高三数学一轮复习 第二篇 函数、导数及其应用 第6节 二次函数与幂函数课件(理).ppt

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第6节 二次函数与幂函数,知识链条完善,考点专项突破,易混易错辨析,知识链条完善 把散落的知识连起来,【教材导读】 1.一元二次不等式恒成立的充要条件是什么?,2.幂函数y=xα(α为常数)的奇偶性与α有什么关系?,提示:α是奇数时,y=xα为奇函数;α是偶数时,y=xα是偶函数.,知识梳理,1.二次函数 (1)定义 形如 的函数叫做二次函数. (2)表示形式 ①一般式:y= ; ②顶点式:y= ,其中 为抛物线顶点坐标; ③零点式:y= ,其中x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐标.,y=ax2+bx+c(a≠0),ax2+bx+c(a≠0),a(x-h)2+k(a≠0),(h,k),a(x-x1)(x-x2)(a≠0),R,R,,,,,,,,,2.幂函数 (1)幂函数的概念 形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是 ,α为 .,自变量,常数,,,2.对幂函数y=xα,当α0时,其图象经过(0,0)点和(1,1)点,且在第一象限内单调递增;当α0时,其图象不过(0,0)点,经过(1,1)点,且在第一象限内单调递减.,夯基自测,B,A,2.如果函数f(x)=x2-ax-3在区间(-∞,4]上单调递减,则实数a的取值范围是( ) (A)[8,+∞) (B)(-∞,8] (C)[4,+∞) (D)[-4,+∞),B,答案:1或2,5.函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,3]上是减函数,则实数a的取值范围是 .,解析:二次函数f(x)的对称轴是x=1-a,由题意知1-a≥3,所以a≤-2.,答案:(-∞,-2],考点专项突破 在讲练中理解知识,考点一,幂函数的图象与性质,解析:(1)分别作出f(x),g(x),h(x)的图象,如图所示. 可知当0g(x)f(x).,(2)由题意知m2-2m-3为奇数且m2-2m-30,由m2-2m-30得-1m3,又m∈N*,故m=1或2. 当m=1时,m2-2m-3=1-2-3=-4(舍去).当m=2时,m2-2m-3=22-22-3=-3,所以m=2.,答案:(1)h(x)g(x)f(x) (2)2,反思归纳 利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧:结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂,选择适当的幂函数,借助其单调性进行比较.,解析:由题意知m2-m-1=1,解得m=2或m=-1, 当m=2时,m2-2m-3=-3,f(x)=x-3符合题意, 当m=-1时,m2-2m-3=0,f(x)=x0不合题意. 综上知m=2.故选A.,考点二,二次函数的图象与性质,考查角度1:二次函数图象的识别问题. 【例2】 (2016洛阳模拟)对数函数y=logax(a0且a≠1)与二次函数y=(a-1)x2-x在同一坐标系内的图象可能是( ),解析:若01,则y=logax单调递增,y=(a-1)x2-x开口向上,其图象的对称轴在y轴右侧,排除B.故选A.,反思归纳,辨析二次函数的图象应从开口方向、对称轴、顶点坐标以及图象与坐标轴的交点等方面着手讨论或逐项排除.,考查角度2:利用二次函数图象研究最值问题. 【例3】 已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值).记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B等于( ) (A)16 (B)-16 (C)a2-2a-16 (D)a2+2a-16,反思归纳,(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键都是对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论. (2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解,最值一般在区间的端点或顶点处取得.,考查角度3:利用二次函数图象研究根的分布问题. 【例4】 已知关于x的方程(m+3)x2-4mx+2m-1=0的两根异号,且负根的绝对值比正根大,则实数m的取值范围是 .,答案: {m|-3m0},反思归纳,在研究一元二次方程根的分布问题时,常借助二次函数的图象来解,一般从四个方面分析:①开口方向;②对称轴位置;③判别式;④端点函数值符号.,二次函数的综合问题,考点三,【例5】 设关于x的一元二次方程ax2+x+1=0(a0)有两个实根x1,x2. (1)求(1+x1)(1+x2)的值; (2)求证:x1-1且x2-1;,反思归纳,(1)对于函数y=ax2+bx+c,注意结合条件辨别是否是二次函数即判断a是否为0,有时需分a=0与a≠0两种情况讨论. (2)由不等式恒成立求参数取值范围,常用分离参数法,转化为求函数最值问题,其依据是a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.,【即时训练】 若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若在区间[-1,1]上,不等式f(x)2x+m恒成立,求实数m的取值范围.,(2)由题意,x2-x+12x+m在[-1,1]上恒成立. 则mx2-3x+1在[-1,1]上恒成立,令g(x)=x2-3x+1,x∈[-1,1], 易知g(x)在x∈[-1,1]上是减函数, 所以g(x)min=g(1)=-1,应有m-1.因此实数m的取值范围是(-∞,-1).,备选例题,(2)当a,b满足M(a,b)≤2时,求|a|+|b|的最大值.,【例2】 设函数f(x)=x2-2x+2,x∈[t,t+1],t∈R,求函数f(x)的最小值.,易混易错辨析 用心练就一双慧眼,忽视对“轴动区间定”的讨论而致误,【典例】 若f(x)=-4x2+4ax-4a-a2在区间[0,1]内有最大值-5,则a= .,易错提醒:当已知二次函数在某区间上的最值求参数时,要根据对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论确定各种情况时的最值,建立方程求解参数.同时注意数形结合思想的应用.,