2019-2020年高一数学上 第2章《不等式》学案 沪教版.doc

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2019-2020年高一数学上 第2章《不等式》学案 沪教版 【知识网络】 同加性 传递性 同乘性 对称性 不等式的性质 实数比较大小 不等式的证明 综合法 分析法 比较法 常规方法 特殊方法 换元法 放缩法 判别式法法 反证法 数学归纳法法 解不等式 基本类型不等式的解法 n元均值不等式 绝对值不等式的性质 一元一次不等式 一元一次不等式 一元一次不等式 一元一次不等式 一元一次不等式 一元一次不等式 一元一次不等式 1．1 不等式的性质 【考点透视】 一、考纲指要 1．理解不等式的性质及其证明. 二、命题落点 1．不等式的性质主要以客观题形式出现往往融于其他问题之中，.如例1，例2 2．利用不等式的性质结合已知条件比较大小、判断不等式有关结论是否成立或利用不等式研究变量的范围，求字母的取值或取值范围等..如练习9. 【典例精析】 例1 : 若则下列不等式不能成立的是（ ） A． B． C． D． 解析: 由 知 ab >0, 因此成立; 由 得 由于是减函数, 所以亦成立,故一定不成立的是B． 答案：B． 例2：（xx•北京）设a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论中正确的是（ ） A．a+c>b+d B．a－c>b－d C．ac>bd D． 解析：∵a>b，c>d，∴a+c>b+D． 答案：A． 例3：（xx•福建）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 解析:不等式的解是x>或x<. 答案：A． 【常见误区】 1．不等式的“运算”只有加法法则和乘法法则，没有减法法则和除法法则，再利用数的性质进行转化时往往出错； 2．在运用不等式的性质是对不等式进行了非同解变形. 【基础演练】 1．（xx•北京）已知a、b、c满足，且，那么下列选项中不一定成立的是 （ ） A． B． C． D． 2．（xx•湖北) 若，则下列不等式①；②③；④中，正确的不等式有 （ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（xx•辽宁）对于，给出下列四个不等式 （ ） ① ② ③ ④ 其中成立的是 （ ） A．①与③ B．①与④ C．②与③ D．②与④ 4. 对“、、是不全相等的正数”，给出下列判断： ①； ②＞与＜及≠中至少有一个成立； ③≠，≠，≠不能同时成立．其中判断正确的个数为 （ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．二次函数的部分对应值如下表： x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 则不等式的解集是_________________． 6．若不等式有且只有一个解，则实数 ． 7．比较大小：与（且）. 8．已知, 求证． 9．定义在上的函数满足: 如果对任意x1, x2∈R, 都有 ≤ 则称函数 是上的凹函数． 已知二次函数 求证: 当时, 函数是凹函数． 1．2 算术平均数与几何平均数 【考点透视】 一、考纲指要 1．掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用. 二、命题落点 1．以二元均值不等式的考查最为常见，命题形式往往在选择题或填空题中，如例1，例2，例3. 2．在解答题中常与最值问题结合在一起以及函数的值域等知识一起考查，试题解法突出常规方法，淡化特殊技巧，一般以求最值的形式来问如练习题9. 【典例精析】 例1:（xx•全国1）当时，函数的最小值为（ ） A．2 B． C．4 D． 解析： ，当且仅当，即时，取“”，∵，∴存在使，这时， 答案：C． 例2：(xx•福建) 下列结论正确的是（ ） A．当 B． C．的最小值为2 D．当无最大值 解析：A中lgx不满足大于零,C中的最小值为2的x值取不到,D 当x=2时有最大值,选B． 答案：B 例3：（xx•重庆）若 是正数，则的最小值是（ ） A．3 B． C．4 D． 解析： 当且仅当 得时. 答案：C 【常见误区】 1．在运用均值不等式时，对等号成立的条件不注意往往出错； 2．不注意各种不等式成立的条件，误用公式，特别是非负性的考虑. 【基础演练】 1．(xx•陕西) 已知不等式(x+y)( + )≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为 （ ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（xx•全国）的最小值为 （ ） A．－ B．－ C．－－ D．+ 3．已知函数的反函数为则的最小值为 （ ） A．1 B． C． D． 4．函数的最大值是 （ ） A． B． C． D． 5．（xx全国3）已知在△ABC中，∠ACB=90，BC=3，AC=4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的距离乘积的最大值是 . 6．已知正数则满足不等式的实数的取值范围是　　． 7．是否存在常数，使得不等式对任意正实数 、恒成立？证明你的结论． 8．