高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课件(理).ppt

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第三节 简单的逻辑联结词、 全称量词与存在量词,【知识梳理】 1.命题p∧q,p∨q,p的真假判断,真,真,假,假,真,假,假,真,真,假,假,真,2.全称量词和存在量词,∀,∃,3.全称命题和特称命题,∀x∈M,p(x),∃x0∈M,p(x0),∃x0∈M,∀x∈M,【特别提醒】 1.p∨q一真则真,p∧q全真才真;p∧q一假则假,p∨q全假才假;p与p的真假相反. 2.有些全称命题常省略全称量词,如对顶角相等. 3.对含有量词的命题否定时,不要忽略量词的改写.,【小题快练】 链接教材 练一练 1.(选修2-1P18习题1.3A组T1(3)改编) 已知p:2是偶数,q:2是质数,则命题p,q,p∨q,p∧q中真命题的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,【解析】选B. p和q显然都是真命题,所以p,q都是假命题,p∨q, p∧q都是真命题.,2.(选修2-1P27习题1.4A组T3(2)改编)命题“所有可以被5整除的整数,末位数字都是5”的否定为 .,【解析】全称命题的否定为特称命题,其否定为“有些可以被5整除的整数,末位数字不是5”. 答案:“有些可以被5整除的整数,末位数字不是5”,感悟考题 试一试 3.(2015湖北高考)命题“∃x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1”的否定是 ( ) A.∀x∈(0,+∞),lnx≠x-1 B.∀x∉(0,+∞),lnx=x-1 C.∃x0∈(0,+∞),lnx0≠x0-1 D.∃x0∉(0,+∞),lnx0=x0-1,【解析】选A.由特称命题的否定为全称命题可知,所求命题的否定为∀x∈(0,+∞),lnx≠x-1.,4.(2014湖南高考)设命题p:∀x∈R,x2+10,则p 为 ( ) A.∃x0∈R,x02+10 B.∃x0∈R,x02+1≤0 C.∃x0∈R,x02+10 D.∀x∈R,x2+1≤0 【解析】选B.p:∃x0∈R,x02+1≤0.,5.(2016汾阳模拟)已知命题p:∀x∈R,x2-5x+60,命题q:∃α,β∈R,使sin(α+β)=sinα+sinβ,则下列命题为真命题的是 ( ) A.p∧q B.p∨(q) C.(p)∨q D.p∧(q),【解析】选C.当2≤x≤3时,x2-5x+6≤0,所以命题p假.当α=0,β∈R时,sin(α+β)=sinα+sinβ成立,所以命题q真,即p为真,q为假.,考向一 含有逻辑联结词命题真假的判断 【典例1】(1)(2014重庆高考)已知命题p:对任意x∈R,总有2x0;q:“x1”是“x2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是 ( ) A.p∧q B.p∧q C.p∧q D.p∧q,(2)若命题“p∧q”为假命题,且“p”为假命题, 则 ( ) A.“p或q”为假 B.q假 C.q真 D.p假,【解题导引】(1)先判断命题p,q的真假,再根据真值表求解. (2)根据真值表判断.,【规范解答】(1)选D.易知命题p为真命题,因为x1无法推出x2成立,所以命题q为假命题,故p∧q为假命题,p∧q为假命题,p∧q为假命题,p∧q为真命题. (2)选B.由“p”为假,知“p”为真,又“p∧q”为假命题,从而q为假命题.,【规律方法】 1.判断含有逻辑联结词命题真假的步骤 (1)先判断简单命题p,q的真假. (2)再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假.,2.含逻辑联结词命题真假的等价关系 (1)p∨q真⇔p,q至少一个真⇔(p)∧(q)假. (2)p∨q假⇔p,q均假⇔(p)∧(q)真. (3)p∧q真⇔p,q均真⇔(p)∨(q)假. (4)p∧q假⇔p,q至少一个假⇔(p)∨(q)真. (5)p真⇔p假;p假⇔p真.,【变式训练】(2016太原模拟)设命题p:函数y=sin2x 的最小正周期为 ;命题q:在锐角三角形ABC中,sinA cosB,在命题①p;②p∨q;③p∧q;④p∨(q)中,真命 题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,【解析】选C.