高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.4 二次函数与幂函数课件 文.ppt

《高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.4 二次函数与幂函数课件 文.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.4 二次函数与幂函数课件 文.ppt（70页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

第二章 函数概念与基本初等函数 I,§2.4 二次函数与幂函数,,,内容索引,,,,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,思想与方法系列,思想方法 感悟提高,练出高分,,,基础知识 自主学习,1.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝________________. ②顶点式：f(x)＝________________. ③零点式：f(x)＝ . (2)二次函数的图象和性质,ax2＋bx＋c(a≠0),a(x－m)2＋n(a≠0),a(x－x1)(x－x2)(a≠0),,知识梳理,1,,答案,,,,,,答案,2.幂函数 (1)定义：形如 的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. (2)幂函数的图象比较,y＝xα,,答案,(3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②幂函数的图象过定点(1,1)； ③当α0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ④当α0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减.,判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是 .( ) (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数.( ) (3)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.( ) (4)函数 是幂函数.( ) (5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.( ) (6)当n0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数.( ),×,×,√,×,√,×,,答案,思考辨析,即m21， 解得m1.,(－∞，－1)∪(1，＋∞),,,考点自测,2,解析答案,1,2,3,4,5,2.已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是_________.,,解析答案,1,2,3,4,5,②,3.函数 的图象是____.(填序号),解析 显然f(－x)＝－f(x)，说明函数是奇函数， 同时由当0＜x＜1时， 当x＞1时， 故只有②符合.,,解析答案,1,2,3,4,5,4.已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为______. 解析 如图，由图象可知m的取值范围是[1,2].,[1,2],,解析答案,1,2,3,4,5,(0，＋∞),,答案,1,2,3,4,5,返回,,题型分类 深度剖析,,,题型一 求二次函数的解析式,例1 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式.,,解析答案,思维升华,解 方法一 (利用一般式)： 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).,∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.,,解析答案,思维升华,方法二 (利用顶点式)： 设f(x)＝a(x－m)2＋n. ∵f(2)＝f(－1)，,∴n＝8，,,解析答案,∵f(2)＝－1，,思维升华,方法三 (利用零点式)： 由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1.,解得a＝－4， ∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.,,思维升华,,思维升华,求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，所用所给出的条件，根据二次函数的性质进行求解.,(1)二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式是________________. 解析 依题意可设f(x)＝a(x－2)2－1， 又其图象过点(0,1)， ∴4a－1＝1，,跟踪训练1,,解析答案,(2)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________. 解析 由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称， ∴b＝－2， ∴f(x)＝－2x2＋2a2， 又f(x)的值域为(－∞，4]， ∴2a2＝4， 故f(x)＝－2x2＋4.,－2x2＋4,,解析答案,,,题型二 二次函数的图象与性质,命题点1 二次函数的单调性,例2 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]， (1)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；,∴要使f(x)在[－4,6]上为单调函数， 只需－a≤－4或－a≥6， 解得a≥4或a≤－6. 故a的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞).,,解析答案,(2)当a＝－1时，求f(|x|)的单调区间.,其图象如图所示. 又∵x∈[－4,6]， ∴f(|x|)在区间[－4，－1)和[0,1)上为减函数， 在区间[－1,0)和[1,6]上为增函数.,,解析答案,命题点2 二次函数的最值,例3 已知函数f(x)＝x2－2x，若x∈[－2,3]，则函数f(x)的最大值为___. 解析 f(x)＝(x－1)2－1， ∵－2≤x≤3(如图)，,∴[f(x)]max＝f(－2)＝8.,8,,解析答案,已知函数f(x)＝x2－2x，若x∈[－2，a]，求f(x)的最小值.,引申探究,,解析答案,解 ∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1， ∴对称轴为直线x＝1， ∵x＝1不一定在区间[－2，a]内， ∴应进行讨论，当－21时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增， 则当x＝1时，y取得最小值，即ymin＝－1. 