高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.8 圆锥曲线的综合问题 课时3 定点、定值、探索性问题课件 文.ppt

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,§9.8 圆锥曲线的综合问题,课时3 定点、定值、探索性问题,,,内容索引,,,题型一 定点问题,题型二 定值问题,题型三 探索性问题,,思想方法 感悟提高,,思想与方法系列,练出高分,,,题型一 定点问题,(1)求椭圆的标准方程；,解 设椭圆的焦距为2c，由题意知b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2， 又a2＝b2＋c2，所以a2＝3.,,,题型一 定点问题,,解析答案,(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l过定点并求此定点.,,解析答案,思维升华,解 由题意设P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 设l方程为x＝t(y－m)，,∵λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0， ①,,解析答案,思维升华,,∴由题意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)0， ②,③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0， ∴(mt)2＝1， 由题意mt0，∴mt＝－1，满足②， 得l方程为x＝ty＋1，过定点(1,0)，即Q为定点.,思维升华,,思维升华,圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. (2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.,(1)求椭圆E的方程；,跟踪训练1,,解析答案,,解析答案,返回,即QC＝QD， 所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为(0，y0). 当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M，N两点，,解 当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点，,,解析答案,解得y0＝1或y0＝2， 所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件， 则Q点坐标只可能为(0,2)，,当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立， 当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋1，A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，,,解析答案,其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0，,易知，点B关于y轴对称的点B′的坐标为(－x2，y2)，,,解析答案,,返回,,题型二 定值问题,,,题型二 定值问题,,解析答案,,解析答案,思维升华,证明 由题意可得A1(－2,0)，A2(2,0).,设P(x0，y0)，由题意可得－2x02，,,解析答案,思维升华,,思维升华,,思维升华,圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值.依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值； (2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得； (3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.,(1)求动点Q的轨迹C的方程；,跟踪训练2,,解析答案,解 依题意知，点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP， ∴RQ是线段FP的垂直平分线. ∵点Q在线段FP的垂直平分线上， ∴PQ＝QF， 又PQ是点Q到直线l的距离， 故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y2＝2x(x0).,(2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长TS是否为定值？请说明理由.,解 弦长TS为定值.理由如下： 取曲线C上点M(x0，y0)，M到y轴的距离为d＝|x0|＝x0，,,解析答案,返回,,题型三 探索性问题,例3 (2015·湖北)一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处的铰链与ON连结，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN＝ON＝1，MN＝3.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C.以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系. (1) 求椭圆C的方程；,,,题型三 探索性问题,,解析答案,解 因为OM≤MN＋NO＝3＋1＝4， 当M，N在x轴上时，等号成立； 同理OM≥MN－NO＝3－1＝2， 当D，O重合，即MN⊥x轴时，等号成立.,(2) 设动直线l与两定直线l1：x－2y＝0和l2：x＋2y＝0分别交于P，Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.,,解析答案,思维升华,,解析答案,思维升华,消去y，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0.,因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，,所以Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－16)＝0， 即m2＝16k2＋4.(*1),,解析答案,思维升华,,解析答案,思维升华,,解析答案,思维升华,,所以当k＝0时，S△OPQ的最小值为8. 综合①②可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.,思维升华,,思维升华,解决探索性问题的注意事项 探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在. (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论； (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件； (3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法.,,解 抛物线y2＝8x的焦点为椭圆E的顶点，即a＝2.,跟踪训练3,,解析答案,,解析答案,返回,解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,∴P(x1＋x2，y1＋y2)，,,解析答案,得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.,设T(t,0)，Q(－4，m－4k)，,,解析答案,∵4k2＋3＝4m2，,,解析答案,则1＋t＝0，∴t＝－1，,,返回,,思想与方法系列,,,,思想与方法系列,20.设而不求，整体代换,,解析答案,规范解答 解 由于c2＝a2－b2，,(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连结PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；,,解析答案,解 设P(x0，y0) (y0≠0)，,PF1,PF2,,解析答案,,,思维点拨,解析答案,返回,温馨提醒,解 设P(x0，y0) (y0≠0)， 则直线l的方程为y－y0＝k(x－x0).,,解析答案,温馨提醒,,温馨提醒,,温馨提醒,,返回,对题目涉及的变量巧妙地引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值.,,思想方法 感悟提高,1.求定值问题常见的方法有两种 (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 2.定点的探索与证明问题 (1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b、k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点. (2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.,方法与技巧,1.在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况. 2.中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ0或说明中点在曲线内部. 3.解决定值、定点问题，不要忘记特值法.,,失误与防范,,返回,,练出高分,,又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，,1,2,3,4,5,,解析答案,(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.,1,2,3,4,5,,解析答案,解 假设存在符合题意的直线l，,1,2,3,4,5,,解析答案,因为直线l与椭圆C有公共点， 所以Δ＝(3t)2－4×3×(t2－12)≥0，,1,2,3,4,5,,解析答案,所以不存在符合题意的直线l.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,,解析答案,1,2,3,4,5,解 由已知，点C、D的坐标分别为(0，－b)，(0，b)，,1,2,3,4,5,,解析答案,解 当直线AB的斜率存在时， 设直线AB的方程为y＝kx＋1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，,1,2,3,4,5,,解析答案,其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0，,＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1,1,2,3,4,5,,解析答案,当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，,1,2,3,4,5,,1,2,3,4,5,,解析答案,(2)过点 的动直线l交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以线段AB为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.,1,2,3,4,5,,解析答案,当l与y轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1.,1,2,3,4,5,,解析答案,故若存在定点Q，则Q的坐标只可能为Q(0,1). 下面证明Q(0,1)为所求： 若直线l的斜率不存在，上述已经证明.,A(x1，y1)，B(x2，y2)，,1,2,3,4,5,Δ＝144k2＋64(9＋18k2)0，,,解析答案,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,,解析答案,1,2,3,4,5,,解析答案,1,2,3,4,5,(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值.,1,2,3,4,5,,解析答案,证明 设点P(x0，y0)，过点P的椭圆E的切线l0的方程为y－y0＝k(x－x0)整理得y＝kx＋y0－kx0，,1,2,3,4,5,,解析答案,1,2,3,4,5,,解析答案,1,2,3,4,5,5.(2014·福建)已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y＝－3的距离小2. (1)求曲线Γ的方程；,1,2,3,4,5,,解析答案,解 方法一 (1)设S(x，y)为曲线Γ上任意一点， 依题意，点S到F(0,1)的距离与它到直线y＝－1的距离相等， 所以曲线Γ是以点F(0,1)为焦点、直线y＝－1为准线的抛物线， 所以曲线Γ的方程为x2＝4y. 方法二 设S(x，y)为曲线Γ上任意一点，,1,2,3,4,5,,解析答案,依题意，点S(x，y)只能在直线y＝－3的上方，,1,2,3,4,5,化简，得曲线Γ的方程为x2＝4y.,(2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y＝3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论.,1,2,3,4,5,,解析答案,返回,解 当点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变.证明如下：,1,2,3,4,5,,解析答案,1,2,3,4,5,,解析答案,所以点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变.,1,2,3,4,5,,返回,