高考数学大一轮总复习 第10篇 第6节 离散型随机变量的分布列及均值与方差课件 理 新人教A版 .ppt

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,第6节 离散型随机变量的分布列及均值与方差,,基 础 梳 理,1．离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为 ，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．,随机变量,2．离散型随机变量的分布列 (1)定义 一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率为P(X＝xi)＝pi，则表 称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了简单起见，也用等式___________________ _______________表示X的分布列．,P(X＝xi)＝pi，,i＝1，2，…，n,pi≥0，i＝1,2，…，n,②超几何分布 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝__________，(k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*)，称分布列为超几何分布列．如果随机变量X的分布列具有下表的形式，则称随机变量X服从超几何分布.,3．均值与方差 (1)均值 称E(X)＝______________________________为随机变量X的均值或_________．它反映了离散型随机变量取值的_________． (2)方差 称D(X)＝_____________ 为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的_______________，称其算术平方根为______随机变量X的标准差．,x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn,数学期望,平均水平,平均偏离程度,(3)均值与方差的性质 ①E(aX＋b)＝ . ②D(aX＋b)＝ ．(a，b为常数),aE(X)＋b,a2D(X),质疑探究：随机变量的均值、方差与样本的均值、方差的关系是怎样的？ 提示：随机变量的均值、方差是一个常数，样本的均值、方差是一个随机变量，随着试验次数的增加或样本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方差．,,考 点 突 破,[例1] 袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求： (1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量X的分布列； (3)计分介于20分到40分之间的概率．,离散型随机变量的分布列,[思维导引] (1)用组合数分别求出任取3个小球及3个小球数字各不相同的取法，然后利用古典概型的公式求值；(2)先依据题意确定X的取值，然后分别求出每个取值所对应事件的概率，列成表格的形式即可；(3)确定计分介于20分到40分之间所对应的X的取值，利用互斥事件的加法公式求解．,求解离散型随机变量的分布列，首先要根据实际情况确定离散型随机变量的取值，然后利用排列、组合与概率知识求出每个变量取值所对应事件的概率，最后以表格的形式给出．,即时突破1 一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码，求X的分布列．,[例2] (2013年高考天津卷)一个盒子里装有7张卡片， 其中有红色卡片4张， 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张， 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同)． (1) 求取出的4张卡片中， 含有编号为3的卡片的概率. (2) 在取出的4张卡片中， 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望．,离散型随机变量的期望与方差,[思维导引] (1)利用组合的知识分别求出任取4张卡片以及含有编号为3的取法种数，然后代入古典概型公式中求解；(2)先确定X的取值，求出相应的分布列，然后代入期望的公式求解．,求离散型随机变量ξ的均值与方差的方法 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； (2)求ξ取每个值的概率； (3)写出ξ的分布列； (4)由均值的定义求E(ξ)； (5)由方差的定义求D(ξ)．,即时突破2 (2014河北省衡水中学高三第八次模拟)为了响应学校“学科文化节”活动，数学组举办了一场数学知识比赛，共分为甲、乙两组．其中甲组得满分的有1个女生和3个男生，乙组得满分的有2个女生和4个男生．现从得满分的学生中，每组各任选2个学生，作为数学组的活动代言人． (1)求选出的4个学生中恰有1个女生的概率； (2)设X为选出的4个学生中女生的人数，求X的分布列和数学期望．,[例3] (2014山西省太原市第五中学高三月考)近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院的50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：,超几何分布,[思维导引] (1)先根据已知概率求出患心肺疾病的人数，从而得出表格中的各个数据；(2)利用2×2列联表中的数据代入公式求K2，然后利用临界值表进行判断；(3)先确定ξ的取值，利用超几何分布的概率公式求其每个取值所对应的概率，列出分布列，最后代入期望与方差的计算公式求解．,对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．,即时突破3 某校高一年级共有学生320人．为调查高一年级学生每天晚自习自主支配学习时间(指除了完成老师布置的作业后学生根据自己的需要进行学习的时间)情况，学校采用随机抽样的方法从高一学生中抽取了n名学生进行问卷调查． 根据问卷得到了这n名学生每天晚自习自主支配学习时间的数据(单位：分钟)，按照以下区间分为7组：①[0,10)，②[10，20)，③[20,30)，④[30,40)，⑤[40,50)，⑥[50,60)，⑦[60，70]，得到频率分布直方图如图．已知抽取的学生中每天晚自习自主支配学习时间低于20分钟的有4人．,(1)求n的值； (2)若高一全体学生平均每天晚自习自主支配学习时间少于45分钟，则学校需要减少作业量．根据以上抽样调查数据，学校是否需要减少作业量？(注：统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表) (3)问卷调查完成后，学校从第3组和第4组学生中利用分层抽样的方法抽取7名学生进行座谈，了解各学科的作业布置情况，并从这7人中随机抽取两名学生聘为学情调查联系人．设第3组中学生被聘的人数是X，求X的分布列和数学期望．,解：(1)由题图知第1组和第2组的频率分别是0.02和0.06，则n×(0.02＋0.06)＝4，解得n＝50. (2)设第i组的频率和频数分别是pi和xi， 由题图知p1＝0.02，p2＝0.06，p3＝0.3，p4＝0.4，p5＝0.12，p6＝0.08，p7＝0.02，,离散型随机变量的分布列、期望与方差 [典例] (12分)(2013年高考湖南卷)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：,,,