高考数学一轮复习 几何证明选讲 第2课时 圆课件 理（选修4-1）.ppt

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,,选考部分 选修系列4,1．会证圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理． 2．会证相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理． 3．了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，体会平行投影；证明平面与圆柱面的截面是椭圆(特殊情形是圆)．,请注意 此部分为选考重点，广东、全国卷Ⅰ等省多年均有考查．,1．圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_____． 2．圆心角定理 圆心角的度数等于__________的度数． 推论1：同弧或等弧所对的______相等；同圆或等圆中相等的圆周角对的___也相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角对的弦是直径．,一半,它所对的弧,圆周角,弧,3．圆内接四边形性质定理 ①_____互补．②外角等于它的_______． 判定定理：如果一个四边形的______互补，那么这个四边形四个顶点共圆． 推论：如果四边形的一个外角等于它的______，那么这个四边形四个顶点共圆．,对角,内对角,对角,内对角,4．圆的切线 (1)切线判定定理：经过半径外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (2)切线性质定理：圆的切线____于经过切点的半径． 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点． 推论2：经过切点垂直于切线的直线必经过____． (3)弦切角定理：弦切角等于它所夹弧对的圆周角．,垂直,圆心,5．与圆有关的比例线段 (1)相交弦定理：圆的两条相交弦被交点分成的两条线段长的___相等． (2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的___相等． (3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长的________． (4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点连线平分___________．,积,积,比例中项,两切线夹角,答案 A,,3．(2014·湖北理) 如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD ＝3，则PB＝________. 答案 4 解析 由题意知PA＝PB.PA切⊙O于点A. 由切割线定理可得QA2＝QC·QD＝1×(1＋3)＝4. ∴QA＝2，∴PA＝2×2＝4＝PB.,,4.如右图所示，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则∠DAC＝________. 答案 30° 解析 由弦切角定理，可知∠DCA＝∠B＝60°.又AD⊥l，故∠DAC＝30°.,,5．(2013·广东理) 如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上．延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，则BC＝________.,,,6.如图，AE是圆的切线，A是切点，AD⊥OE于点D，割线EC交圆于B，C两点． (1)证明：O，D，B，C四点共圆； (2)设∠DBC＝50°，∠ODC＝30°，求∠OEC的大小． 答案 (1)略 (2)20°,,,(2)连接OB.因为∠OEC＋∠OCB＋∠COE＝180°，结合(1)得∠OEC＝180°－∠OCB－∠COE＝180°－∠OBC－∠DBE＝180°－∠OBC－(180°－∠DBC)＝∠DBC－∠ODC＝20°.,例1 已知⊙O是△ABC的外接圆，⊙I是△ABC的内切圆，∠A＝80°，那么∠BOC＝______，∠BIC＝______.,题型一 圆周角与圆心角,,【答案】 160°，130° 探究1 (1)圆周角定理是一个十分重要的定理，涉及圆周角相等的结论很难用其他结论代替．由圆周角定理易知，同一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的2倍． (2)三角形的内心是内切圆的圆心，是三角形三条内角平分线的交点．,(1)如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于________． 【解析】 连接AO，OB，因为∠ACB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB为等边三角形．故圆O的半径r＝OA＝AB＝4，圆O的面积S＝πr2＝16π. 【答案】 16π,思考题1,,(2)如图，已知直线AB交⊙O于A，B两点，点M在圆上，点P在圆外，且点M，P在AB的同侧，∠AMB＝35°，设∠APB＝x，当点P移动时，x的变化范围是________．,,【解析】 因为P在⊙O外，设AP与⊙O交于点E，连接BE，如图，则∠AEB＝∠AMB＝35°.又∠AEB∠APB，所以∠APB0°，所以0°x35°. 【答案】 0°x35°,例2 如图，BD是⊙O的直径，E是⊙O上的一点，直线CE交BD的延长线于A点，BC⊥AE于C点，且∠CBE＝∠DBE. 求证：AC是⊙O的切线．,题型二 圆的切线,,【证明】 连接OE，由OE＝OB，得∠OEB＝∠OBE. ∵∠CBE＝∠DBE，∴∠CBE＝∠OEB. ∴OE∥BC.