高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.8 函数与方程课件 文.ppt

《高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.8 函数与方程课件 文.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.8 函数与方程课件 文.ppt（66页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

第二章 函数概念与基本初等函数 I,§2.8 函数与方程,,,内容索引,,,,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,易错警示系列,思想方法 感悟提高,练出高分,,,基础知识 自主学习,1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使函数y＝f(x)的值为0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点. (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与 有交点⇔函数y＝f(x)有 .,x轴,零点,,知识梳理,1,,答案,(3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且 ，那么，函数y＝f(x)在区间______上有零点，即存在c∈(a，b)，使得_______，这个__也就是方程f(x)＝0的根. 2.二分法 对于在区间[a，b]上连续不断且 的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.,f(a)·f(b)0,(a，b),f(c)＝0,c,f(a)·f(b)0,零点,,答案,3.二次函数y＝ax2＋bx＋c (a0)的图象与零点的关系,(x1,0)，(x2,0),(x1,0),2,1,0,,答案,判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( ) (2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)0.( ) (3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.( ) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac0时没有零点.( ) (5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点.( ),×,×,×,√,√,,答案,思考辨析,1.(教材改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是___.,∴f(x)在(－1,0)内有零点， 又f(x)为增函数， ∴函数f(x)有且只有一个零点.,1,,,考点自测,2,解析答案,1,2,3,4,5,2.若x1，x2是方程 的两个实根，则x1＋x2＝___. 解析,－1,∴x1＋x2＝－1.,,解析答案,1,2,3,4,5,3.函数f(x)＝2x|log0.5 x|－1的零点个数为___.,由图象知两函数图象有2个交点， 故函数f(x)有2个零点.,2,,解析答案,1,2,3,4,5,,解析答案,1,2,3,4,5,,解析答案,1,2,3,4,5,解析 当x2时，g(x)＝x－1，f(x)＝(x－2)2； 当0≤x≤2时，g(x)＝3－x，f(x)＝2－x； 当x2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为x2－5x＋5＝0，,当0≤x≤2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为2－x＝3－x，无解； 当x0时，方程f(x)－g(x)＝0可化为x2＋x－1＝0，其根为,所以函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为2. 答案 2,,1,2,3,4,5,5.函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________. 解析 ∵函数f(x)的图象为直线，由题意可得 f(－1)f(1)0， ∴(－3a＋1)·(1－a)0，,,解析答案,1,2,3,4,5,返回,,题型分类 深度剖析,,,题型一 函数零点的确定,命题点1 函数零点所在的区间,∴x0∈(2,3).,2,,解析答案,命题点2 函数零点个数的判断,所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数. 又因为f(2)＝－2＋ln 20， 所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点， 综上，函数f(x)的零点个数为2.,2,所以在(－∞，0]上有一个零点.,,解析答案,(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是___. 解析 由题意知，f(x)是周期为2的偶函数. 在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如图： 观察图象可以发现它们有4个交点， 即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点.,4,,解析答案,命题点3 求函数的零点,例3 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为______________.,,解析答案,思维升华,解析 当x≥0时，f(x)＝x2－3x， 令g(x)＝x2－3x－x＋3＝0，得x1＝3，x2＝1. 当x0， ∴f(－x)＝(－x)2－3(－x)， ∴－f(x)＝x2＋3x，∴f(x)＝－x2－3x. 令g(x)＝－x2－3x－x＋3＝0，,,思维升华,,(1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法.(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数.,思维升华,所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4).,③,跟踪训练1,,解析答案,(2)函数 的零点个数为____.,,解析答案,∴f(0)f(1)0， 故函数f(x)在(0,1)至少存在一个零点， 又f(x)显然为增函数， ∴f(x)零点个数为1. 答案 1,所以零点只有一个.,,,题型二 函数零点的应用,例4 若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围.,,解析答案,思维升华,解 方法一 (换元法) 设t＝2x (t0)，则原方程可变为t2＋at＋a＋1＝0，(*) 原方程有实根，即方程(*)有正根. 令f(t)＝t2＋at＋a＋1. ①若方程(*)有两个正实根t1，t2，,,解析答案,思维升华,②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根不合题意，舍去)， 则f(0)＝a＋10，解得a－1； ③若方程(*)有一个正实根和一个零根，,,解析答案,思维升华,,思维升华,,思维升华,对于“a＝f(x)有解”型问题，可以通过求函数y＝f(x)的值域来解决，解的个数可化为函数y＝f(x)的图象和直线y＝a交点的个数.,则有f(1)·f(2)0， 所以(－a)(4－1－a)0， 即a(a－3)0. 所以0＜a＜3.,(0,3),跟踪训练2,,解析答案,解析 画出函数f(x)的图象如图所示，,观察图象可知，若方程f(x)－a＝0有 三个不同的实数根， 则函数y＝f(x)的图象与直线y＝a 有3个不同的交点， 此时需满足0＜a＜1.,(0,1),,解析答案,,,题型三 二次函数的零点问题,例5 已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围.,,解析答案,思维升华,解 方法一 设方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的两根分别为x1，x2(x1x2)， 则(x1－1)(x2－1)0， ∴x1x2－(x1＋x2)＋10， 由根与系数的关系，得(a－2)＋(a2－1)＋10， 即a2＋a－20， ∴－2a1.,,解析答案,思维升华,方法二 函数图象大致如图， 则有f(1)0， 即1＋(a2－1)＋a－20， ∴－2a1. 