综上，当－21时，ymin＝－1.,命题点3 二次函数中的恒成立问题,例4 (1)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足10，则实数a的取值范围为________.,,解析答案,(2)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围为_________.,解析 2ax2＋2x－30在[－1,1]上恒成立. 当x＝0时，适合；,,解析答案,思维升华,,思维升华,1.二次函数最值问题解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成. 2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 (1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数. (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.,若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，满足f(x＋2)－f(x)＝16x且f(0)＝2. (1)求函数f(x)的解析式； 解 由f(0)＝2，得c＝2， 所以f(x)＝ax2＋bx＋2 (a≠0)， f(x＋2)－f(x)＝[a(x＋2)2＋b(x＋2)＋2]－[ax2＋bx＋2]＝4ax＋4a＋2b. 因为f(x＋2)－f(x)＝16x，所以4ax＋4a＋2b＝16x， 解得a＝4，b＝－8. 所以f(x)＝4x2－8x＋2.,跟踪训练2,,解析答案,(2)若存在x∈[1,2]，使不等式f(x)2x＋m成立，求实数m的取值范围. 解 由f(x)2x＋m， 可得mf(x)－2x＝4x2－10x＋2， 设g(x)＝4x2－10x＋2，x∈[1,2]. 则g(x)max＝g(2)＝－2，∴m－2. 故实数m的取值范围是(－∞，－2).,,解析答案,,,题型三 幂函数的图象和性质,解析 由幂函数的定义知k＝1.,,解析答案,(2)若 则实数m的取值范围是__________.,,解析答案,思维升华,解2m＋1m2＋m－1，得－1m2，,解析 因为函数 的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，,,思维升华,,思维升华,(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式. (2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.,(1)已知幂函数f(x)的图象经过(9,3)，则f(2)－f(1)＝________. 解析 设幂函数为f(x)＝xα， 则f(9)＝9α＝3， 即32α＝3， 所以2α＝1，α＝ ， 即f(x)＝,跟踪训练3,,解析答案,(2)若 则实数a的取值范围是________.,,解析 易知函数 的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，,,解析答案,返回,,思想与方法系列,,典例 (14分)已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值. 思维点拨 参数a的值确定f(x)图象的形状；a≠0时，函数f(x)的图象为抛物线，还要考虑开口方向和对称轴与所给范围的关系.,,思想与方法系列,3.分类讨论思想在二次函数最值中的应用,,思维点拨,解析答案,返回,温馨提醒,,规范解答 解 (1)当a＝0时，f(x)＝－2x在[0,1]上递减， ∴f(x)min＝f(1)＝－2. [3分],,解析答案,温馨提醒,(2)当a0时，f(x)＝ax2－2x图象的开口方向向上，,∴f(x)在[0,1]上递减. ∴f(x)min＝f(1)＝a－2. [10分],,解析答案,温馨提醒,(3)当a0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向下，,∴f(x)＝ax2－2x在[0,1]上递减. ∴f(x)min＝f(1)＝a－2. [13分],,温馨提醒,,温馨提醒,,返回,(1)本题在求二次函数最值时，用到了分类讨论思想，求解中既对系数a的符号进行讨论，又对对称轴进行讨论.在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不无原则的分类讨论. (2)在有关二次函数最值的求解中，若轴定区间动，仍应对区间进行分类讨论.,,思想方法 感悟提高,1.二次函数的三种形式 (1)已知三个点的坐标时，宜用一般式. (2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点式. (3)已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便. 2.研究二次函数的性质要注意： (1)结合图象分析； (2)含参数的二次函数，要进行分类讨论.,方法与技巧,3.利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较.,方法与技巧,1.对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况. 2.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.,失误与防范,,返回,,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1.如果函数f(x)＝x2－ax－3在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a的范围是_________.,[8，＋∞),,解析答案,2.函数f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值是___. 解析 f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数⇒m2－m－1＝1⇒m＝－1或m＝2. 又在x∈(0，＋∞)上是增函数， 所以m＝2.,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,3.设函数f(x)＝x2＋x＋a(a0)，且f(m)0，则f(m＋1)__0(判断大小关系).,∴f(x)的大致图象如图所示. 由f(m)0，∴f(m＋1)f(0)0.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,4.