高考数学一轮复习 第八章 第4课时 直线、平面平行的判定及性质课件 理.ppt

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,,第八章 立 体 几 何,1．以立体几何的定义、公理、定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质和判定定理． 2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题． 请注意 近年来，高考题由考查知识向考查能力方向转变，题目新颖多变，灵活性强．立体几何试题一般都是综合直线和平面，以及简单几何体的内容于一体，经常是以简单几何体作为载体，全面考查线面关系．,1．直线和平面平行的判定定理 (1)定义：若直线与平面 ，则称直线平行平面； (2)判定定理：________________________； (3)其他判定方法：α∥β，a⊂α⇒a∥β. 2．直线和平面平行的性质定理 .,没有公共点,a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α,a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒a∥l,3．两个平面平行的判定定理 (1)定义：两个平面 ，称这两个平面平行； (2)判定定理：若一个平面内的 ，与另一个平面平行，则这两个平面平行； (3)推论：若一个平面内的 分别平行于另一个平面内的 ，则这两个平面平行．,没有公共点,两条相交直线,两条相交直线,两条相交直线,4．两个平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线 ． 5．与垂直相关的平行的判定定理 (1)a⊥α，b⊥α⇒ ； (2)a⊥α，a⊥β⇒ .,平行,a∥b,α∥β,1．(课本习题改编)给出下列四个命题： ①若一条直线与一个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行； ②若一条直线与一个平面内的两条直线平行，则这条直线与这个平面平行； ③若平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行；,④若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行． 其中正确命题的个数是________个． 答案 1 解析 命题①错，需说明这条直线在平面外． 命题②错，需说明这条直线在平面外． 命题③正确，由线面平行的判定定理可知． 命题④错，需说明另一条直线在平面外．,2．(课本习题改编)已知不重合的直线a，b和平面α， ①若a∥α，b⊂α，则a∥b； ②若a∥α，b∥α，则a∥b； ③若a∥b，b⊂α，则a∥α； ④若a∥b，a⊂α，则b∥α或b⊂α， 上面命题中正确的是________．(填序号) 答案 ④ 解析 ①若a∥α，b⊂α，则a，b平行或异面；②若a∥α，b∥α，则a，b平行、相交、异面都有可能；③若a∥b，b⊂α，a∥α或a⊂α.,3．若P为异面直线a，b外一点，则过P且与a，b均平行的平面( ) A．不存在 B．零个或一个 C．可以有两个 D．有无数多个 答案 B,4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD. 答案 略 证明 方法一：如图(1)所示，连接B1D1. ∵P，N分别是D1C1，B1C1的中点， ∴PN∥B1D1. 又B1D1∥BD，∴PN∥BD. 又PN⊄平面A1BD，BD⊂平面A1BD， ∴PN∥平面A1BD.同理：MN∥平面A1BD. 又PN∩MN＝N，∴平面PMN∥平面A1BD.,,方法二：如图(2)所示，连接AC1，AC， ∵ABCD－A1B1C1D1为正方体， ∴AC⊥BD. 又CC1⊥平面ABCD， ∴AC为AC1在平面ABCD上的射影，∴AC1⊥BD. 同理可证AC1⊥A1B， ∴AC1⊥平面A1BD.同理可证AC1⊥平面PMN. ∴平面PMN∥平面A1BD.,,5.(2014·新课标全国Ⅱ文)如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点． (1)证明：PB∥平面AEC；,,,解析 (1)证明：设BD与AC的交点为O，连接EO. 因为四边形ABCD为矩形， 所以O为BD的中点． 又E为PD的中点， 所以EO∥PB. 因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC， 所以PB∥平面AEC.,例1 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE. 【思路】 证明直线与平面平行可以利用直线与平面平行的判定定理，也可利用面面平行的性质．,题型一 直线与平面平行的判定与性质,,【证明】 方法一：如图所示． 