已知，且，求： （1）的最小值； （2）若直线与轴，轴分别交于，求面积的最小值. 9．在交通拥挤地段，为了确保交通安全，规定机动车相互之间的距离d(米)与车速v(千米/ 小时)需遵循的关系是d≥(其中a(米)是车身长，a为常量)，同时规定d≥． （1）当d=时，求机动车车速的变化范围； （2）设机动车每小时流量Q=，应规定怎样的车速，使机动车每小时流量Q最大？ 1．3 不等式的证明 【考点透视】 一、考纲指要 1．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式； 2．理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ 二、命题落点 1．不等式的证明的考查主要是与数列、函数、导数、向量等知识相结合考察不等式的证明方法特别是数学归纳法、综合法、比较法等方法的掌握，如例1. 2．考查不等式的基础知识、分类讨论的思想、综合思维能力，如例2，例3. 【典例精析】 例1：(xx•江苏)已知函数满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有 和，其中是大于0的常数.设实数a0，a，b满足 和． （1）证明：，并且不存在，使得； （2）证明：； （3）证明：. 解析：（1）任取 和 ② 可知 ， 从而 . 假设有①式知 ∴不存在 （2）由 ③ 可知 ④ 由①式，得 ⑤ 由和②式知， ⑥ 由⑤、⑥代入④式，得 ． （3）由③式可知 （用②式） （用①式） 例2：(xx•北京) 设是定义在区间上的函数，且满足条件： ① ②对任意的 （1）证明：对任意的 （2）证明：对任意的 （3）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数，且使得 若存在，请举一例：若不存在，请说明理由. 解析：（1）由题设条件可知，当时，有 即 （2）对任意的 当不妨设则 所以， 综上可知，对任意的都有 由（1）可得，当时， 当 所以，当因此，对任意的 当时，当 时，有 且 所以 综上可知，对任意的都有 （3）满足所述条件的函数不存在. 理由如下，假设存在函数满足条件，则由 得 又所以① 又因为为奇数，所以由条件 得 ② ①与②矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在. 例3：正项数列满足． （1）求及; （2）　试确定一个正整数N, 使当时, 不等式 >成立; （3）求证: (1+)<． 解析：（1）(－1)(+1)=0, 又∵ ，故=, ， ==, =, =, …, = ． （2） 由==－(), =1+(－)+(－)+ … +(－)=2－ 从而有2－>, ∴<, 即n！>121． ∵5！=120, 6！=720, ∴n>5取N=5, n>N时, 原不等式成立. （3） (1+)展开式通项: T=C()= … <(r=0, 1, 2, 3, …, n) (1+)<++++ … += . 【常见误区】 1．不注意挖掘隐含条件从而导致错误； 2．例用均值不等式时不注意非负性导致错误； 3．特别是在运用放缩法时可能会出现过大或过小的情形. 【基础演练】 1．若a＞b＞1，P＝，Q＝（lga＋lgb），R＝lg（），则 （ ） A．R＜P＜Q B．P＜Q＜R C．Q＜P＜R D．P＜R＜Q 2．若x>0，y>0，且恒成立，则a的最小值是 （ ） A．2 B． C．2 D．1 3．已知则一定有 （ ） A． B． C． D． 4．已知,则 （ ） A． B． C． D． 5．给出下列3个命题：①若，则；②若，则；③若 且，则，其中真命题的序号为______________． 6．已知两个正数满足，则使不等式≥恒成立的实数m的取值范围 是 ． 7．（1）求证； （2） 求证 8．已知函数的最大值不大于，又当 （1）求a的值； （2）设 9．数列由下列条件确定： （1）证明：对于, （2）证明：对于． 1.4不等式的解法. 【考点透视】 一、考纲指要 1．掌握简单不等式的解法. 二、命题落点 1．主要考查一元二次不等式、对数不等式、指数不等式的解法主要考查非整式不等式的转化方法；如例1，例2； 2．考查含参分式不等式的解法以及分类讨论的思想方法.如例3. 【典例精析】 例1：（xx•重庆）不等式组的解集为（ ） A． B． C． D． 解析：∵的解集为，的解集为 ∴不等式的解集为 答案：C 例2：（xx•辽宁）若，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 解析：法一：代特殊值验证 法二：①当，即时，无解； ②当，即时，． 答案:C． 例3：（xx•江西）已知函数（a，b为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x1=3, x2=4. （1）求函数f(x)的解析式； （2）设，解关于x的不等式；． 解析：（1）将，得 （2）不等式即为， 即 ①当 ②当 ③． 【常见误区】 1．解分式不等式时忘掉分式成立的条件或对函数的单调形运用错误； 2．解含参数不等式时对字母讨论不全面. 【基础演练】 1．(xx•天津) 不等式的解集为 （ ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为则实数a的取值集合为 （ ） A． B． {1 } C． {a| a>1} D． 