2019-2020年高中数学 2.1.3余弦定理（一）教案 北师大版必修5.doc

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2019-2020年高中数学 2.1.3余弦定理（一）教案 北师大版必修5 知识梳理 余弦定理： (1)形式一：，， 形式二：，，，（角到边的转换）(2)解决以下两类问题： 1）、已知三边，求三个角；（唯一解） 2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解） 题型一 根据三角形的三边关系求角 例1．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(＋1)∶(－1)∶，求最大角. 解：∵＝＝＝k ∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝(+1)∶(－1)∶ 设a＝(＋1)k，b＝(－1)k，c＝k (k＞0) 则最大角为C.cosC＝ ＝＝－ ∴C＝120. 评析：在将已知条件中角的关系转化为边的关系时，运用了正弦定理的变形式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，这一转化技巧，应熟练掌握.在三角形中，大边对大角，所以角C最大。 题型二 已知三角形的两边及夹角解三角形 例2.在△ABC中，=，=，且，是方程的两根，。 （1） 求角C的度数； （2） 求的长； （3）求△ABC的面积。 解：(1) （2）因为，是方程的两根，所以 （3） 评析：在余弦定理的应用中，注意与一元二次方程中韦达定理的应用。方程的根往往不必直接求出，要充分利用两根之和与两根之差的特点。 备选题 正、余弦定理的综合应用 例3.在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且 求b 解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得. 解法二:由余弦定理得: .又,。 所以…………………………………① 又， ，即 由正弦定理得，故………………………② 由①，②解得。 评析:从近年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 例3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，，，证明： 。 证明：由余弦定理知： ， 则 ， 整理得: ， 又由正弦定理得: ， ， 评析：三角形中的证明，应充分利用正、余弦定理，三角函数的公式，在边、角关系中，明确证明思路，都化为边的关系或都化为角的关系。 . 点击双基 1．在△ABC中，若a=2, b=2, c=+,则∠A的度数是 ( ) (A) 30 (B) 45 (C) 60 (D) 75 解：=，A=30 答案：A 2．在△ABC中，若则 ( ) A． B． C． D． 解： 答案：B 3. 在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 解：由2cosBsinA=sinC得a=c，∴a=b. 答案：C 4．在△ABC中，若∶∶∶∶，则_____________。 解：∶∶∶∶∶∶， 令 答案： 5. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知 则A＝ . 解：由余弦定理可得， ∴ 答案： 课后作业 1．边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A． B． C． D． 解： 设中间角为，则为所求 答案：B 2. 以4、5、6为边长的三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角或钝角三角形 解：长为6的边所对角最大，设它为， 则 答案：A 3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 解：设顶角为C，因为， 由余弦定理得： 答案：D 4.在中，角A、B、C的对边分别为、、，若，则角B的值为（ ） A. B. C.或 D. 或 解：由得即 ,又B为△ABC的内角，所以B为或 答案：D 5．在△ABC中，若，则最大角的余弦是（ ） A． B． C． D． 解： ，为最大角， 答案：C 6. 在中，，则三角形为（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 解：由余弦定理可将原等式化为 答案：C 7.的内角的对边分别为，若，则等于（ ） A． B．2 C． D． 解：由余弦定理得，，6=a+2+aa=或-2（舍去） 答案：D 8. 三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程的根，则三角形的另一边长为（ ） A. 52 B. C. 16 D. 4 解：由题意得或2（舍去） 答案：B 二．填空题 9.△ABC中，若，则A= 解：= A= 答案： 10．在△ABC中，若则△ABC的形状是_________。 解： 为最大角，为锐角 答案：锐角三角形 11．在锐角△ABC中，若，则边长的取值范围是_________。 解： 答案： 三．解答题 12.在△ABC中： (1)已知b＝8，c＝3，A＝60，求a； (2)已知a＝20，b＝29，c＝21，求B； (3)已知a＝3，c＝2，B＝150，求b； (4)已知a＝2，b＝，c＝＋1，求A. 解：(1)由a2＝b2＋c2－2bccosA得 a2＝82＋32－283cos60＝49，∴a＝7. (2)由cosB＝得 cosB＝＝0，∴B＝90. (3)由b2＝a2＋c2－2accosB得 b2＝(3)2＋22－232cos150＝49，∴b＝7. (4)由cosA＝得 cosA＝＝，∴A＝45. 13在△ABC中，，求。 解： ，而 所以 14半径为R的圆外接于△ABC，且2R(sin2A-sin2C)＝(a-b)sinB．求角C； 解：(1)∵　 ∵　2R(sin2A-sin2C)＝(a－b)sinB ∴　2R［()2-()2］＝(a-b)∴　a2-c2＝ab-b2 ∴　∴　cosC＝，∴　C＝30