1b1＋q(－2ak＋10bk－12) ＝2ak＋1－4(ak＋1－3)＋10bk＋1－24 ＝－2ak＋1＋10bk＋1－12， 即Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1. 因此n＝k＋1时等式也成立． 由①、②可知，对任意n∈N*，Tn＋12＝－2an＋10bn成立．,规律方法 (1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少． (2)由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程．,1．求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)． 证明：(1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝21·1＝2，∴等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)． 当n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)·…·2k·(2k＋1)(2k＋2) ＝2·(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)·(2k＋1) ＝2·2k·1·3·5·…·(2k－1)·(2k＋1) ＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)． 这就是说当n＝k＋1时，等式成立． 根据(1)、(2)知，对n∈N*，原等式成立．,用数学归纳法证明不等式(师生共研),规律方法 用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．,2．若函数f(x)＝x2－2x－3，定义数列{xn}如下：x1＝2，xn＋1是过点P(4,5)、Qn(xn，f(xn))的直线PQn与x轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2≤xnxn＋13.,归纳——猜想——证明(师生共研),规律方法 “归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性．,解析：∵f ′(x)＝x2－1，an＋1≥f ′(an＋1)， ∴an＋1≥(an＋1)2－1. ∵函数g(x)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x在区间[1，＋∞)上单调递增，于是由a1≥1，得a2≥(a1＋1)2－1≥22－1， 进而得a3≥(a2＋1)2－1≥24－123－1， 由此猜想：an≥2n－1. 下面用数学归纳法证明这个猜想：,