高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件课件 文.ppt

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第一章 集合与常用逻辑用语,§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件,,,内容索引,,,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,思想方法 感悟提高,练出高分,,,思想与方法系列,,基础知识 自主学习,1.四种命题及相互关系,若q ，则p,若 ¬ q ，则¬ p,若 ¬p，则¬ q,,知识梳理,1,,答案,2.四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有 的真假性； (2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.,相同,,答案,充分,必要,充分不必要,充要,必要不充分,,答案,判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“x2＋2x－30”是命题.( ) (2)命题“α＝ ，则tan α＝1”的否命题是“若α＝ ，则tan α≠1”.( ) (3)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题.( ) (4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.( ) (5)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立.( ) (6)若p是q的充分不必要条件，则¬p是¬q的必要不充分条件.( ),×,×,√,√,√,√,,答案,思考辨析,1.(2015·山东改编)若m∈R, 命题“若m0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是___________________________________. 解析 原命题为“若p，则q”，则其逆否命题为“若¬q，则¬ p”. ∴所求命题为“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”.,若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0,,,考点自测,2,解析答案,1,2,3,4,5,2.已知命题p：若x＝－1，则向量a＝(1，x)与b＝(x＋2，x)共线，则在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为___. 解析 向量a，b共线⇔x－x(x＋2)＝0⇔x＝0或x＝－1， ∴命题p为真，其逆命题为假， 故在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2.,2,,解析答案,1,2,3,4,5,3.记不等式x2＋x－60的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为____________. 解析 不等式x2＋x－60的解集为A＝(－3,2)， 函数y＝lg(x－a)的定义域为B＝(a，＋∞). 由“x∈A”是“x∈B”的充分条件， 得实数a的取值范围为(－∞，－3].,(－∞，－3],,解析答案,1,2,3,4,5,解析 当－1a0，－1b0时，,既不充分也不必要,,解析答案,1,2,3,4,5,5.(教材改编)下列命题： ①x＝2是x2－4x＋4＝0的必要不充分条件； ②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件； ③sin α＝sin β是α＝β的充要条件； ④ab≠0是a≠0的充分不必要条件. 其中为真命题的是______(填序号).,②④,,答案,1,2,3,4,5,返回,,题型分类 深度剖析,,,例1 (1)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数“的逆否命题是_________________________________. 解析 由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”， “x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”， 故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”.,题型一 命题及其关系,若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数,,解析答案,(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是___.(填序号) ①真，假，真 ②假，假，真 ③真，真，假 ④假，假，假 解析 先证原命题为真：当z1，z2互为共轭复数时， 设z1＝a＋bi(a，b∈R)， 则z2＝a－bi，则|z1|＝|z2|＝ ∴原命题为真，故其逆否命题为真； 再证其逆命题为假：取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|， 但是z1，z2不互为共轭复数， ∴其逆命题为假，故其否命题也为假.,②,,解析答案,思维升华,,思维升华,(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意： ①对于不是“若p，则q“形式的命题，需先改写； ②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提. (2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例. (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.,跟踪训练1,,解析答案,(2)命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是______________ ____________. 解析 “若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”.,若a≠0或b≠0，,则a2＋b2≠0,,解析答案,,,题型二 充分必要条件的判定,例2 (1)(2015·四川)设a，b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的___________条件. 解析 根据指数函数的单调性得出a，b的大小关系，然后进行判断. ∵3a3b3， ∴ab1，此时loga33b3，,故“3a3b3”是“loga3logb3”的充分不必要条件.,充分不必要,,解析答案,解析 若a0，b0，,则ab0，不一定有a0，b0.,充分不必要,,解析答案,思维升华,,思维升华,充要条件的三种判断方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断； (2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断； (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件.,(1)(2015·陕西)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的___________条件. 