3．（xx•辽宁）在Ｒ上定义运算：．若不等式对 任意实数x成立，则 （ ） A． B． C． D． 4．设函数 ，则使得的自变量的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．已知则不等式≤5的解集是 . 6．( xx•全国)设函数则实数a的取值范围是 ． 7．实系数方程的一根大于0且小于1, 另一个根大于1且小于2, 求的 取值范围. 8．解关于x的不等式＜0（a∈R）． 9．记函数f(x)=的定义域为A, g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定义域为B． （1）求A； （2）若BA, 求实数a的取值范围. 1．5 含有绝对值的不等式 【考点透视】 一、考纲指要 1．掌握绝对值不等式的概念及其性质. 2．理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│. 二、命题落点 1．含绝对值不等式的解法主要出现在选择题、填空题中；如例1，例2； 2．证明主要出现在解答题中对能力要求较高.如例3. 【典例精析】 例1： (xx•辽宁) 设全集U=R 解关于x的不等式． 解析： 由 当时，解集是R； 当时，解集是 例2:（xx•山东），下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 解析：∵ 01，0<1－a<1, , ∴． 答案: A． 例3：（xx•浙江）已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＝2x． （1）求函数g(x)的解析式； （2）解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|． 解析：（1）设函数y=f(x)的图象上任一点Q(xq,yq关于原点的对称点(x,y), 则即∵点 在函数的图象上, ∴ 故． （2）由g(x)≥f(x)－|x－1|，可得2x2-|x-1|≤0． 当x≥1时,2x2-x+1≤0,此时不等式无解； 当x<1时,2x2+x-1≤0,∴-1≤x≤． 因此，原不等式的解集为[-1,]． 【常见误区】 1．运用不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│时出现错误； 2．对绝对值的意义理解有误，分类不全面导致错误. 【基础演练】 1．不等式的解集是 （ ） A． B． C． D． 2．不等式的解集是 （ ） A． B． C． D． 3．若不等式的解集为（－1，2），则实数a等于 （ ） A．8 B．2 C．－4 D．－8 4．若，∈R，则不等式≥的解集为R的充要条件是 （ 　） A． B． C．且≤ D．且≥ 5．不等式|x+2|≥|x|的解集是 . 6．不等式的解集 . 7．解不等式. 8．设且求证： 9．某段城铁线路上依次有A、B、C三站，AB=5km，BC=3km，在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A站发车，8时07分到达B站并停车1分钟，8时12分到达C站.在实际运行中，假设列车从A站正点发车，在B站停留1分钟，并在行驶时以同一速度匀速行驶，列车从A站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差. （1）分别写出列车在B、C两站的运行误差; （2）若要求列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，求的取值范围. 1．6 不等式的应用 【考点透视】 一、考纲指要 1．考查运用不等式在几何、函数，以及实际生活中的运用 二、命题落点 1．常结合函数、数列考查不等式的运用，特别是均值不等式的运用如例1，例2，例3. 【典例精析】 例1：（xx•广西卷）某村计划建造一个室内面积为800的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1宽的通道，沿前侧内墙保留3宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少？ 解析：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则 ab=800. 图5-6-1 蔬菜的种植面积 所以 当 答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2. 例2：（xx•上海）某单位用木料制作如图5-6-1所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8m2. 问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省? 解析：由题意得xy+x2=8, ∴y==(02），则 （ ） A．p>q B．p25时, Q=≤, ∴当=50时Q最大为. 1．3 不等式的证明 1. B 2. C 3. D 4. B　　5. ② 6. 7. （1）令， 由 知， ．于是，原不等式等价于．一方面，令 ， 则有，当 ，有 从而可以知道，函数在上是递增函数，所以有，即得　　 ． 另一面，令 ，则有 ，当时，有，从而可以知道，函数在上是递增函数，所以有 ，即得． 