高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集合的概念与运算课件 理.ppt

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第一章 集合与常用逻辑用语,第一节 集合的概念与运算,1.集合的含义与表示 (1)集合中元素的特性:确定性、 无序性 、 互异性 . (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号表示为∈或∉. (3)常见数集及其记法,(4)集合常用的三种表示方法: 列举法 、 描述法 、韦恩(Venn)图法. (5)集合的分类(根据集合中元素的个数):有限集、无限集、⌀.,,,,,2.集合间的基本关系,,3.集合的基本运算与常用性质 (1)集合的运算关系,,(2)集合的运算律与常见性质,4.常用的数学方法与思想 数轴法、韦恩(Venn)图法、分类讨论与数形结合思想.,1.判断下列说法是否正确(打“√”或“×”). (1)集合{x∈N|x3=x},用列举法表示为{-1,0,1}. ( ) (1)× 【解析】由于-1∉N,所以列举法表示应为{0,1}. (2)已知集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},则A=B=C. ( ) (2)× 【解析】{x|y=x2}=R,{y|y=x2}={y|y≥0}=[0,+∞),以上两集合为数集,而{(x,y)|y=x2}表示抛物线y=x2上所有点的集合,则三个集合各不相同.,(3)× 【解析】该方程含有两个未知数,解集为{(2016,-2017)},集合中只有一个元素. (4)若5∈{1,m+2,m2+4},则m的取值集合为{1,-1,3}. ( ) (4)× 【解析】当m=-1时,m+2=1,与集合中元素的互异性矛盾. (5)若P∩M=P∩N=A,则A⊆M∩N. ( ) (5)√ 【解析】由P∩M=A,P∩N=A,可知A⊆M,A⊆N,从而有A⊆M∩N.,2.已知集合A={(x,y)|x,y为实数,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y为实数,且y=x},则A∩B的元素个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.C 【解析】解法1:A为圆心在原点的单位圆,B为过原点的直线,故有2个交点.解法2:由,3.已知集合A={y|y=|x|-1,x∈R},B={x|x≥2},则下列结论正确的是 ( ) A.-3∈A B.3∉B C.A∪B=B D.A∩B=B 3.D 【解析】因为A={y|y=|x|-1,x∈R}={y|y≥-1},所以选项D正确. 4.设全集U=M∪N={1,2,3,4,5},M∩(∁UN)={2,4},则N= ( ) A.{1,2,3} B.{1,3,5} C.{1,4,5} D.{2,3,4} 4.B 【解析】由M∩(∁UN)={2,4}知2,4∈M且2,4∉N,又U=M∪N={1,2,3,4,5},所以1,3,5∈N,即选项B正确.,,,,【变式训练】 给出以下三个命题:①集合{(x,y)|x2+y2=4,x∈Z,y∈Z}中元素的个数为8个;②{x|x=3k+1,k∈Z}={x|x=3k-2,k∈Z};③由英文单词“easy”中的所有字母组成的集合有15个真子集.其中正确的命题是 .(请写出所有真命题的序号) ②③ 【解析】①中集合表示圆上整点的个数,由于x,y∈Z,因此只有(2,0),(0,2),(-2,0),(0,-2),共4个元素,因此①错误;②中3k+1,3k-2(k∈Z)都表示被3除余1的数,因此②正确;③中真子集的个数为24-1=15.,C 【解析】如图,集合A表示如图所示圆形区域x2+y2≤1中的5个整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点),集合B表示集合{(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z}中所有的整点,集合A⊕B显然是集合{(x,y)||x|≤3,|y|≤3,x,y∈Z}中除去四个点(-3,-3),(-3,3),(3,-3),(3,3)之外的所有整点,共45个.故A⊕B中元素的个数为45.a,,,,命题角度2:利用集合间的关系确定符合条件集合的个数或字母参数的值与取值范围 典例3 (2015·南充三模)设集合M满足{1,2}⊆M⫋{1,2,3,4},则满足条件的集合M的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解题思路】由{1,2}⊆M⫋{1,2,3,4}可知元素1与2必在集合M中,而元素3,4可在集合M中也可不在集合M中,为此转化为求集合{3,4}的真子集的个数,可一一列出也可利用公式求解.集合{3,4}的真子集的个数为22-1=3. 【参考答案】 C,典例4 (2016·三明模拟)已知集合A={x|1x3},集合B={x|2mx1-m}. (1)若A⊆B,求实数m的取值范围; (2)若A∩B=(1,2),求实数m的取值范围; (3)若A∩B=⌀,求实数m的取值范围.,,【变式训练】 1.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0x5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 1.D 【解析】由题意可得A={1,2},B={1,2,3,4},又∵A⊆C⊆B,∴C={1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}. 