因为函数y=sin2x的最小正周期为T= =π,所以命题p假;在锐角三角形ABC中,A+B , 即A -B0,又因为Asin ,即sinAcosB,所以命题q真,所以p 真,q假,p∨q真,p∧q真,p∨(q)假.,【加固训练】 1.已知命题p:∃x0∈R,使tanx0=1,命题q:x2-3x+20的解集是{x|1x2},给出下列结论: ①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧(q)”是假命题;③命题“(p)∨q”是真命题;④命题“(p)∨ (q)”是假命题.其中正确的是 ( ) A.②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④,【解析】选D.命题p真,q真,所以①正确;②正确;③正确;④正确.,2.如果命题“非p或非q”是假命题,给出下列结论: ①命题“p且q”是真命题;②命题“p且q”是假命题;③命题“p或q”是真命题;④命题“p或q”是假命题.其中正确的结论是 ( ) A.①③ B.②④ C.②③ D.①④,【解析】选A.“非p或非q”是假命题,则“p且q”为真命题,“p或q”为真命题,从而①③正确.,考向二 全称命题、特称命题 【考情快递】,【考题例析】 命题方向1:全称命题、特称命题的真假判断 【典例2】(2014全国卷Ⅰ)不等式组 的解 集记为D.有下面四个命题: p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2, p2:∃(x0,y0)∈D,x0+2y0≥2,,p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3, p4:∃(x0,y0)∈D,x0+2y0≤-1. 其中真命题是 ( ) A.p2,p3 B.p1,p2 C.p1,p4 D.p1,p3,【解题导引】先画出不等式组表示的可行域,再转化为求目标函数z=x+2y的取值范围,并由此判断四个命题的真假.,【规范解答】选B.画出可行域如图所示,,设x+2y=z,则y= 当直线经过点(2,-1)时z取得最小值, zmin=2+2(-1)=0,即z≥0, 所以命题p1,p2是真命题.,命题方向2:全称命题、特称命题的否定 【典例3】(1)(2015全国卷Ⅰ)设命题p:∃n0∈N, n02 ,则p为 ( ) A.∀n∈N,n22n B.∃n0∈N,n02≤ C.∀n∈N,n2≤2n D.∃n0∈N,n02= (本题源自A版选修2-1P27习题1.4A组T3(3)),(2)(2015浙江高考)命题“∀n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是 ( ) A.∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)n B.∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)n C.∃n0∈N*,f(n0)∉N*且f(n0)n0 D.∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)n0,【解题导引】(1)特称命题的否定是全称命题,“”的否定是“≤”. (2)全称命题的否定是特称命题,“且”的否定是“或”.,【规范解答】(1)选C.p:∀n∈N,n2≤2n. (2)选D.根据全称命题的否定是特称命题,否定结论,“且”要换为“或”,“≤”换为“”,可知选D.,【技法感悟】 1.全称命题与特称命题真假的判断方法,2.全称命题与特称命题的否定 (1)改写量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行改写. (2)否定结论:对原命题的结论进行否定.,【题组通关】 1.(2016黄山模拟)命题“∀x∈R,2x0”的否定 是 ( ) A.∀x∉R,2x≤0 B.∀x∈R,2x≤0 C.∃x0∈R, 0 D.∃x0∈R, ≤0,【解析】选D.全称命题的否定是特称命题,故命题 “∀x∈R,2x0”的否定是“∃x0∈R, ≤0”.,2.(2016唐山模拟)设p:“∃x0∈Z,x031”,则p 为( ) A.∃x0∈Z,x031 D.