又BC⊥AE，∴OE⊥AC. ∴AC是⊙O的切线． 【答案】 略,探究2 (1)过切点的半径是一条重要的辅助线，凡涉及切线的问题都要注意应用，简称“见切点，连半径”． (2)当两圆相切时，过切点的公切线是重要辅助线，注意应用．,如图，已知圆上的弧A＝B，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明： (1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BE×CD.,思考题2,,【答案】 略,例3 (1)如图，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°.以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M. ①求证：O，B，D，E四点共圆； ②求证：2DE2＝DM·AC＋DM·AB.,题型三 圆内接四边形与四点共圆,,【证明】 ①连接BE，则BE⊥EC. 又D是BC的中点， ∴DE＝BD. 又∵OE＝OB，OD＝OD， ∴△ODE≌△ODB. ∴∠OBD＝∠OED＝90°. ∴O，B，D，E四点共圆．,,【答案】 略,(2)梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过B引⊙O的切线分别交DA，CA的延长线于E，F. ①求证：AB2＝AE·BC； ②已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，求EF的长．,探究3 (1)证明四点共圆是高考常考题型，常见的证明方法有：①定义法—到定点距离相等；②如果某两点在一条线段的同侧时，可证明两点对该线段的张角相等；③证明凸四边形的内对角互补(或外角等于它的内对角)等． (2)圆内接四边形的性质定理是探求圆中角相等或互补关系的常用定理，使用时要注意观察图形，要弄清四边形的外角和它的内对角的位置．其性质定理是沟通角的相等关系的重要依据，解题时要注意与圆周角定理、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系以及垂径定理的联系与综合．,(1)如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，K，M分别在AD，BC上，∠DAM＝∠CBK. 求证：∠DMA＝∠CKB.,思考题3,,【答案】 略,(2)如右图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点． ①证明：A，P，O，M四点共圆； ②求∠OAM＋∠APM的大小．,,【解析】 ①连接OP，OM， 因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP. 因为M是⊙O中弦BC的中点，所以OM⊥BC. 于是∠OPA＋∠OMA＝180°，由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆．,②由①，得A，P，O，M四点共圆，所以∠OAM＝∠OPM. 由①，得OP⊥AP. 由圆心O在∠PAC的内部，可知∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°. 【答案】 ①略 ②90°,例4 如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明： (1)BE＝EC； (2)AD·DE＝2PB2.,题型四 与圆有关的比例线段,,,,(2)由切割线定理，得PA2＝PB·PC. 因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB. 由相交弦定理，得AD·DE＝BD·DC. 所以AD·DE＝2PB2. 【答案】 略,探究4 相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理的联系：从相交弦定理开始，相交弦定理可以利用相似三角形对应边成比例证明，然后使两弦的交点P从圆内移动到圆外得出割线定理，再将一条割线变为圆的切线得出切割线定理，最后两条割线都变为切线得出切线长定理，充分体现了运动变化的思想．,如图所示，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P.PB分别与⊙O1，⊙O2交于C，D两点．求证： (1)PA·PD＝PE·PC； (2)AD＝AE.,思考题4,,【思路】 应用切割线定理、弦切角定理等知识求解． 【证明】 (1)∵PAE，PDB分别是⊙O2的割线， ∴PA·PE＝PD·PB.① 又∵PA，PCB分别是⊙O1的切线和割线， ∴PA2＝PC·PB.② 由①②得PA·PD＝PE·PC.,【答案】 (1)略 (2)略,1．圆内接四边形的重要结论：内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形．应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推理过程． 2．圆的切线的性质定理及推论有如下结论：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个：①垂直于切线；②过切点；③过圆心．于是在利用切线性质时，过切点的半径是常作的辅助线．,3．判定切线通常有三种方法：①和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；③过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线． 4．与圆有关的比例线段证明要诀：圆幂定理是法宝，相似三角形中找诀窍，联想射影定理分角线，辅助线来搭桥，第三比值作介绍，代数方法不可少，分析综合要记牢，十有八九能见效．,