作PM∥AB交BE于M， 作QN∥AB交BC于N， 连接MN.,,方法二：如图，连接AQ，并延长交BC延长线于K，连接EK.,,方法三：如图，在平面ABEF内，过点P作PM∥BE，交AB于点M，连接QM. ∴PM∥平面BCE.,,【答案】 略,探究1 判断或证明线面平行的常用方法有： (1)利用线面平行的定义(无公共点)； (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．,如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN，求证：MN∥平面AA1B1B.,思考题1,,【证明】 方法一：如右图，作ME∥BC，交BB1于E.作NF∥AD，交AB于F，连接EF，则EF⊂平面AA1B1B.,,又ME∥BC∥AD∥NF， ∴MEFN为平行四边形． ∴NM∥EF.又∵MN⊄面AA1B1B， ∴MN∥平面AA1B1B.,方法二： 如图，连接CN并延长交BA的延长线于点P，连接B1P，则B1P⊂平面AA1B1B.,,方法三：如右图，作MP∥BB1，交BC于点P，连接NP.,,【答案】 略,(1)求证：AP∥平面BEF； (2)求证：BE⊥平面PAC.,,【思路】 (1)根据已知可得四边形ABCE为菱形，在三角形PAC中利用三角形中位线定理可得PA平行于平面BEF内的一条直线，根据线面平行的判定定理可证；(2)由PA⊥CD，得出PA⊥BE.又AC⊥BE，从而根据线面垂直的判定定理可证．,因此四边形ABCE为菱形． 所以O为AC的中点． 又F为PC的中点， 因此在△PAC中，可得AP∥OF. 又OF⊂平面BEF，AP⊄平面BEF， 所以AP∥平面BEF.,,(2)由题意知ED∥BC，ED＝BC. 所以四边形BCDE为平行四边形． 因此BE∥CD. 又AP⊥平面PCD， 所以AP⊥CD.因此AP⊥BE. 因为四边形ABCE为菱形， 所以BE⊥AC. 又AP∩AC＝A，AP⊂平面PAC，AC⊂平面PAC， 所以BE⊥平面PAC. 【答案】 (1)略 (2)略,探究2 在多面体中判定平行关系是近年来高考中的常见题型．,(2015·江西抚州一中)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点． (1)证明：BC1∥平面A1CD；,思考题2,,【解析】 (1)证明：连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点． 又∵D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF. ∵DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD， ∴BC1∥平面A1CD.,【答案】 (1)略 (2)1,例3 如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点． 求证：平面AMN∥平面EFDB.,题型二 面面平行的判定与性质,,【证明】 连接MF，∵M，F是A1B1，C1D1的中点，四边形A1B1C1D1为正方形， ∴MF綊A1D1.又A1D1綊AD， ∴MF綊AD. ∴四边形AMFD是平行四边形． ∴AM∥DF. ∵DF⊂平面EFDB，AM⊄平面EFDB， ∴AM∥平面EFDB，同理AN∥平面EFDB. 又AM⊂平面ANM，AN⊂平面ANM，AM∩AN＝A， ∴平面AMN∥平面EFDB. 【答案】 略,探究3 证明面面平行的方法有： (1)面面平行的定义； (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行； (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行； (4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行； (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．,如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?,思考题3,,【解析】 当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.证明如下： ∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点， ∴QB∥PA. ∵P，O分别为DD1，DB的中点，∴D1B∥PO. 又∵D1B⊄平面PAO，PO⊂平面PAO，QB⊄平面PAO，PA⊂平面PAO， ∴D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO. 又D1B∩QB＝B，D1B⊂平面D1BQ，QB⊂平面D1BQ， ∴平面D1BQ∥平面PAO. 