高考数学总复习 第五章 数列、推理与证明 第8讲 数学归纳法课件 理.ppt

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第8讲,数学归纳法,1．掌握“归纳—猜想—证明”这一基本思路． 2．了解数学归纳法的基本原理．,3．能利用数学归纳法证明与自然数有关的命题．,1．运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基 (或递推基础)，第二步是归纳递推(或归纳假设)，两步缺一不可． 2．用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题， 其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何 问题等．,条时，第一步检验第一个值 n0 等于(,),A．1,B．2,C．3,D．4,且 n1)时，在第二步证明从 n＝k 到 n＝k＋1 成立时，左边增加,的项数是(,),A．2k B．2k－1 C．2k－1 D．2k＋1,C,A,3.凸 n 边形有 f(n)条对角线，则凸 n＋1 边形有对角线数 f(n,＋1)为(,),C,5,A．f(n)＋n＋1 C．f(n)＋n－1,B．f(n)＋n D．f(n)＋n－2,4．若不等式 2nn2＋1对于n≥n0的正整数 n 都成立，则 n0 的最小值为_______.,考点1,对数学归纳法的两个步骤的认识,上述证法(,),A．过程全都正确 B．n＝1 验得不正确 C．归纳假设不正确 D．从 n＝k 到 n＝k＋1 的推理不正确 解析：上述证明过程中，在由n＝k 变化到n＝k＋1 时，不 等式的证明使用的是放缩法而没有使用归纳假设．故选 D. 答案：D,答案：B,【规律方法】用数学归纳法证明时，要注意观察下列几个 方面：①n 的范围以及递推的起点；②观察首末两项的次数(或 其他)，确定n＝k 时命题的形式f(k)；③从f(k＋1)和f(k)的差异， 寻找由k 到 k＋1 递推中，左边要加(或乘)的式子.,,【互动探究】,1．用数学归纳法证明 1＋a＋a2＋…＋an＝,1－an＋1 (a≠1， 1－a,n∈N*)时，在验证 n＝1 时，左边计算所得的式子是(,),B,A．1 C．1＋a＋a2,B．1＋a D．1＋a＋a2＋a4,解析：n＝1 时，左边的最高次数为1，即最后一项为a， 左边是 1＋a.,,,,＋, —的,2．用数学归纳法证明不等式,1 1 n＋1 n＋2,＋…＋,1 13 n＋n 24,过 程中 ， 由 k 推 导到 k ＋ 1 时 ，不等式左 边增加 的 式子 是,.,,答案：,n(n＋1) ＝,(an2＋bn＋c)对一切正整数 n 都成立？证明你,考点2,用数学归纳法证明恒等式命题,例2：是否存在常数 a，b，c，使等式 122＋232＋…＋,2,n(n＋1) 12,的结论． 思维点拨：从特殊入手，探求a，b，c 的值，考虑到有 3 个未知数，先取 n＝1,2,3，列方程组求得，然后用数学归纳法 对一切 n∈N*，等式都成立．,,(3n2＋11n,a＋b＋c＝24， 解：把 n＝1,2,3 代入得方程组 4a＋2b＋c＝44， 9a＋3b＋c＝70， a＝3， 解得 b＝11， c＝10.,猜想：等式122＋232＋…＋n(n＋1)2＝,n(n＋1) 12,＋10)对一切 n∈N*都成立．,,,,,(3k2＋11k＋10)，,下面用数学归纳法证明： (1)当 n＝1 时，由上面可知等式成立． (2)假设 n＝k 时等式成立， 即 122＋232＋…＋k(k＋1)2,＝,k(k＋1) 12,,,,,k(k＋1),k(k＋1),则122＋232＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2,＝,12,(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2,＝,12,(3k＋5)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)2,＝,(k＋1)(k＋2) 12,[k(3k＋5)＋12(k＋2)],＝,(k＋1)(k＋2) 12,[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]．,∴当 n＝k＋1 时，等式也成立． 综合(1)(2)，对n∈N*等式都成立．,【规律方法】这是一个探索性命题，“归纳—猜想—证明” 是一个完整的发现问题和解决问题的思维模式.对于探索命题 特别有效，要求善于发现规律，敢于提出更一般的结论，最后 进行严密的论证.从特殊入手，探求a，b，c 的值，考虑到有3 个未知数，先取n＝1，2，3，列方程组求得，然后用数学归纳 法对一切n∈N*，等式都成立.,,,,,,,＝,＝ ，,＝ ，左边＝右边，所以等式成立．,【互动探究】,3．