故实数a的取值范围是(－2,1).,,思维升华,,解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组.,思维升华,若关于x的方程x2＋ax－4＝0在区间[2,4]上有实数根，则实数a的取值范围是________. 解析 如果方程有实数根，注意到两个根之积为－40， 可知两根必定一正一负， 因此在[2,4]上有且只有一个实数根， 设f(x)＝x2＋ax－4， 则必有f(2)f(4)≤0， 所以2a(12＋4a)≤0，即a∈[－3,0].,跟踪训练3,,解析答案,返回,[－3,0],,易错警示系列,典例 定义在R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)＝2 016x＋log2 016x，则在R上函数f(x)的零点个数为________. 易错分析 得出当x0时的零点个数后，容易忽略条件：定义在R上的奇函数，导致漏掉x0时和x＝0时的情况.,,易错警示系列,3.忽视定义域导致零点个数错误,,易错分析,解析答案,返回,温馨提醒,可知它们只有一个交点， 所以当x0时函数只有一个零点. 由于函数为奇函数， 所以当x0时，也有一个零点. 又当x＝0时y＝0， 所以共有三个零点. 答案 3,解析 当x0时，由f(x)＝2 016x＋log2 016x＝0得,作出函数y＝2 016x与函数,的图象，,,温馨提醒,,温馨提醒,,返回,(1)讨论x0时函数的零点个数也可利用零点存在性定理结合函数单调性确定.(2)函数的定义域是讨论函数其他性质的基础，要给予充分重视.,,思想方法 感悟提高,1.函数零点的判定常用的方法有 (1)零点存在性定理； (2)数形结合：函数y＝f(x)－g(x)的零点，就是函数y＝f(x)和y＝g(x)图象交点的横坐标. (3)解方程. 2.二次函数的零点可利用求根公式、判别式、根与系数的关系或结合函数图象列不等式(组). 3.利用函数零点求参数范围的常用方法：直接法、分离参数法、数形结合法.,方法与技巧,1.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象. 2.判断零点个数要注意函数的定义域，不要漏解；画图时要尽量准确.,失误与防范,,返回,,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,由图象可知，若函数y＝f(x)－m有3个零点， 则0m1， 因此m的取值范围是(0,1).,(0,1),,解析答案,2.已知函数f(x)＝ln x－x＋2有一个零点所在的区间为(k，k＋1) (k∈N*)，则k的值为___. 解析 由题意知，当x1时，f(x)单调递减， 因为f(3)＝ln 3－10，f(4)＝ln 4－20， 所以该函数的零点在区间(3,4)内， 所以k＝3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,3,解析 当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0； 当x1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，,又因为x1，所以此时方程无解. 综上函数f(x)的零点只有0.,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,4.方程|x2－2x|＝a2＋1(a0)的解的个数是___. 解析 (数形结合法) ∵a0， ∴a2＋11. 而y＝|x2－2x|的图象如图， ∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点.,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 当x0时，f(x)＝2x－1.,当x≤0时，f(x)＝ex＋a， 此时函数f(x)＝ex＋a在(－∞，0]上有且仅有一个零点， 等价转化为方程ex＝－a在(－∞，0]上有且仅有一个实根， 而函数y＝ex在(－∞，0]上的值域为(0,1]， 所以0－a≤1，解得－1≤a0. 答案 [－1,0),6.已知函数f(x)＝x2＋x＋a(a0)在区间(0,1)上有零点，则a的取值范围为_______. 解析 ∵－a＝x2＋x在(0,1)上有解，,(－2,0),∴函数y＝x2＋x，x∈(0,1)的值域为(0,2)， ∴0－a2，∴－2a0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,7.若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)0的解集是___________.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,∴f(x)＝x2－x－6. ∵不等式af(－2x)0， 即－(4x2＋2x－6)0⇔2x2＋x－30，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,解析 ∵f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2,3. ∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，,由于函数g(x)＝f(x)－m有3个零点， 结合图象得：0m1，即m∈(0,1).,(0,1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,解 如图所示.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,故f(x)在(0,1]上是减函数， 而在(1，＋∞)上是增函数. 由0ab且f(a)＝f(b)，得0a1b，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围. 解 由函数f(x)的图象可知， 当0m1时，方程f(x)＝m有两个不相等的正根.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,10.关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,解 方法一 设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]， ①若f(x)＝0在区间[0,2]上有一解， ∵f(0)＝10，则应有f(2)0， 又∵f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，,②若f(x)＝0在区间[0,2]上有两解，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,由①②可知m的取值范围是(－∞，－1].,方法二 显然x＝0不是方程x2＋(m－1)x＋1＝0的解，,∴1－m≥2，∴m≤－1， 故m的取值范围是(－∞，－1].,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,解析 当x≤0时，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；,即实数m的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞).,(－∞，1]∪[2，＋∞),12.函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝___. 解析 由于ln 21， 所以f(3)0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内， 故n＝2.,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,解析 函数g(x)＝f(x)－k有两个零点， 即f(x)－k＝0有两个解， 即y＝f(x)与y＝k的图象有两个交点. 分k0和k1或k0时，没有交点， 故当0k1时满足题意.,(0,1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,14.(2015·湖南)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是_____. 解析 由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b. 在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示. 则当0b2时，两函数图象有两个交点， 从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点.,(0,2),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,返回,