∀x∈Z,x3≤1 【解析】选D.特称命题的否定是全称命题,故p为“∀x∈Z,x3≤1”.,3.(2013全国卷Ⅰ)已知命题p:∀x∈R,2x3x;命题 q:∃x0∈R,x03=1-x02,则下列命题中为真命题的是 ( ) A.p∧q B.p∧q C.p∧q D.p∧q,【解析】选B.对于命题p:取x=-1,可知为假命题,p为真命题;对于命题q:令f(x)=x3+x2-1,则f(0)f(1)0,故f(x)有零点,即方程x3+x2-1=0有解,所以q:∃x0∈R, x03=1-x02为真命题,q为假命题,从而p∧q为真命题.,4.(2016偃师模拟)已知命题p:∃x0∈R,log2( +1) ≤0,则 ( ) A.p是假命题,p:∀x∈R,log2(3x+1)≤0 B.p是假命题,p:∀x∈R,log2(3x+1)0 C.p是真命题,p:∀x∈R,log2(3x+1)≤0 D.p是真命题,p:∀x∈R,log2(3x+1)0,【解析】选B.因为3x+11,所以log2(3x+1)0恒成立,则命题p是假命题;又p:∀x∈R,log2(3x+1)0.,考向三 根据命题的真假求参数的取值范围 【典例4】(1)(2015山东高考)若 “∀x∈ ,tanx≤m”是真命题, 则实数m的最小值为 .,(2)设命题p:∃x0∈R,x02-x00,若p∨q为真,p∧q为假,则实数a的取值范围为 .,【解题导引】(1)转化为求tanx的最大值,然后求实数m的最小值. (2)分别求命题p和q为真时a的取值范围,再由题意列关于a的不等式(组)求解.,【规范解答】(1)由0≤x≤ ,可得0≤tanx≤1. 由tanx≤m恒成立可知m≥1,即m的最小值是1. 答案:1,(2)因为x2-x= 所以(x2-x)min= 由题意,若p为真,则- - , 若q为真,则Δ=4a2-40, 解得-1a1.,由p∨q为真,p∧q为假知p与q一真一假, 当p真q假时, 解得a≥1. 当p假q真时, 解得-1a≤- .,综上所述,a的取值范围是 ∪[1,+∞). 答案: ∪[1,+∞),【母题变式】1.若本例(1)条件“∀x∈ ”变为 “∃x0∈ ”,求实数m的取值范围. 【解析】当x∈ 时,(tanx)min=tan0=0, 由题意,得0≤m,即m≥0, 所以实数m的取值范围是[0,+∞).,2.若本例(1)条件“∀x∈ ,tanx≤m”变为 “∀x∈ ,sinx+cosx≤m”,求实数m的取值范围.,【解析】因为sinx+cosx= 所以(sinx+cosx)max= 所以 ≤m,即m≥ , 即实数m的取值范围为[ ,+∞).,【规律方法】根据命题的真假求参数取值范围的策略 (1)全称命题:可转化为恒成立问题,特称命题转化为存在性问题.,(2)含逻辑联结词问题: ①求出每个命题是真命题时参数的取值范围; ②根据题意确定每个命题的真假; ③由各个命题的真假列关于参数的不等式(组)求解.,【变式训练】已知命题p:“∀x∈[0,1],a≥ex”;命题q:“∃x0∈R,使得x02+4x0+a=0”.若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是 .,【解析】若命题“p∧q”是真命题,那么命题p,q都是真命题.由∀x∈[0,1],a≥ex,得a≥e;由∃x0∈R,使x02+4x0+a=0,知Δ=16-4a≥0,a≤4,因此e≤a≤4. 答案:[e,4],【加固训练】 1.命题“∃x0∈R,2x02-3ax0+90”为假命题,则实数a的取值范围为 .,【解析】因题中的命题为假命题,则它的否定“∀x∈ R,2x2-3ax+9≥0”为真命题,也就是常见的“恒成立” 问题,因此只需Δ=9a2-429≤0,即-2 ≤a≤2 . 答案:[-2 ,2 ],2.已知命题p:关于x的不等式ax1(a0,a≠1)的解集是{x|x0},命题q:函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R,如果p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数a的取值范围.,【解析】由关于x的不等式ax1(a0,a≠1)的解集是{x|x0的解集为R, 则,解得a . 因为p∨q为真命题,p∧q为假命题, 所以p和q一真一假,即“p假q真”或“p真q假”, 故 解得a≥1或0a≤ , 故实数a的取值范围是 ∪[1,+∞).,