2.(2016·长春调研)已知集合A={1,16,4x},B={1,x2},若B⊆A,则x=( ) A.0 B.-4 C.0或-4 D.0或±4 2.C 【解析】由B⊆A知:①当x2=16时,即x=-4或x=4,而当x=4时,与集合中元素的互异性相矛盾,因此不符合,舍去;②当x2=4x时,x=0或x=4(舍),因此符合条件的是选项C.,命题角度1:集合的交集运算,典例5 (2015·新课标全国卷Ⅱ)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)0},则A∩B= ( ) A.{-1,0} B.{0,1} C.{-1,0,1} D.{0,1,2} 【解题思路】本题考查集合的交集运算和一元二次不等式的解法.因为B={x|-2x1},所以A∩B={-1,0}. 【参考答案】 A,命题角度2:集合的并集运算,典例6 若集合A={x|x2=1},B={x|x2-3x+2=0},则集合A∪B= ( ) A.{1} B.{1,2} C.{-1,1,2} D.{-1,1,-2} 【解题思路】先把两集合分别进行化简,A={x|x2=1}={-1,1};B={x|x2-3x+2=0}={1,2},所以A∪B={-1,1,2}. 【参考答案】 C,命题角度3:集合的交、并、补混合运算,典例7 设函数f(x)=lg(1-x2),集合A={x|y=f(x)},B={y|y=f(x)},则图中阴影部分表示的集合为 ( ),A.[-1,0] B.(-1,0) C.(-∞,-1)∪[0,1) D.(-∞,-1]∪(0,1) 【解题思路】解法1:因为A={x|y=f(x)}={x|1-x20}={x|-10}={x|-1x1},B={y|y=f(x)}={y|y≤0}.由于U=A∪B=(-∞,1),A∩B=(-1,0],则阴影部分表示的集合为∁U(A∩B)={x|x≤-1或0x1}. 【参考答案】 D,【变式训练】 1.(2015·唐山一模)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,2,4},B={2,5},则(∁UA)∪B= ( ) A.{3,4,5} B.{2,3,5} C.{5} D.{3} 1.B 【解析】(∁UA)={3,5},B={2,5},所以(∁UA)∪B={2,3,5}.,,3.全集U=R,集合A={x∈Z|x2-2x≤0},B={y|y=cos x,x∈R},则图中阴影部分表示的集合为 . 3.{x|-1≤x0或0x1} 【解析】由题意知,集合A={0,1,2},B={y|-1≤y≤1},则图中阴影部分表示的集合为(∁UA)∩B={x|-1≤x0或0x1}.,以集合为载体的创新题例探究 集合问题的考查多以集合的基本运算为主.有时会以能力为考查,则以概念为主线,融入新定义和其他知识,此类问题求解时要注意以下几点:一是对新定义下集合的认识;二是从具体到一般寻找规律的数学思想的应用;三是分类思想的应用;四是注意分类中既不能重复又不能遗漏.,典例1 同时满足以下4个条件的集合记作Ak:①所有元素都是正整数;②最小元素为1;③最大元素为2017;④各个元素可以从小到大排成一个公差为k(k∈N*)的等差数列.那么集合A8∪A14中元素的个数是 ( ) A.378 B.379 C.370 D.361 【解题思路】A8中元素是首项为1,公差为8的等差数列,设项数为m,则有1+8(m-1)=2017,解得m=253;A14中元素是首项为1,公差为14的等差数列,设项数为n,则有1+14(n-1)=2017,解得n=145.A8∩A14中元素是首项为1,公差为8×7的等差数列,那么设项数为q,则有1+8×7(q-1)=2017,解得q=37.所以设P表示元素个数,则有P(A8∪A14)=P(A8)+P(A14)-P(A8∩A14)=253+145-37=361. 【参考答案】 D,典例2 对于数集X={-1,x1,x2,…,xn},其中02且{-1,1,2,x}具有性质P,求x的值; (3)若X具有性质P,求证:1∈X,且当xn1时,x1=1. 【参考答案】(1){-1,1,2}具有性质P. (2)选取a1=(x,2),Y中与a1垂直的元素必有形式(-1,b),b∈Z, 所以x=2b,从而b=2,x=4. (3)取a1=(x1,x1)∈Y,设a2=(s,t)∈Y满足a1·a2=0. 则(s+t)x1=0,得s+t=0,所以s,t异号. 因为-1是X中唯一的负数, 所以s,t中若有一个为-1,另一个为1, 故1∈X. 假设xk=1,其中1kn,则0x11xn. 选取b1=(x1,xn)∈Y,并设b2=(p,q)∈Y满足b1·b2=0,即px1+qxn=0, 则p,q异号,从而p,q之中恰有一个为-1. 若p=-1,则x1=qxn,显然矛盾; 若q=-1,则xn=px1p≤xn,矛盾. 所以x1=1.,【针对训练】,(2015·浙江高考)设A,B是有限集,定义:d(A,B)=card(A∪B)-card(A∩B),其中card(A)表示有限集A中的元素的个数. 命题①:对任意有限集A,B,“A≠B”是“d(A,B)0”的充分必要条件; 命题②:对任意有限集A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C). A.命题①和命题②都成立 B.命题①和命题②都不成立 C.命题①成立,命题②不成立 D.命题①不成立,命题②成立 【解析】命题①中,A=B,即A∪B=A∩B=A⇔d(A,B)=0,则知A≠B⇔d(A,B)0,即命题①正确;命题②中, 通过Venn图,通过集合A,B,C的关系与对应的集合的关系可以判断其是正确的. 【答案】 A,