综上可知 　　　． （2）联系不等式（１）和（２），就会发现，令 时，不等式 也成立，于是代入，将所得各不等式相加，得　　 即 　 8．（1）由于的最大值不大于所以 ① 又所以. ② 由①②得 （2）（i）当n=1时，，不等式成立； 因时不等式也成立. （ii）假设时，不等式成立， 因为的对称轴为知为增函数， 所以由得 于是有 所以当时，不等式也成立. 根据（i）（ii）可知，对任何，不等式成立. 9． (1) 2）当时， = 1．4 不等式的解法 1. A 2. A 3. C 4. A　　5. 6. . 7. 设方程的两个根为由根与系数关系的得 依题意得 8. 原式（x－a）（x－a2）＜0，∴x1＝a，x2＝a2． 当a=a2时，a=0或a=1，x∈，当a＜a2时，a＞1或a＜0，a＜x＜a2， 当a＞a2时0＜a＜1，a2＜x＜a， ∴当a＜0时a＜x＜a2，当0＜a＜1时，a2＜x＜a，当a＞1时，a＜x＜a2，当a=0或a=1时，x∈． 9. (1)2－≥0, 得≥0, x<－1或x≥1 即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞) (2) 由(x－a－1)(2a－x)>0, 得(x－a－1)(x－2a)<0.∵a<1,∴a+1>2a, ∴B=(2a,a+1).∵BA, ∴2 a≥1或a +1≤－1, 即a≥或a≤－2, 而a <1,∴≤a <1或a≤－2, 故当BA时, 实数 a的取值范围是 (－∞,－2)∪[,1]． 1．5 含有绝对值的不等式 1. D2. D3. C4. D　5. {x|x≥－1} 6. 7. 原不等式 因为 又 . 所以，原不等式组的解集为 8. 9. （1）列车在B，C两站的运行误差（单位：分钟）分别是和. （2）由于列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，所以 . （*） 当时，（*）式变形为, 解得 ; 当时，（*）式变形为, 解得 ; 当时，（*）式变形为, 解得.综上所述，的取值范围是[39，]． 1．6 不等式的应用 1. B 2. D 3. C 4. B．　5. xx 6. ； 7. （1）=. （2）解不等式 ＞0,得 ＜＜. ∵　， 　∴　3 ≤≤ 17.故从第3年工厂开始盈利. （3）(i) ∵　≤40 当且仅当时，即x=7时，等号成立. ∴　到xx年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利127+30=114万元. (ii)　　 ，=10时， 故到2011年，盈利额达到最大值，工厂共获利102+12=114万元. 8. 设裁员人，可获得的经济效益为万元,则 = 依题意 ≥，∴0<≤.又140<<420, 70<<210. (1)当0<≤,即70<≤140时， , 取到最大值; (2)当>,即140<<210时， , 取到最大值; 综上所述，当70<≤140时，应裁员人；当140<<210时，应裁员人. 9. （1）安全负荷为正常数） 翻转 ，安全负荷变大.…4分当 ，安全负荷变小. （2）如图，设截取的宽为a，高为d，则. ∵枕木长度不变，∴u=ad2最大时，安全负荷最大. ，当且仅当，即取， 取时，u最大， 即安全负荷最大. 本章测试题 一、选择题 1.A 　2.B　 3.B 　4.C 　5.A 　6.A　7.A 　8.A 　9.B 　10.B 　11. A　12.B 二、填空题 13. －2; 14.－2; 15. 1 16. 4 三、解答题 17.． （1）当时，得，且， 此时． （2）当时，，得且， 此时． （3）当时，与题设矛盾. 18. （1）∵　 ， ∴，等号当且仅当，　 　　即时取得．∴的最小值为． 　（2）不等式即为，也就是， 　　令，则在上恒成立， 　　∴，解得. 19. 当|a|≤|b|时，不等式显然成立．当|a|>|b|时， 左=≥≥ =． 20.（1） 由或x>3，任取x10 且(x1+3)(x2-3)>0 ,∴ 当a>1时，f(x1)-f(x2)<0, ∴ f(x)单调递增，当00,∴f(x)单调递减. （2）若f(x)=g(x)有实根，即：．∴ ∴ 即方程：有大于3的实根． （∵ x>3） ． “=”当且仅当x-3=即下＝3＋2时成立，∴a∈（0，） （3） h(x)=f(x)lna+ln(x+3)-=ln(x-3)-，（x）=,由＝0有x2-3x-4=0,解得x1=4;x2=-1（舍去）．当x∈[4,6]时，h!(x)<0,h(x)单调递减；所以函数h(x)在[4，6]上的最小值为h(6)=ln3-4，最大值为h(4)=-2. 21.（1）由，当时，由题意，可得， 所以. （2）由 ． 当且仅当，即时取等号，所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元. 22. 可以组建如下命题： 命题一：△中，若、、成等差数列，求证：（1）0＜B≤;（2）； 命题二：△中，若、、成等差数列,求证：（1）0＜B≤; （2）1＜≤ 命题三：△中，若、、成等差数列,求证：（1）; （2）1＜≤ 命题四：△中，若、、成等比数列, 求证：（1）0＜B≤; （2）1＜≤ ． 证明：（1）∵,,成等差数列∴b=． ∴≥， 且∴0＜≤； （2）； （3）． ∵0＜B≤ ，∴， ∴， ∴． （4）∵、、成等比数列，∴，∴且，∴0＜≤ ．