【答案】 Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO,例4 如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，C∈α，点B∈β，D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD. 求证：EF∥β.,,【证明】 ①当AB，CD在同一平面内时， 由α∥β，α∩平面ABDC＝AC， β∩平面ABDC＝BD，∴AC∥BD. ∵AE∶EB＝CF∶FD， ∴EF∥BD.又EF⊄β，BD⊂β，∴EF∥β.,②当AB与CD异面时， 设平面ACD∩β＝DH，且DH＝AC， ∵α∥β，α∩平面ACDH＝AC，∴AC∥DH. ∴四边形ACDH是平行四边形． 在AH上取一点G，使AG∶GH＝CF∶FD， 又∵AE∶EB＝CF∶FD，∴GF∥HD，EG∥BH. 又EG∩GF＝G，∴平面EFG∥平面β. ∵EF⊂平面EFG，∴EF∥β. 综上，EF∥β. 【答案】 略,探究4 在应用面面平行、线面平行的性质时，应准确构造平面，此处需要利用公理3的有关知识，本例中对AB和CD位置关系的讨论具有一定的代表性，可见分类讨论的思想在立体几何中也多有体现．本题构造了从面面平行转化为线线平行，再通过线线平行的“积累”上升为面面平行，然后利用线面、面面平行的定义证明“一个平面内的直线，平行于另一个平面”这一结论．本题设计精巧，转化目的明确，具有一定的代表性．,如图所示，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．,思考题4,,,2．直线与平面平行的重要判定方法： ①定义法；②判定定理；③面与面的平行性质． 3．平面与平面平行的主要判定方法： ①定义法；②判定定理；③推论；④a⊥α，a⊥β⇒α∥β.各种关系能相互转化，特别要关注转化所需条件是什么． 4．可以考虑向量的工具性作用，能用向量的尽可能应用向量解决，可使问题简化．,1．下列命题中正确的是________． ①若直线a不在α内，则a∥α； ②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α； ③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行； ④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；,⑤若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点； ⑥平行于同一平面的两直线可以相交． 答案 ⑤⑥,解析 a∩α＝A时，a不在α内， ∴①错；直线l与α相交时，l上有无数个点不在α内，故②错；l∥α时，α内的直线与l平行或异面，故③错；a∥b，b∥α时，a∥α或a⊂α，故④错；l∥α，则l与α无公共点，∴l与α内任何一条直线都无公共点，⑤正确；如图，长方体中，A1C1与B1D1都与平面ABCD平行，∴⑥正确．,,2．给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面α，β，γ的三个命题： ①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β； ②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m； ③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n. 其中真命题为________． 答案 ③,3．(2015·福建四地六校联考)一个多面体的直观图和三视图如图所示(其中M，N分别是AF，BC中点)． (1)求证：MN∥平面CDEF； (2)求多面体A—CDEF的体积．,,4.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E，F，G分别为PC，PD，BC的中点． (1)求证：PA∥平面EFG； (2)求三棱锥P—EFG的体积．,,解析 (1)证明 如图，取AD的中点H，连接GH，FH. ∵E，F分别为PC，PD的中点， ∴EF∥CD. ∵G，H分别是BC，AD的中点， ∴GH∥CD.∴EF∥GH. ∴E，F，H，G四点共面． ∵F，H分别为DP，DA的中点，∴PA∥FH. ∵PA⊄平面EFG，FH⊂平面EFG， ∴PA∥平面EFG.,,5．(2015·衡水中学调研)如图所示，在几何体ABCDFE中，△ABC，△DFE都是等边三角形，且所在平面平行，四边形BCED是边长为2的正方形，且所在平面垂直于平面ABC. (1)求几何体ABCDFE的体积； (2)证明：平面ADE∥平面BCF.,,(2)证明：由(1)知AO∥FG，AO＝FG， ∴四边形AOFG为平行四边形，∴AG∥OF. 又∵DE∥BC，DE∩AG＝G，DE⊂平面ADE， AG⊂平面ADE，FO∩BC＝O，FO⊂平面BCF，BC⊂平面BCF， ∴平面ADE∥平面BCF.,