高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.3 导数的几何意义课件 新人教版选修2-2.ppt

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1.1.3 导数的几何意义,第一章 1.1 变化率与导数,1.理解曲线的切线的含义. 2.理解导数的几何意义. 3.会求曲线在某点处的切线方程. 4.理解导函数的定义，会用定义法求简单函数的导函数.,,学习目标,,,栏目索引,,,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一 曲线的切线,,答案,切线,如图所示，当点Pn沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的 .,(1)曲线y＝f(x)在某点处的切线与该点的位置有关； (2)曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个.,,答案,思考 有同学认为曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线l与曲线y＝f(x)只有一个交点，你认为正确吗？,答案 不正确.曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线l与曲线y＝f(x)的交点个数不一定只有一个，如图所示.,函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的 .,知识点二 导数的几何意义,,答案,斜率,答案 函数 f(x)在x0处有导数，则在该点处函数 f(x)表示的曲线必有切线，且在该点处的导数就是该切线的斜率.函数 f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0))处有切线，但函数 f(x)在该点处不一定可导，如 f(x)＝ 在x＝0处有切线，但不可导.,,答案,思考 (1)曲线的割线与切线有什么关系？,答案 曲线的切线是由割线绕一点转动，当割线与曲线的另一交点无限接近这一点时趋于的直线.曲线的切线并不一定与曲线有一个交点.,(2)曲线在某点处的切线与在该点处的导数有何关系？,知识点三 导函数的概念,,答案,对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，这样，当x变化时，f′(x)便是关于x的一个函数，称它为函数 y＝f(x)的 ，简称导数，也可记作y′， 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 就是函数y＝f(x)在开区间(a，b)(x∈(a，b))上的导数f′(x)在x＝x0处的函数值，即 ＝f′(x0)，所以函数y＝f(x)在x＝x0处的导数也记作f′(x0).,导函数,,思考 如何正确理解“函数f(x)在x＝x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系？,,返回,答案,答案 “函数y＝f(x)在x＝x0处的导数”是一个数值，是针对x0而言的，与给定的函数及x0的位置有关，而与Δx无关； “导函数”简称为“导数”，是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x，Δx无关.,题型探究 重点突破,题型一 求曲线的切线方程,,解析答案,反思与感悟,1.求曲线在某点处的切线方程 例1 求曲线y＝f(x)＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程.,解 因为点(1,3)在曲线上，过点(1,3)的切线的斜率为,故所求切线方程为y－3＝2(x－1)， 即2x－y＋1＝0.,,反思与感悟,若求曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线方程，其切线只有一条，点P(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，且是切点，其切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).,,,解析答案,,解析答案,(2)曲线y＝f(x)＝x3在点P处切线斜率为3，则点P的坐标为 .,解析 设点P的坐标为 ，则有,∴点P的坐标是(1,1)或(－1，－1).,(－1，－1)或(1,1),,解析答案,2.求曲线过某点的切线方程 例2 求过点(－1，－2)且与曲线y＝2x－x3相切的直线方程.,反思与感悟,,解析答案,又∵切线过点(－1，－2)，,反思与感悟,,即19x＋4y＋27＝0. 综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的直线方程为 y＝2x或19x＋4y＋27＝0.,反思与感悟,,反思与感悟,若题中所给点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.,,解析答案,跟踪训练2 求过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程.,,解析答案,设所求切线的切点为A(x0，y0). ∵点A在曲线y＝x2上， ∴y0＝ . 又∵A是切点， ∴过点A的切线的斜率y′| ＝2x0. ∵所求切线过P(3,5)和A(x0，y0)两点，,,解得x0＝1或x0＝5. 从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25). 当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2； 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10. ∴所求的切线有两条，方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)， 即2x－y－1＝0和10x－y－25＝0.,题型二 求导函数,,解析答案,解 ∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x),反思与感悟,,反思与感悟,,解析答案,跟踪训练3 已知函数f(x)＝x2－1，求f′(x)及f′(－1).,解 因Δy＝f(x＋Δx)－f(x) ＝(x＋Δx)2－1－(x2－1) ＝2Δxx＋(Δx)2，,得f′(x)＝2x，f′(－1)＝－2.,题型三 导数几何意义的综合应用,,反思与感悟,例4 设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值.,解 ∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x) ＝(x＋Δx)3＋a(x＋Δx)2－9(x＋Δx)－1－(x3＋ax2－9x－1) ＝(3x2＋2ax－9)Δx＋(3x＋a)(Δx)2＋(Δx)3，,由题意知f′(x)最小值是－12，∴－9－ ＝－12，a2＝9， ∵a＜0，∴a＝－3.,解析答案,,与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题.,反思与感悟,,解析答案,跟踪训练4 (1)已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝f(2)－f(1)，则k1，k2，k3之间的大小关系为 .(请用“＞”连接),k1＞k3＞k2,解析 结合导数的几何意义知，k1就是曲线在点A处切线的斜率， k2则为在点B处切线的斜率， 而k3则为割线AB的斜率，由图易知它们的大小关系.,,解析答案,,,,解析答案,因对“在某点处”“过某点”分不清致误,例5 已知曲线y＝f(x)＝x3上一点Q(1,1)，求过点Q的切线方程.,返回,防范措施,,易错易混,,错解 因y′＝3x2，f′(1)＝3. 故切线方程为3x－y－2＝0. 错因分析 上述求解过程中，忽略了当点Q不是切点这一情形，导致漏解. 正解 当Q(1,1)为切点时， 可求得切线方程为y＝3x－2. 当Q(1,1)不是切点时，设切点为P(x0， )，,解析答案,防范措施,,所以(x0－1)2(2x0＋1)＝0，,综上，所求切线的方程为3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0.,防范措施,,,解题前，养成认真审题的习惯，其次，弄清“在某点处的切线”与“过某点的切线”，点Q(1,1)尽管在所给曲线上，但它可能是切点，也可能不是切点.,返回,防范措施,,当堂检测,1,2,3,4,5,1.下列说法中正确的是( ) A.和曲线只有一个公共点的直线是曲线的切线 B.和曲线有两个公共点的直线一定不是曲线的切线 C.曲线的切线与曲线不可能有无数个公共点 D.曲线的切线与曲线有可能有无数个公共点,,D,解析答案,1,2,3,4,5,,2.已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为( ) A.4 B.16 C.8 D.2,C,解析答案,即k＝8.,1,2,3,4,5,,3.若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( ) A.a＝1，b＝1 B.a＝－1，b＝1 C.a＝1，b＝－1 D.a＝－1，b＝－1,解析答案,A,∴a＝1. 又(0，b)在切线上， ∴b＝1，故选A.,1,2,3,4,5,,解析答案,A.30 B.45 C.135 D.165,B,∴y′|x＝1＝1.∴点P处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45.,1,2,3,4,5,,解析答案,5.已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为 .,(3,30),令4x0＋4＝16得x0＝3， ∴P(3,30).,,课堂小结,,返回,2.“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导函数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值. 3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.,