若函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a＝__. 解析 ∵函数f(x)＝x2－ax－a的图象为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点取得， ∵f(0)＝－a，f(2)＝4－3a，,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,5.幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值范围分别为______________.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 可作直线x＝2， 观察直线x＝2和各图象交点的纵坐标可知2－12n202m21， ∴－1n0m1. 答案 －1n0,0m1,6.已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a0)，若∀x1∈[－1,2]，∃x2∈[－1,2]，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是_________. 解析 由函数f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1， 当x∈[－1,2]时，f(x)min＝f(1)＝－1，f(x)max＝f(－1)＝3， 即函数f(x)的值域为[－1,3]， 当x∈[－1,2]时，函数g(x)min＝g(－1)＝－a＋2，g(x)max＝g(2)＝2a＋2，,[3，＋∞),解得a≥3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,7.当0g(x)f(x).,h(x)g(x)f(x),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,8.已知函数f(x)＝x2－2ax＋2a＋4的定义域为R，值域为[1，＋∞)，则a的值为________. 解析 由于函数f(x)的值域为[1，＋∞)， 所以f(x)min＝1. 又f(x)＝(x－a)2－a2＋2a＋4， 当x∈R时，f(x)min＝f(a)＝－a2＋2a＋4＝1， 即a2－2a－3＝0， 解得a＝3或a＝－1.,－1或3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,9.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数，a≠0，x∈R).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,(1)若函数f(x)的图象过点(－2,1)，且方程f(x)＝0有且只有一个根，求f(x)的表达式；,解 因为f(－2)＝1， 即4a－2b＋1＝1，所以b＝2a. 因为方程f(x)＝0有且只有一个根， 所以Δ＝b2－4a＝0. 所以4a2－4a＝0，所以a＝1，所以b＝2. 所以f(x)＝x2＋2x＋1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)在(1)的条件下，当x∈[－1,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围.,所以所求实数k的取值范围为(－∞，0]∪[6，＋∞).,由g(x)的图象知：要满足题意，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,10.已知函数f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,解 要使f(x)≥0恒成立， 则函数在区间[－2,2]上的最小值不小于0， 设f(x)的最小值为g(a).,故此时a不存在.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,得a≥－7，又a－4，故－7≤a－4， 综上得－7≤a≤2.,又－4≤a≤4，故－4≤a≤2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,11.已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则f(m)＝____. 解析 由已知，必有m2－m＝3＋m，即m2－2m－3＝0， ∴m＝3或m＝－1. 当m＝3时，函数即f(x)＝x－1，x∈[－6,6]，f(x)在x＝0处无意义， 故舍去； 当m＝－1时，函数即f(x)＝x3，此时x∈[－2,2]，符合题意. ∴f(m)＝f(－1)＝f(－1)3＝－1.,－1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,12.已知幂函数f(x)＝xα，当x1时，恒有f(x)1时，恒有f(x)1时，函数f(x)＝xα的图象在y＝x的图象的下方， 作出幂函数f(x)＝xα在第一象限的图象， 由图象可知α1时满足题意.,(－∞，1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,则f(x)的最小值为1， 因此a≤1(如果a1，则a≤f(x)≤b的解集由两个区域构成)， 于是有f(a)＝f(b)＝b，,而函数y＝f(x)图象的对称轴为x＝2， 故b＝4，则f(a)＝4，解得a＝0(a＝4舍去).,0,4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,14.设0≤α≤π，不等式8x2－(8sin α)x＋cos 2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为_________________. 解析 由8x2－(8sin α)x＋cos 2α≥0对x∈R恒成立， 得Δ＝(－8sin α)2－4×8cos 2α≤0，,15.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a0，b∈R，c∈R). (1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,返回,∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.,解得a＝1，b＝2， ∴f(x)＝(x＋1)2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围. 解 f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0,1]上恒成立，,∴－2≤b≤0. 故b的取值范围是[－2,0].,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,返回,解析答案,