解析 ∵sin α＝cos α⇒cos 2α＝cos2α－sin2α＝0； cos 2α＝0⇔cos α＝±sin α sin α＝cos α.,充分不必要,跟踪训练2,,解析答案,所以p是q的充分条件； 若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)是偶函数，则sin φ＝±1，,所以p是q的必要条件，故p是q的充要条件.,充要,,解析答案,,,题型三 充分必要条件的应用,例3 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围. 解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10， ∴P＝{x|－2≤x≤10}， 由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.,∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3].,,解析答案,1.本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件. 解 若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，,即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件.,,解析答案,引申探究,2.本例条件不变，若x∈¬P是x∈¬S的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 解 由例题知P＝{x|－2≤x≤10}， ∵¬P是¬S的必要不充分条件，,∴[－2,10][1－m,1＋m].,∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞).,,解析答案,思维升华,,思维升华,充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验.,(1)方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是________.,跟踪训练3,,解析答案,解析 当a＝0时，原方程为一元一次方程2x＋1＝0，有一个负实根. 当a≠0时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件是Δ＝4－4a≥0， 即a≤1. 设此时方程的两根分别为x1，x2，,,解析答案,综上所述，a≤1. 答案 a≤1,(2)已知条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若¬p是¬q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________.,¬p对应的集合A＝{x|x1或xa＋1或xa}. ∵¬p是¬q的必要不充分条件，,,解析答案,返回,,思想与方法系列,,典例 (1)已知p：(a－1)2≤1，q：∀x∈R，ax2－ax＋1≥0，则p是q成立的____________条件. 解析 由(a－1)2≤1解得0≤a≤2， ∴p：0≤a≤2. 当a＝0时，ax2－ax＋1≥0对∀x∈R恒成立；,∴q：0≤a≤4. ∴p是q成立的充分不必要条件.,充分不必要,,思想与方法系列,1.等价转化思想在充要条件中的应用,,解析答案,(2)已知条件p：x2＋2x－30；条件q：xa，且¬q的一个充分不必要条件是¬p，则a的取值范围是__________. 解析 由x2＋2x－30，得x1， 由¬q的一个充分不必要条件是¬p， 可知¬p是¬q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件. ∴{x|xa}{x|x1}， ∴a≥1.,[1，＋∞),,解析答案,返回,温馨提醒,,温馨提醒,,返回,(1)本题用到的等价转化 ①将¬p，¬q之间的关系转化成p，q之间的关系. ②将条件之间的关系转化成集合之间的关系. (2)对一些复杂、生疏的问题，利用等价转化思想转化成简单、熟悉的问题，经常被用到.,,思想方法 感悟提高,1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定. 2.充要条件的几种判断方法 (1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假. (2)等价法：即利用A⇒B与¬B⇒¬A；B⇒A与¬A⇒¬B；A⇔B与¬B⇔¬A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法. (3)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}：若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件.,方法与技巧,1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提. 2.判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式. 3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分不必要条件是q”等语言.,失误与防范,,返回,,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1.命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是“__________ _______________________”. 解析 依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数.,15,16,17,18,若一个数的,平方是正数，则它是负数,,解析答案,2.(2015·天津改编)设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的___________条件. 解析 由|x－2|＜1得1＜x＜3， 所以1＜x＜2⇒1＜x＜3；,充分不必要,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,3.给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是___. 解析 原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题； 它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”， 显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题. 因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个.,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,其中等号成立的充要条件是a＝b， 因此a≠b是abxy的充要条件.,充要,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,5.