用数学归纳法证明：当 n∈N*时，,1 13,＋,1 35,＋…＋,1 n (2n－1)(2n＋1) 2n＋1,.,证明：(1)当n＝1 时，左边＝,1 1 13 3,右边＝,1 21＋1,1 3,,,,,,,,,,,,,,,,,＋,k＋1 k＋1,(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即有,1 13,＋,1 35,＋…＋,1 (2k－1)(2k＋1),＝,k 2k＋1,，,则当 n＝k＋1 时，,1 13,＋,1 35,＋…＋,1 (2k－1)(2k＋1),＋,1 (2k＋1)(2k＋3),＝,k 1 2k＋1 (2k＋1)(2k＋3),＝,k(2k＋3)＋1 (2k＋1)(2k＋3),＝,2k2＋3k＋1 (2k＋1)(2k＋3),＝,＝ 2k＋3 2(k＋1)＋1,，,所以当 n＝k＋1 时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对一切n∈N*等式都成立．,考点3 用数学归纳法证明整除性命题,例3：试证：当n 为正整数时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被 64,整除．,证明：方法一：(1)当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64， 命题显然成立． (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时， f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除． 由于32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋98k＋99－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋64(k＋1)， 即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)， ∴n＝k＋1时命题也成立． 根据(1)(2)可知，对任意的n∈N*，命题都成立．,方法二：(1)当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64，命题显然成立． (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除． 由归纳假设，设32k＋2－8k－9＝64m(m为大于1的自然数)，将32k＋2＝64m＋8k＋9代入到f(k＋1)中， 得f(k＋1)＝9(64m＋8k＋9)－8(k＋1)－9＝64(9m＋k＋1)， ∴当n＝k＋1时命题成立． 根据(1)(2)可知，∀n∈N*，命题都成立．,【互动探究】,4．求证：二项式 x2n－y2n(n∈N*)能被 x＋y 整除．,证明：(1)当n＝1时， x2－y2＝(x＋y)(x－y)，能被x＋y整除，命题成立． (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，x2k－y2k能被x＋y整除，那么当n＝k＋1时， x2k＋2－y2k＋2＝x2x2k－y2y2k＝x2x2k－x2y2k＋x2y2k－y2y2k ＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)， 显然x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除， 即当n＝k＋1时命题成立． 由(1)(2)知，对任意的正整数n命题均成立．,,●难点突破●,⊙数学归纳法的应用,例题：(2014年广东)设数列{an}的前n和为Sn，满足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15. (1)求a1，a2，a3的值； (2)求数列{an}的通项公式．,,则Sk＝3＋5＋7＋(2k＋1)＝,3＋(2k＋1) 2,k＝k(k＋2)．,解：S2＝4a3－20，S3＝S2＋a3＝5a3－20. 又S3＝15，∴a3＝7，S2＝4a3－20＝8. 又S2＝S1＋a2＝(2a2－7)＋a2＝3a2－7， ∴a2＝5，a1＝S1＝2a2－7＝3. 综上所述，a1＝3，a2＝5，a3＝7. (2)由(1)猜想an＝2n＋1， ①当n＝1时，结论显然成立； ②假设当n＝k(k≥1)时，ak＝2k＋1，,又Sk＝2kak＋1－3k2－4k， ∴k(k＋2)＝2kak＋1－3k2－4k.解得ak＋1＝2k＋3. ∴ak＋1＝2(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时，结论成立． 由①②知，∀n∈N*，an＝2n＋1. 【规律方法】猜想an＝2n＋1；根据猜想求出Sk；再利用Sk＝2kak＋1－3k2－4k求出ak＋1；验证ak＋1也满足猜想，得出结论.,