设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的___________条件. 解析 因为菱形的对角线互相垂直， 所以“四边形ABCD为菱形”⇒“AC⊥BD”， 所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件； 又因为对角线垂直的四边形不一定是菱形， 所以“AC⊥BD” “四边形ABCD为菱形”， 所以“四边形ABCD为菱形”不是“AC⊥BD”的必要条件. 综上，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.,充分不必要,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,令f(x)＝2x－sin 2x. ∴f′(x)＝2－2cos 2x＞0，,必要不充分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,7. “a≠5且b≠－5”是“a＋b≠0”的__________________条件. 解析 “a≠5且b≠－5”推不出“a＋b≠0”， 例如a＝2，b＝－2时，a＋b＝0； “a＋b≠0”推不出“a≠5且b≠－5”， 例如a＝5，b＝－6. 故“a≠5且b≠－5”是“a＋b≠0”的既不充分也不必要条件.,既不充分也不必要,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,解析 因为函数f(x)过点(1,0)， 所以函数f(x)有且只有一个零点⇔函数y＝－2x＋a(x≤0)没有零点⇔ 函数y＝2x(x≤0)与直线y＝a无公共点. 由数形结合，可得a≤0或a1.,a≤0或a1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,9.“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是____. 解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题.,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,10.若xm＋1是x2－2x－30的必要不充分条件，则实数m的取值范围是______. 解析 由已知易得{x|x2－2x－30}{x|xm＋1}， 又{x|x2－2x－30}＝{x|x3}，,[0,2],∴0≤m≤2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,11.给定两个命题p、q，若¬p是q的必要而不充分条件，则p是¬q的___________条件. 解析 若¬p是q的必要不充分条件， 则q⇒¬p但¬p q，其逆否命题为p⇒¬q但¬q p， 所以p是¬q的充分不必要条件.,充分不必要,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,12.下列命题： ①若ac2bc2，则ab； ②若sin α＝sin β，则α＝β； ③“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件； ④若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数. 其中正确命题的序号是________.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,解析 对于①，ac2bc2，c20，∴ab正确； 对于②，sin 30°＝sin 150° 30°＝150°， 所以②错误； 对于③，l1∥l2⇔A1B2＝A2B1， 即－2a＝－4a⇒a＝0且A1C2≠A2C1， 所以③正确； ④显然正确. 答案 ①③④,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,13.给出下列三个命题： ①“ab”是“3a3b”的充分不必要条件； ②“αβ”是“cos αb”是“3a3b”的充要条件，①错误； “αβ”是“cos αcos β”的既不充分也不必要条件，②错误； “a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2 (x∈R)为奇函数”的充要条件，③正确. 故正确命题的序号为③.,③,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,解析 若p成立，设a1，a2，…，an的公比为q，,(a1a2＋a2a3＋…＋an－1an)2＝(a1a2)2(1＋q2＋…＋q2n－4)2， 故q成立，故p是q的充分条件. 取a1＝a2＝…＝an＝0，,则q成立，而p不成立， 故p不是q的必要条件. 即p是q的充分不必要条件. 答案 充分不必要,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,15.如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，那么“[x]＝[y]”是“|x－y|1成立”的___________条件. 解析 若[x]＝[y]，则|x－y|1； 反之，若|x－y|1，如取x＝1.1，y＝0.9，则[x]≠[y]， 即“[x]＝[y]”是“|x－y|1成立”的充分不必要条件.,充分不必要,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,(2，＋∞),∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A， ∴AB， ∴m＋13， 即m2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,充分不必要,17.设a，b为正数，则“a－b1”是“a2－b21”的___________条件. 解析 ∵a－b1，即ab＋1. 又∵a，b为正数， ∴a2(b＋1)2＝b2＋1＋2bb2＋1， 即a2－b21成立，,所以“a－b1”是“a2－b21”的充分不必要条件.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,18.下列结论正确的是________. ①“λ＝0”是“λa＝0”的充分不必要条件；②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件； ③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”的充要条件；④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,返回,解析 由λ＝0可以推出λa＝0， 但是由λa＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确. 由AB2＋AC2＝BC2可以推出△ABC是直角三角形， 但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角， 所以②不正确. 由a2＋b2≠0可以推出a，b不全为零， 反之，由a，b不全为零可以推出a2＋b2≠0， 所以“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件， 而不是“a，b全不为零”的充要条件，③不正确，④正确. 答案 ①④,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,返回,